5.6.4几何证明举例（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

课堂导入 在本册第2章，我们利用轴对称的基本性质，通过实验的方法探索得出角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等 你能用推理的方法证实它的真实性吗？ 5.6 几何证明举例 第五章 几何证明初步 青岛版八年级数学上册 第 四 课 时 学习目标 1 2 掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理 会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关数学问题 1.大家自主学习课本182--184页交流与发现（1）---（2）中的内容，时间约为5分钟. 2.在自学过程中，若有疑难问题可向老师或同学进行询问. 3.在自学时，大家尝试解决以下问题 （1）用“∵”“∴”的格式写出角平分线性质定理的证明过程，体会证明的不同表述形式. （2）用“∵”“∴”的格式写出角平分线性质定理的逆定理证明过程， 自学指导（1） 自 学 进 行 中 …… 自学效果检测 任务一：用“∵”“∴”的格式证明角平分线性质 已知：如图，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是点M和N. 求证：PM=PN。 证明：∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠ABD=∠CBD ∵PM⊥AB，PN⊥BC ∴∠BMP=∠BNP=90° ∵BP=BP ∴△BMP=△BNP ∴PM=PN. 思考: 在课本上，小莹是采用文字语言来写证明过程的，小莹的这种表达方式正确吗？ 温馨提示： 证明的推理过程可以用文字语言，也可以用符号语言. 新知生成 角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ∵BD是∠ABC的平分线， PM⊥AB，PN⊥BC， ∴PM=PN 证明两条线段相等 任务二：用“∵”“∴”的格式证明角平分线性质定理的逆命题 已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M与N，且PM=PN。 求证：点P在∠ABC的平分线上。 A P M N C B 证明：作射线BP，连接MN ∵PM=PN ∴∠PMN=∠PNM ∵PM⊥AB，PN⊥BC ∴∠PMB=∠PNB=90° ∴∠PMN+∠BMN=90°，∠PNM+∠BNM=90° ∴∠BMN=∠BNM ∴BM=BN ∵BP=BP ∴△PBM≌△PBN A P M N C B ∴∠PBM=∠PBN ∴点P在∠ABC的平分线上 新知生成 角平分线的判定定理 ∵PM=PN，PM⊥AB，PN⊥BC， ∴BD是∠ABC的平分线， 证明一个点在一条直线上 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 例题精讲 例1：已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线 求证：AM，BN，CP交于一点。 精析： 要证明三角形的三条角平分线交于一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了。 规范作答 证明：设AM，BN交于点O，过点O分别OD⊥BC， OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点 D，E，F. ∵O是∠BAC的平分线AM上一点 ∴OE=OF 同理OF = OD. ∴OD=OE ∵CP是∠ACB的平分线 ∴O在CP上 ∴AM，BN，CP交于一点. 1.我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE=OF. 证明:∵AB=CB，AD=CD，BD=BD ∴△ABD≌△CBD ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC. 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF. 巩固练习 2.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：AM平分∠DAB. 证明：过M作ME⊥AD于点E， ∵∠B=∠C=90°， ∴MC⊥DC，MB⊥AB 又∵DM平分∠ADC， ∴ME=MC ∵M是BC的中点 ∴MC=MB ∴ME=MB， ∴AM平分∠DAB 课堂小结 你的收获是…… 你的疑惑是…… 你的建议是…… 课堂检测 1.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相等，∠BAC=60°，则∠BOC= ． 120° 2.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC，ON⊥AB，OM⊥AC，，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABC. A B C O M N G D 22.5 课下作业 必做题： （1）课本184页课后练习第1题 （2）课本184页课后练习第2题 选做题：课本188页习题5.6第8题 $$