第六章 几何图形初步章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（人教版2024）

第六章 几何图形初步章末重点题型复习 题型一、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）有下列四个说法：①长方体与正方体都是四棱柱；②三棱锥的侧面都是三角形；③十棱柱有个面，每个侧面都是长方形；④棱柱的每条棱长可以相等，其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查立体图形，棱柱的上下两个面平行，侧面是平行四边形；棱锥的底面是一个多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；结合本题所给的说法，根据上述知识即可求解．掌握棱柱和棱锥的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体与正方体都是四棱柱，该说法正确； ②三棱锥的侧面都是三角形，该说法正确； ③十棱柱有个底面，个侧面，原说法错误； ④棱柱的每条棱长可以相等，该说法正确， ∴正确的个数有个． 故选：C． 题型二、从不同方向看几何体 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）作图解决问题 如下图是由8个相同的边长为1的小正方体组成的几何体，按要求完成以下问题． (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状图； (2)请求出这个几何体的表面积； (3)如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，最多可以添加 个相同的小正方体；如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，是否可以添加小正方体？最多可以添加 个相同的小正方体，请在几何体上标出添加位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数． （1）根据从不同方向看几何体作图即可得； （2）根据表面积公式结合图形计算即可得解； （3）根据题意结合从正面、左面、上面看到的形状图，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： （3）解：如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，如图所示， 最多可以添加个相同的小正方体； 如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，最多可以添加1个相同的小正方体，如图所示 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）由若干个相同的小正方体拼成如下立体图形，则从正面看的视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，从正面看：共分2列，从左往右分别有1，2个小正方形，据此即可求解． 【详解】 解：依题意，从正面看的视图是， 故选：C． 题型三、几何体展开图的认识 5．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)动手操作 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (2)解决问题 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积． 【答案】(1)见解析 (2)这个纸盒的体积为 【分析】本题主要考查了几何展开图． （1）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （2）因为长方体纸盒的底面是一个正方形，则正方形的边长为，根据底边边长是长方体的高的5倍，得到高为，则体积可求． 【详解】（1）解：图形如图所示（只要画出一种情况即可）： ； （2）解：长方体纸盒的底面是一个正方形， 正方形的边长为， 底边边长是长方体的高的5倍， 高为， 体积：， 答：这个纸盒的体积为． 6．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）根据无盖的长方体的展开图的形状画图即可； （2）由长方体的体积公式进行计算即可； （3）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （3）由题意可得表面积为： 题型四、由展开图计算几何体的表面积 7．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【答案】(1)，， (2)588；576 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入 进行计算即可； （3）求出当，时，计算的值即可． （4）把数据代入计算即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何体的体积和表面积公式，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据纸盒的表面积等于大正方形面积减去4个小正方形面积，计算即可； （2）根据长方体的公式解答即可； （3）如图由题意，，可推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：该纸盒的表面积为； （2）解：由题意知：该纸盒的体积为， 当时，， 该纸盒的体积为； （3）解：如图， 由题意得：， ， ， ． 9．（23-24七年级上·广东云浮·期末）【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究： 【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究； (1)若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________． (2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________． (3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，正方体的展开图，正确找出图形中边长之间的数量关系是解题的关键． （1）根据图形，即可得出结论； （2）设做成的有盖的正方体纸盒棱长为，由图可知：，则， 即可得出结论； （3）先求出有盖正方体的棱长，再根据正方体表面积公式，即可解答． 【详解】（1）解：由图可得：， 故答案为：； （2）解：设做成的有盖的正方体纸盒棱长为， 由图可知：， 则， ∴， 整理得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴做成的有盖的正方体纸盒棱长为， ∴有盖正方体纸盒的表面积为． 题型五、由展开图计算几何体的体积 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 【答案】（1）①③④；（2）①；②1000；（3）58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． （1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据正方形周长公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案． 【详解】解：（1）根据构成，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意可知，长方体纸盒的底面为正方形，其边长为， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为： ②由题意可知，该长方体纸盒的长为，高为，宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大， 边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小； 故答案为：58，边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 11．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 【答案】(1)C (2)小 (3)①见解析，② 【分析】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）①画出相应的图形即可； ②根据长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒， ∴展开图有5个面， 再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意， 选项C的图形符合题意， 选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意． 故答案为：C； （2）解：根据“相间、Z端是对面”可知，“环”字相对的面为“小”， 答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”； 故答案为：小； （3）解：①示意图如图所示． ② ． 题型六、正方体几种展开图的识别 12．（23-24七年级上·山东聊城·期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的11种形式是解题的关键． 根据正方体六个面，展开图的11种形式，对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第一个图形：正方体是六面体，五个面不是正方体表面展开图； 第二个图形：田字格，五个面都不是正方体表面展开图； 第三个图形：田字格，不是正方体表面展开图； 第四个图形：七个面不是正方体表面展开图． 综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是4个． 故选：D． 13．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践： 某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案： 方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒； 方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图； 问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； （2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； 实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了正方体的展开图等知识； （1）从而图形可以直观得出； （2）横着4个面，竖着3个面，从而得出结果； （3）从正方体的三类展开图可以得出结果． 【详解】解：（1）如图1， ∵， ∴； （2）如图2， ∵，， ∴； （3）如图3， 因为正方体的11种展开图中分为3类中，横排至少4个面， ∴正方体的棱长最大是， ∴表面积最大为：． 题型七、正方体相对两面上的字 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查正方体的表面展开图，掌握正方体的表面展开图的特征是正确判断的前提，根据正方体表面展开图的特征，得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，将图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，任意相对面上两个数之积为6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方体的展开与折叠，有理数的加减运算，根据正方体表面展开图的特征，判断相对的面，求出y的值即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知， “y”与“”是对面， 又因为相对面上两个数之积为6， 所以， 故答案为：． 题型八、含图案的正方体的展开图 17．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图所示，正方体的展开图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的关键． 【详解】解：根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断C选项符合题意． 故选：C． 18．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的侧面展开图，按照沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到展开后的图形，解题的关键是要善于想象其侧面展开图的形状． 【详解】解：沿箭头所指方向将盒子剪开，可得到侧面展开为4个小正方形并连接一个标有一个字母m的小正方形，这个标有字母m的小正方形在最左侧小正方形的下面，由选项可得只有A符合， 故选：A． 题型九、用七巧板拼图形 19．（23-24七年级上·山东济南·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，如图，某同学用正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，若图中阴影部分的面积为，则正方形纸板的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用七巧板拼图形，利用七巧板的特点求出正方形纸板的面积即可． 【详解】解：∵ 阴影部分的面积为， 由七巧板的特点可知：正方形纸板的面积为：， ∴正方形纸板的边长为， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板"．如图，把一付七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号⑤对应的面积等于1，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查七巧板．熟练掌握七巧板中各部分面积之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵编号⑤对应的面积等于1， ∴编号④、⑥、⑦对应的面积等于2，③对应的面积等于1，①、②对应的面积等于4， ∴由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于， 故答案为：． 题型十、点、线、面、体四者之间的关系 21．（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，灵活运用点、线、面、体知识点进行解题是本题的重点．可将汽车的雨刷看成一条线，雨刷在刷玻璃上的雨水时形成了面，所以属于线动成面的实际应用． 【详解】解：汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明线动成面， 故选：B． 22．（24-25六年级上·山东青岛·期中）流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了 ． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查点，线，面，体，关键是掌握四者之间的关系．根据从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体可得答案． 【详解】解：流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了点动成线， 故答案是：点动成线． 题型十一、平面图形旋转后所得的立体图形 23．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法不正确的是（     ） A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形 B．五棱柱有10个顶点 C．将折起的扇子打开，属于“线动成面 ”的现象 D．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱 【答案】D 【分析】本题考查几何体，掌握常见几何体的概念和性质是解题关键．A．根据平面截一个正方体可能得到三角形、四边形、五边形、六边形，进而判断即可；B．根据n棱柱有个顶点，将代入计算判断即可； C．折起的扇子可以看作线段，打开的扇子为扇形，进而判断即可；D．根据直角三角形绕着某一边旋转得到的是锥体或两个锥体的组合体，进而判断即可． 【详解】解：A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形，正确； B．五棱柱有10个顶点，正确； C．将折起的扇子打开，属于“线动成面”的现象，正确； D．沿直角三角形某条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，不是圆柱，故D错误； 故选：D． 24．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点、线、面、体知识点，可把较复杂的图象进行分解旋转，然后再组合．上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，下面的长方形旋转一周后是一个圆柱．所以应是圆锥和圆柱的组合体． 【详解】解：上面的直角三角形旋转一周后是一个圆锥，下面的长方形旋转一周后是一个圆柱．所以应是圆锥和圆柱的组合体 所以应是圆锥和圆柱的组合体． 故选：B． 题型十二、平面图形旋转后所得的立体图形 25．（24-25七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截下列几何体，截面可能是三角形的是（    ） ①正方体；②球体；③圆柱；④圆锥 A．① B．①② C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形． 【详解】解：①正方体能截出三角形； ②球体不能截出三角形； ③圆柱不能截出三角形； ④圆锥能截出三角形． 故截面可能是三角形的有①④． 故选：C． 26．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图 【详解】根据几何体的截面可知， 、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意； 、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；    、球的截面图为圆，此选项不符合题意； 、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意； 故选：． 题型十三、直线、射线、线段的联系与区别 27．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线可以无限延长 B．同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的两个角是对顶角 D．有公共边且互为补角的两个角叫做邻补角 【答案】B 【分析】本题考查的直线的定义，对顶角的定义，作已知直线的垂线，邻补角的定义，根据定义与性质再分别判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A．直线是无限的，不需要延长，选项错误，故此选项不符合题意； B． 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故此选项符合题意； C．相等的角不一定是对顶角，选项错误，故此选项不符合题意； D． 有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，选项错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 28．（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 【答案】C 【分析】本题考查射线、直线和线段定义与作图，根据射线、直线和线段定义与作图逐项判断即可得到答案，熟记射线、直线和线段定义与作图是解决问题的关键． 【详解】解：A、根据射线定义，射线一端无限延长，不可能得到射线，该选项表述错误，不符合题意； B、根据直线定义，射线两端无限延长，不可能得到直线，该选项表述错误，不符合题意； C、画线段，在线段上任取一点说法正确，符合题意； D、根据射线定义，射线从固定端点出发，向另一端无限延长，以点为端点画射线，而不是以点为端点画射线，该选项表述错误，不符合题意； 故选：C． 29．（23-24七年级上·天津河西·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．是线段 B．点D在射线上 C．直线经过点A D．直线与射线相交于点A 【答案】B 【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，理解线段、射线、直线三者之间的区别与联系是解题的关键． 【详解】解：A.结论正确，故不符合题意； B.点D在射线上，结论错误，故符合题意； C.结论正确，故不符合题意； D.结论正确，故不符合题意； 故选：B． 题型十四、画出直线、射线、线段 30．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）如图，平面上有三个点，，，利用尺规按要求作图；    (1)作直线； (2)作射线； (3)在线段上作线段，使不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）过点和点画直线即可； （2）连接并延长即可； （3）以为圆心，长为半径画弧，交射线于，则点即为所求． 【详解】（1）如图，直线即为所求： （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求．    31．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点D（不与点A，C重合），连接，并延长至点E，使； (3)数一数，此时图中线段共有_________条． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的定义； （1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，射线，线段； （2）依据在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段即可； （3）根据图中的线段为，即可得到图中线段的条数． 【详解】（1）如图，直线，射线，线段即为所求； （2）如图，线段和线段即为所求； （3）由题可得，图中线段的条数为，共8条， 故答案为：8． 题型十五、点与线的位置关系 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 【答案】A 【分析】本题考查线段、射线、直线的意义，理解点与直线的位置关系是解决问题的关键．根据，，，有进行判断即可． 【详解】解：如图，在平面内，， ∵，， ∴点C为以A为圆心，6为半径，与以B为圆心，4为半径的两个圆的交点， 由于， 所以，点C在线段上， 故选：A．    33．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 【答案】D 【分析】题考查直线、线段、射线的画法，解题的关键是根据点与直线的位置关系进行判断得出答案． 【详解】解：①点O在直线m上，说法正确； ②点O在直线n上，说法正确； ③点O在直线m上，也在直线n上，说法正确；             ④直线m经过点O，说法正确； 故选D． 题型十六、直线、线段、射线的数 量问题 34．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 【答案】 【分析】本题考查线段的概念，图形数字规律，根据表中规律即可求解，找到线段的组成规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知：个点时：， 个点时：， 个点时：， 个点时：， ， 个点时：线段数， 故答案为：． 35．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 种不同的车票（包括往返路线）． 【答案】30 【分析】本题考查线段的定义，根据数线段的方法，分别以、、、、为起点，数清楚线段条数，即可解题． 【详解】解：火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站， 共有个车站，将其抽象为直线上的6个点， 则直线上线段的条数为：（条）， 每条线段对应往返两种车票，故不同的车票共有（种） 故答案为：30． 36．（23-24七年级上·山东德州·期末）观察图形，并回答下列问题： (1)【观察思考】图中共有______条线段； (2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段． (3)【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题： ①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ ②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 【答案】(1)10 (2) (3)①共握手105次；②共送了210张 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，直线、射线、线段： （1）以A为端点的线段有四条；以B为端点的且与前面不重复的线段有三条；以C为端点的且与前面不重复的线段有两条；以D为端点的且与前面不重复的线段有一条，相加即可求解； （2）画出图形找到规律即可； （3）①由，代入数值即可求出结果；②15人参加聚会，每个人都送给其他人一张名片，所有同学共送了张名片，依此即可解决问题． 【详解】（1）解：以A为端点的线段有四条； 以B为端点的且与前面不重复的线段有三条； 以C为端点的且与前面不重复的线段有两条； 以D为端点的且与前面不重复的线段有一条． 则（条）． 故答案为：10； （2）解：如图， 线段上有3个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有4个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有5个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有6个点（包括A，B两点）则线段数为：； 线段上有7个点（包括A，B两点）则线段数为：； ⋯ 线段上有n个点（包括A，B两点）则线段数为：； 故答案为：； （3）解：①由上面结论可知（次）． 答：共握了105次； ②（张）． 答：共送了210张． 题型十七、直线相交的交点个数问题 37．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 【答案】21 【分析】本题考查了图形的变化，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 四条直线相交最多的交点个数可通过画图得出交点个数，通过继续增加直线的条数可以找出规律即可解答； 【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即； 三条直线相交最多有3个交点，即； 四条直线相交最多有6个交点，即， 五条直线相交最多有10个交点，即， …… ∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且）． ∴当时，最多有个交点 故答案为：． 38．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 题型十八、两点确定一条直线 39．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）用两个钉子可以把木条固定在墙上，这个生活常识体现的数学原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．直线可以向两端无限延伸 C．两点确定一条直线 D．连接两点间线段的长度叫两点间的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查两点确定一条直线，解决本题的关键是要熟练掌握两点确定一条直线．根据直线确定的条件：在平面内，过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线，进行解答． 【详解】解：用两个钉子可以把木条固定在墙上，体现的数学原理是两点确定一条直线， 故选：C． 40．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 【答案】10 【分析】本题是探索规律题，考查了直线、射线、线段，不在同一条直线上的五个点有三种不同的关系：①有四个点在同一条直线上；②有三个点在同一条直线上；③五个点中任意三个点都不在同一条直线上．熟练掌握分类讨论思想的运用是关键． 【详解】解：如图， ①有四个点在同一条直线上； 故最多可画5条； ②有三个点在同一条直线上； 故最多可画8条； ③五个点中任意三个点都不在同一条直线上； 当任意三点都不在同一条直线上时，最多有：（条，所以最多能得到10条直线． 故答案为10 41．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查了直线的性质，熟练掌握经过两点有且仅有一条直线是解答本题的关键． 由直线公理：两点确定一条直线，由此得到答案． 【详解】解：因为木板两端即为两点， 所以用墨盒弹一根墨线即为：两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型十九、作线段（尺规作图） 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)>，两点之间线段最短 (3) (4)的长为1或5． 【分析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了两点间的距离． （1）根据几何语言画出几何图形； （2）根据两点之间线段最短进行判断； （3）先计算出，然后计算即可； （4）讨论：当点在点左侧，；当点在点右侧，． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：根据两点之间线段最短得； 故答案为：，两点之间线段最短； （3）解：， ， ， ； （4）解：当点在点左侧，， 当点在点右侧，， 综上所述，的长为1或5． 43．（23-24七年级上·天津·期末）按要求画一画，再填空： (1)画线段； (2)延长线段到点C，使； (3)延长线段到点，使； (4)根据上述画法可知， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2；； 【分析】此题重点考查尺规作图、用直尺和圆规作一条线段等于已知线段、线段的中点、线段的和差等知识与方法，正确地按要求作出图形是解题的关键． （1）作射线并在上取一点，即得到线段； （2）在的延长线上截取，即得到所求的点； （3）以为端点，过点作射线，在的延长线上截取，即得到所求的点； （4）由，，得，则是线段的中点，所以；由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图1，作射线，在上取一点， 线段就是所求的线段； （2）解：如图2，在的延长线上截取， 点就是所求的点； （3）解：如图3，以为端点，过点作射线，在的延长线上截取， 点就是所求的点； （4）解：，， ， 是线段的中点， ； ，， ， ， ， 故答案为：2，，． 题型二十、线段的和与差 44．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算．先根据线段和差关系得到，再根据线段中点的定义得到，进一步计算即可求得的长． 【详解】解：∵线段，线段， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 45．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查做已知线段的倍数和差，代数式的计算， （1）以点D为圆心长为半径画弧交直线于点F，则，再以点F为圆心以为半径画弧交于点E，那么即为所求； （2）按照题意已知代入分别求得和，利用即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 46．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，见解析． 【分析】（）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （）根据（）的解题过程，即可解答； 此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二一、线段中点的有关计算 47．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的中点性质，根据线段的中点性质可推出，，当时，，即可推出，进而即可得解，解题的关键是能正确表示线段的和差倍分． 【详解】A：∵M、N分别是、的中点， ∴，， ∵C为上任意一点， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴A错误，不符合题意； B：当C为中点时，， ∴， ∴， ∴B错误，不符合题意； C：∵， ∴， ∴， ∴C正确，符合题意； D：∵， ∴， ∴， ∴D错误，不符合题意； 故选：C． 48．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点有关的计算． （1）先求出，再求出，根据线段的中点求出的长即可； （2）求出，，把代入求出即可． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∵， ∴． 题型二二、线段n等分点的有关计算 49．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故选C． 50．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【答案】A 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论． 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； 综上： 故选A． 51．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 题型二三、线段之间的数量关系 52．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的和差关系，根据题意，点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧；在不同情况下，作出图形，数形结合，表示出线段之间的和差关系，代值求解即可得到答案，读懂题意，准确分类，作出图形，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 点的位置关系有两种情况：①点在点左侧；②点在点右侧； 当点在点左侧，如图所示： ； 当点在点左侧，如图所示： 为的中点，， ， ， ， 点在点右侧，则， ； 综上所述，的长为或， 故选：D． 53．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键． 先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 【详解】解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点为线段的中点，为线段上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在的延长线上和点P在的延长线， 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴； 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴． 故答案为：或． 题型二四、与线段有关的动点问题 54．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 55．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 题型二五、两点之间线段最短 56．（23-24七年级上·北京·期末）根据下列语句，画出图形（用铅笔作图）． (1)已知四点、、、． ①画直线AB，射线，线段； ②在图中确定一个O，使得点O到四个点，，，的距离之和最短． (2)如图，一艘货轮在沿某小岛北偏东方向航行中，发现了一座灯塔A．某一时刻，灯塔A与货轮分别到小岛的距离恰好相等，作图确定点位置，用量角器度量得到此时的度数是______°（精确到度）． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作直线、射线、线段，方向角，两点之间线段最短，根据题目的已知画出图形，并结合图形去分析是解题的关键． （1）①根据直线，射线，线段概念作出图形即可； ②连接、相交于O，根据两点之间线段最短可得点O到A、B、C、D的距离之和最短． （2）先画出表示北偏东方向的射线，再以O为圆心，为半径作弧，交于B，得到等腰，，再用量角器量出的度数即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线，射线，线段即为所求； ②点O即这所求． （2）解：如图：点B即是所求， 量得． 57．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析，两点之间线段最短； (3)． 【分析】（）根据直线，射线，线段的定义画出图形即可，根据要求作平行线即可； （）根据题意可知，两点之间，线段最短； （）根据即可求解； 本题考查了作图，三角形的面积，两点之间线段最短，直线，射线，线段的定义等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【详解】（1）根据题意作图： ∴即为所求； （2）如图， 连接交于点，则点即为所求， 根据两点之间线段最短，可知当三点共线时，为最小值， 故答案为：两点之间线段最短； （3）如图， 由， ∴， 故答案为：． 58．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）按要求完成作图及作答：    (1)如图1，点M在直线上，P，两点在直线外，且分别位于直线的异侧． ①分别画出直线，射线； ②在直线上确定一点，使得的长度最短（标出字母）； (2)如图2，平面内三条直线两两相交于A，B，C三点，此时平面被分割成了7个不同的区域，点N为平面内三条直线外另一点，若过N点再画一条直线（请在图上画出），使此时平面被分成最多不同区域，则此时最多不同区域个数为______． 【答案】(1)详见解析； (2)11． 【分析】本题考查作图−复杂作图等知识点， （1）①画直线，射线即可；②连接交直线l于E，点E即为所求； （2）画出图形，即可得到答案； 解题的关键是掌握直线，射线，线段的概念，作出符合条件的图形． 【详解】（1）画直线，射线如下：    ∴直线，射线即为所求； ②连接交直线l于E，如上图， 点E即为所求； （2）如图：    由图可知，此时最多不同区域个数为11； 故答案为：11． 题型二六、两点间的距离 59．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 60．（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 61．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，三点在同一条直线上，，为中点，为中点．若线段的长为8，求线段的长． 【答案】1 【分析】本题考查两点间的距离，线段的中点计算，线段的和差运算．可设，则，根据线段的长为8，可求出，再根据为中点，为中点可求出结论． 【详解】解：设，则， 为中点 为中点 ． 题型二七、角的概念理解 62．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法：其中正确的是（    ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．绝对值等于本身的数只有 C．如果，则点是线段的中点 D．一个角的两边越长，角度越大 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的概念，绝对值的意义，线段中点的概念，角的性质，解题的关键是熟练掌握有理数的概念，绝对值的意义，线段中点的概念，角的性质． 根据有理数的概念，绝对值的意义，线段中点的概念，角的性质求解即可． 【详解】解：A、一个有理数不是整数就是分数，选项正确； B、绝对值等于本身的数有0和1，选项错误； C、如果，且点A，B，C在同一直线上，则点B是线段的中点，选项错误； D、一个角的两边的长度和角度大小没有关系，选项错误； 故选：A． 63．（23-24七年级上·全国·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．延长直线 B．在射线上顺次截取线段 C．如果，则点C为的中点 D．平角是一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段以及平角，根据直线、射线、线段、平角的定义进行选择即可． 【详解】 解：A、直线本身有两个延伸方向，选项错误； B、如图1所示，选项正确； C、如图2所示，即C不在直线上，选项错误； D、角有顶点，两条边是射线，而直线上没有标出顶点的说法，选项错误． 故选：B． 题型二八、角的表示方法 64．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法，射线和直线的相关概念，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、点不在直线上，原说法错误，不符合题意； B、可以表示成，不可以表示成，原说法错误，不符合题意； C、直线和相交于点，原说法正确，符合题意； D、射线和射线表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 65．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 题型二九、钟面角 66．（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 【答案】C 【分析】本题考查了钟面角，掌握时针每分钟走过是解题关键．根据时钟上一大格是，一小格是，时针一分钟转，逐项进行计算即可解答． 【详解】解：A. 12：15时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； B. 3：45时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意； C. 3：30时钟的时针与分针的夹角为，该选项符合题意； D. 9：30时钟的时针与分针的夹角为，故该选项不符合题意． 故选：C． 67．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了钟面角问题，解题的关键在于能够熟练掌握时针和分针每分钟所转过的角度．时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转，由此即可算出时分钟时，时针、分针与12时的夹角，即得答案． 【详解】∵时针在钟面上每分钟转，分针每分钟转， ∴钟表上时分钟时，时针从时转过分钟转了，此时时针与垂直线的夹角为，分针从的位置顺时针转了， ∴时分钟时分针与时针的夹角． 故选C． 68．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    【答案】问题一：或；问题二：（1），；（2）；（3）或分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，钟面角． 问题一：设后两车相距，分两种情况进行讨论：相遇前两车相距，相遇后两车相距； 问题二：（1）根据钟面角即可解答； （2）分别求出时，分针转动角度和时针转动角度，即可解答； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角，进行分类讨论：①当分针在时针上方时，②当分针在时针下方时，分别列出方程求解即可． 【详解】解：问题一：设后两车相距， 若相遇前，则， 解得， 若相遇后，则， 解得． ∴两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），或后两车相距； 故答案为：或； 问题二：（1）分针每分钟转过的角度为， 时针每分钟转过的角度为， 故答案为：，； （2）时，分针转动角度为， ∵钟面一共有12个大格， ∴每转动一个大格，时针转动角度为． ∴时，时针转动角度为， ∴故时，时针与分针所成的角度； 故答案为：； （3）设在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过x分钟，时针与分针成角． ①当分针在时针上方时， 由题意得：， 解得：； ②当分针在时针下方时， 由题意得：， 解得：． 答：在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过或分钟，时针与分针成 角． 题型三十、方向角的表示 69．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，根据图形逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：A、射线表示北偏东，故此选项正确，不符合题意； B、射线表示西北方向，故此选项正确，不符合题意； C、射线表示南偏西，故此选项错误，符合题意； D、射线表示南偏东，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 70．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 【答案】D 【详解】解：由方向角的定义可知， A在B的北偏东方向上的处， 故选：D． 题型三一、与方向角有关的计算题 71．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，某市有三所中学A，B，O，中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】/79度 【分析】本题考查方位角、度分秒的换算，结合已知条件列出正确算式求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 72．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了方向角，根据题中的方位角，确定出所求角度数即可，正确理解方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，不写画法）． (1)射线表示北偏西方向； (2)射线表示南偏东方向； (3)求的度数（小于平角）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题主要考查的是方向角，掌握方向角的定义和画法是解题的关键． （1）根据方位角的定义和画法画出图形即可； （2）根据方位角的定义和画法画出图形即可； （3）根据角的和差关系进行计算。 【详解】（1）解：如图，射线表示北偏西方向； （2）解：如图，射线表示南偏东方向； （3）解：如图所示， 由（1）（2）可得，， ∴， ∴． 题型三二、角的比较 74．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了角的比较大小与和差，根据图形进行判断即可． 【详解】解：∵在的内部， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴选项B正确，不符合题意； 根据题意，无法比较和的大小，选项C不一定正确，符合题意； ∵， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 75．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）； (3)若，． ①比较线段与的大小，并直接写出结论； ②比较与的大小，并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线，射线，线段的定义画出图形； （2）根据要求画出图形； （3）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图，射线，线段，直线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：①由测量法可知； ②由测量法可知． 题型三三、三角板中角度计算问题 76．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的有关角度计算问题，根据图形分别求出每个选项中的度数，即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项不合题意； 、由图可得，，该选项不合题意； 、由图可得，，， ∴，该选项符合题意； 故选：． 77．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 【答案】(1)， (2) (3)不变 【分析】本题考查角的和差和角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）由三角板的内角，利用角的和差求出的度数，然后利用角平分线的定义得到的度数，然后利用交的和差解题即可； （2）先求出的度数，然后根据角平分线的定义得到的度数，然后根据解题即可； （3）根据（1）（2）的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：∵A、B、D三点在同一直线上， ∴， 又∵BM为的平分线， ∴， ∴； （2）解：， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：不变，理由为： 三角尺逆时针旋转20度时， ∴， ， 又∵BM为的平分线，为的平分线， ∴， ， ∴； 78．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线，与三角板有关的角度计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由角平分线可得，．由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三四、几何图形中角度计算问 题 79．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图，O为直线上一点，平分． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和即可； （2）根据与互余即可得出的度数，由（1）可知，那么，进而可得出结论，从而求解． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）平分．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 80．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 81．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：恰好平分， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 题型三五、角度的四则运算 82．（24-25七年级上·河北衡水·期中） 【答案】 【分析】本题主要考查角度的运算，熟练掌握角度的运算是解题的关键；因此此题可根据角的运算直接进行求解． 【详解】解：； 故答案为． 83．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度数的加减计算法则，解题的关键是掌握角度数的加减计算法则． 根据角度数的加减计算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 84．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角的四则运算法则求解即可； （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三六、角平分线的有关计算 85．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          【答案】/度 【分析】本题考查了角的平分的定义，角的和，熟练掌握定义和角的和是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为 ：． 86．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 87．（23-24七年级上·北京·期末）几何计算： 如图，已知，，平分，求的度数． 解：因为， 所以______° 所以______＋______＝__________________° 因为平分 所以______＝______°（理由： ） 【答案】120；；；40；120；160；；80；角平分线定义 【分析】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出的度数和得出是解此题的关键． 先求出的度数，再求出的度数，根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， （理由：角平分线定义） 故答案为：120；；；40；120；160；；80；角平分线定义． 题型三七、角n等分线的有关计算 88．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100 (2)， (3) 【分析】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键． （1）根据可得答案； （2）先分别表示出，，然后根据，求解即可； （3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ ； 故答案为：100； （2）如图， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ； ②当时，如图， ∵， ∴， ， ∴ ． 综上所述：的度数为． 89．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 【答案】(1) (2)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查角的计算，角的三等分线的定义，角平分线的定义， （1）由题意可得，根据可得答案； （2）由题意可得，则，即可得出结论； 明确角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的一条靠近边的三等分线，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）是的平分线． 理由：∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 题型三八、求一个角的余角 90．（23-24七年级上·江苏常州·期末）有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程，设这个角是，则它的补角是，它的余角是，求出即可求解，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】设这个角是，则它的补角是，它的余角是， 根据题意有： ， 解得 ， 它的余角， 故答案为：． 91．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 题型三九、求一个角的补角 92．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选A 93．（23-24七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义以及角度的计算，根据互为补角的两角之和为，且计算即可得出这个角的度数． 【详解】解：根据题意，， 故选：C． 题型四十、与余角、补角有关的计 算 94．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 【答案】(1)和互为垂角 (2) (3)2或14或26 【分析】此题考查了互为垂角和余角的概念以及运用，一元一次方程的应用，解题的关键是能准确的从图中找到角之间的数量关系，从而计算出结果． （1）根据垂角定义即可得到答案； （2）设这个锐角的度数为，根据一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍列方程解答； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出和，根据互为垂角列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴和互为垂角； （2）解：设这个锐角的度数为，则，它的垂角是， ， 解得， ∴这个角的度数是； （3）解：分四种情况： 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得（舍去）； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 综上，当t的值为2或14或26时，和互为垂角． 95．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解一元一次方程，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）设，则，，列方程即可求得． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． （2）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 96．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题； （2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题； （3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由题知，， 当在与之间，   ， ； 当在与之外，     ， ； （3）解：正确，理由如下： ． 题型四一、同（等）角的余（补）角相等的应用 97．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 98．（23-24七年级上·广东湛江·期末）（1）概念： ①补角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为补角． ②余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为余角． （2）性质：同角或等角的补角 ，同角或等角的余角 ． 【答案】 /180度 /90度 相等 相等 【分析】本题主要考查了余角和补角的定义以及性质，熟记定义和性质是解题的关键． （1）根据余角和补角的定义进行解答即可； （2）根据余角和补角的定义进行解答即可． 【详解】解：（1）①如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角； ②如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角； （2）同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等． 故答案为：（1）①；②；（2）相等，相等． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 几何图形初步章末重点题型复习 题型一、几何体中的点、棱、面 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）有下列四个说法：①长方体与正方体都是四棱柱；②三棱锥的侧面都是三角形；③十棱柱有个面，每个侧面都是长方形；④棱柱的每条棱长可以相等，其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二、从不同方向看几何体 3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）作图解决问题 如下图是由8个相同的边长为1的小正方体组成的几何体，按要求完成以下问题． (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的形状图； (2)请求出这个几何体的表面积； (3)如果要保证从正面和左面看到的形状图不变，最多可以添加 个相同的小正方体；如果在保证从正面、左面、上面看到的形状图都不变，是否可以添加小正方体？最多可以添加 个相同的小正方体，请在几何体上标出添加位置． 4．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）由若干个相同的小正方体拼成如下立体图形，则从正面看的视图是（   ） A． B． C． D． 题型三、几何体展开图的认识 5．（23-24七年级上·山东济南·期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)动手操作 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形（补出来一种即可）； (2)解决问题 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，它的边长是长方体高的5倍，根据图1中的数据，求这个纸盒的体积． 6．（23-24七年级上·山西晋城·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图1所示为宽、长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． (1)在图中的长方形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线、虚线表示折痕． (2)求折成的无盖长方体盒子的体积． (3)若用这样的一块长方形纸板折成高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，则该盒子需要涂色的面积为 ．（用含a的代数式表示） 题型四、由展开图计算几何体的表面积 7．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 8．（24-25七年级上·辽宁锦州·期中）如图，把一边长为的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒． (1)求该纸盒的表面积；（用x，y表示） (2)若时，求该纸盒的体积； (3)为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面，要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），请直接写出此时x与y之间的倍数关系． 9．（23-24七年级上·广东云浮·期末）【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究： 【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒． 小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【问题解决：】现有一块长为、宽为的长方形纸板，请探究； (1)若，按图1的方式剪去的小正方形边长为，做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________． (2)若，按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________． (3)在（2）的条件下，若，求有盖正方体纸盒的表面积． 题型五、由展开图计算几何体的体积 10．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是苏科版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】（1）下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）． ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______； ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果．则该长方体纸盒的体积为______； 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______；通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？你发现的规律是______． 11．（23-24七年级上·山西长治·期末）综合与实践 问题情景：七（1）班某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后，与“环”字相对的字是______． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒． ①请在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． ②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的容积． 题型六、正方体几种展开图的识别 12．（23-24七年级上·山东聊城·期末）下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24七年级上·福建福州·期末）综合与实践： 某校七年级开展了“制作正方体纸盒”的实践活动课，他们利用长为（），宽为（）的长方形纸板设计并制作出正方体盒子（纸板厚度及接缝处忽略不计），有以下两种设计方案： 方案一：（设计无盖正方体盒子）如图1，当，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个棱长为（）的无盖的正方体纸盒； 方案二：（设计有盖正方体盒子）如图2，当，在纸板四角剪去两个同样大小的长方形和两个同样大小的正方形，剩余部分折合起来恰好可以做成一个有盖的正方体纸盒，其棱长与方案一中的无盖正方体棱长大小一样，请你在图2中画出符合要求的设计图； 问题解决：（1）根据方案一的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； （2）根据方案二的操作，你发现与之间存在的数量关系为______； 实际应用：（3）如图3，将一张长，宽的纸板剪掉部分长方形或正方形后，剩余部分恰好可以分成六个同样大小的正方形，且折合起来得到一个有盖的正方体纸盒，求该正方体纸盒表面积的最大值． 题型七、正方体相对两面上的字 14．（24-25七年级上·广东深圳·期中）按照如图所示的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数都互为相反数，那么 ． 15．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，是一个正方体的展开图，折叠后它们的相对两面的数字之和相等，则的值为 ． 16．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，将图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，任意相对面上两个数之积为6，则 ． 题型八、含图案的正方体的展开图 17．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图所示，正方体的展开图为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·北京通州·期末）如图是一个无盖正方体盒子，盒底标有一个字母m，现沿箭头所指方向将盒子剪开，则展开后的图形是（    ） A． B． C． D． 题型九、用七巧板拼图形 19．（23-24七年级上·山东济南·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，如图，某同学用正方形纸板制作了一副七巧板，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，若图中阴影部分的面积为，则正方形纸板的边长为 ． 20．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板"．如图，把一付七巧板按如图所示进行①~⑦编号，①~⑦号分别对应着七巧板的七块，如果编号⑤对应的面积等于1，则由这幅七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 题型十、点、线、面、体四者之间的关系 21．（23-24七年级上·浙江台州·期末）汽车的雨刷在挡风玻璃上画出了一个扇面，这说明了（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 22．（24-25六年级上·山东青岛·期中）流星划破夜空，留下美丽的弧线，这说明了 ． 题型十一、平面图形旋转后所得的立体图形 23．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法不正确的是（     ） A．用一个平面去截一个正方体可能截得五边形 B．五棱柱有10个顶点 C．将折起的扇子打开，属于“线动成面 ”的现象 D．沿直角三角形某条边所在的直线旋转一周，所得的几何体为圆柱 24．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图所示的图形绕虚线旋转一周，所形成的几何体是（      ） A． B． C． D． 题型十二、平面图形旋转后所得的立体图形 25．（24-25七年级上·广东深圳·期中）用一个平面截下列几何体，截面可能是三角形的是（    ） ①正方体；②球体；③圆柱；④圆锥 A．① B．①② C．①④ D．①③ 26．（23-24七年级上·辽宁阜新·期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（    ）    A．   B．   C．   D．   题型十三、直线、射线、线段的联系与区别 27．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）下列说法正确的是（    ） A．直线可以无限延长 B．同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直 C．相等的两个角是对顶角 D．有公共边且互为补角的两个角叫做邻补角 28．（23-24七年级上·福建三明·期末）下列关于作图的语句中，正确的是（    ） A．画射线 B．画直线 C．画线段，在线段上任取一点 D．以点为端点画射线 29．（23-24七年级上·天津河西·期末）如图，下列说法错误的是（    ） A．是线段 B．点D在射线上 C．直线经过点A D．直线与射线相交于点A 题型十四、画出直线、射线、线段 30．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）如图，平面上有三个点，，，利用尺规按要求作图；    (1)作直线； (2)作射线； (3)在线段上作线段，使不写作法，保留作图痕迹． 31．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画直线，射线，线段； (2)在线段上任取一点D（不与点A，C重合），连接，并延长至点E，使； (3)数一数，此时图中线段共有_________条． 题型十五、点与线的位置关系 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）平面上有A，B，C三点，如果，，，那么下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在直线外 D．点C的位置无法确定 33．（23-24七年级上·吉林·期末）如图，直线m和直线n相交于点O，对于图形，说法正确的语句有（　 　） ①点O在直线m上． ②点O在直线n上． ③点O在直线m上． 也在直线n上．              ④直线m经过点O． A．1个． B．2个． C．3个． D．4个． 题型十六、直线、线段、射线的数 量问题 34．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）通过画图，我们发现了如下的规律： 图形 直线上点的个数 共有线段的条数 … … … 若直线上有个不同的点，则此图中共有 条线段． 35．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）如图，某列火车从白银西站出发，中间经过4个车站才能到达甲地火车站，那么在白银西站和甲地火车站之间，需要安排 种不同的车票（包括往返路线）． 36．（23-24七年级上·山东德州·期末）观察图形，并回答下列问题： (1)【观察思考】图中共有______条线段； (2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段中共有______条线段． (3)【拓展应用】请你用上述模型构建来解决以下问题： ①十五个同学聚会，每个人都与其他人握一次手，共握手多少次？ ②十五个同学聚会，每个人都送给其他人一张名片呢，共送了几张？ 题型十七、直线相交的交点个数问题 37．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则七条直线相交最多有 个交点． 38．（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 题型十八、两点确定一条直线 39．（23-24七年级上·辽宁鞍山·期末）用两个钉子可以把木条固定在墙上，这个生活常识体现的数学原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．直线可以向两端无限延伸 C．两点确定一条直线 D．连接两点间线段的长度叫两点间的距离 40．（23-24七年级上·山东滨州·期末）经过不在同一条直线上的五点中的任意两点画直线，则最多可画直线的条数为 ． 41．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是 ． 题型十九、作线段（尺规作图） 42．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，已知． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段的延长线上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)（填“”、“”或“”），依据是_______； (3)若点是射线上一点，且，，求的长； (4)在（3）的条件下，若点在线段上，且，请直接写出的值． 43．（23-24七年级上·天津·期末）按要求画一画，再填空： (1)画线段； (2)延长线段到点C，使； (3)延长线段到点，使； (4)根据上述画法可知， ， ． 题型二十、线段的和与差 44．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 45．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，点C是线段的中点，点D在直线上，已知线段，． (1)尺规作图：在点A的左边找出点E，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求线段的长． 46．（23-24七年级上·四川自贡·期末）如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点． (1)如果，，，则的长为___________； (2)如果，，则的长为___________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 题型二一、线段中点的有关计算 47．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）点C是线段上任意一点，点分别是的中点，下列说法正确的是（   ）    A． B．当点C为的中点时， C．如果，那么 D．如果，那么 48．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图，点C是线段上的一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的长． 题型二二、线段n等分点的有关计算 49．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，点C在线段AB上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 50．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 51．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 题型二三、线段之间的数量关系 52．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点是线段上一点，为的中点，且．若点在直线上，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 53．（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 题型二四、与线段有关的动点问题 54．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 55．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 题型二五、两点之间线段最短 56．（23-24七年级上·北京·期末）根据下列语句，画出图形（用铅笔作图）． (1)已知四点、、、． ①画直线AB，射线，线段； ②在图中确定一个O，使得点O到四个点，，，的距离之和最短． (2)如图，一艘货轮在沿某小岛北偏东方向航行中，发现了一座灯塔A．某一时刻，灯塔A与货轮分别到小岛的距离恰好相等，作图确定点位置，用量角器度量得到此时的度数是______°（精确到度）． 57．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，点在正方形网格的格点上，每个小方格的边长都为单位． 请按下述要求画图并回答问题： (1)作直线，过点作交直线于点； (2)在直线上求作一点，使点到两点的距离之和最小，作图依据是 ； (3)四边形的面积是 ． 58．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）按要求完成作图及作答：    (1)如图1，点M在直线上，P，两点在直线外，且分别位于直线的异侧． ①分别画出直线，射线； ②在直线上确定一点，使得的长度最短（标出字母）； (2)如图2，平面内三条直线两两相交于A，B，C三点，此时平面被分割成了7个不同的区域，点N为平面内三条直线外另一点，若过N点再画一条直线（请在图上画出），使此时平面被分成最多不同区域，则此时最多不同区域个数为______． 题型二六、两点间的距离 59．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 60．（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 61．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，三点在同一条直线上，，为中点，为中点．若线段的长为8，求线段的长． 题型二七、角的概念理解 62．（23-24七年级上·广东佛山·期末）下列说法：其中正确的是（    ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．绝对值等于本身的数只有 C．如果，则点是线段的中点 D．一个角的两边越长，角度越大 63．（23-24七年级上·全国·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．延长直线 B．在射线上顺次截取线段 C．如果，则点C为的中点 D．平角是一条直线 题型二八、角的表示方法 64．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）如图，下面的说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．可以表示成或 C．直线和相交于点 D．射线和射线表示同一条射线 65．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 题型二九、钟面角 66．（23-24七年级上·天津·期末）当时钟的时针与分针的夹角为时，对应的时刻是（　　） A．12：15 B．3：45 C．3：30 D．9：30 67．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图所示，钟表上显示的时间是时分，此时，时针和分针的夹角的度数是（    ） A． B． C． D． 68．（23-24七年级上·广东深圳·期末）知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距的 A、B两地出发，甲车速度为，乙车速度为，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，表示时针，表示分针（O为两针的旋转中心）．下午4点时，与的夹角． （1）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ； （2）时，时针与分针所成的角度 ； （3）在下午4点至5点之间，从下午4点开始，经过多少分钟，时针与分针成角？    题型三十、方向角的表示 69．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，下面说法中，不正确的是（   ） A．射线表示北偏东 B．射线表示西北方向 C．射线表示西偏南 D．射线表示南偏东 70．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，一艘船在A处遇险后向相距位于B处的救生船报警，A处相对于B处的位置，下列描述最准确的是（    ） A．距救生船处 B．南偏西方向上的处 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上的处 题型三一、与方向角有关的计算题 71．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，某市有三所中学A，B，O，中学A在中学O的北偏东的方向上，中学B在中学O的南偏东的方向上，则的度数是 ． 72．（23-24七年级上·河南周口·期末）如图，甲从点出发向北偏东 方向走到点 ，乙从点出发向南偏西 方向走到点 ，则的度数为 ． 73．（23-24七年级上·河南平顶山·期末）方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）． 请你在图中表示下列方向角（可以用量角器，不写画法）． (1)射线表示北偏西方向； (2)射线表示南偏东方向； (3)求的度数（小于平角）． 题型三二、角的比较 74．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，下列各式中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 75．（23-24七年级上·重庆南岸·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线外，按要求作图： (1)画射线，画线段，画直线； (2)尺规作图：在射线上画一条线段，使得 （保留尺规作图痕迹）； (3)若，． ①比较线段与的大小，并直接写出结论； ②比较与的大小，并直接写出结论． 题型三三、三角板中角度计算问题 76．（24-25七年级上·山东威海·期中）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A． B． C． D． 77．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）把一副三角尺与 按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上， BM为 的平分线． (1)求 和 的度数； (2)若为 的平分线，求的度数． (3)若将图中三角尺逆时针旋转20度， 则大小变化吗？（选填不变、增大或缩小多少度）请直接写出结论． 78．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 题型三四、几何图形中角度计算问 题 79．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）如图，O为直线上一点，平分． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 80．（23-24七年级上·江西·期末）已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 81．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 题型三五、角度的四则运算 82．（24-25七年级上·河北衡水·期中） 83．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）计算： ． 84．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 题型三六、角平分线的有关计算 85．（23-24七年级上·江苏南京·期末）已知、分别是、的角平分线．是内部的一条射线，若，，则的度数为 ．          86．（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 87．（23-24七年级上·北京·期末）几何计算： 如图，已知，，平分，求的度数． 解：因为， 所以______° 所以______＋______＝__________________° 因为平分 所以______＝______°（理由： ） 题型三七、角n等分线的有关计算 88．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示） (3)从图2中的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 89．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点，，在同一直线上，，，是的一条靠近边的三等分线． (1)求的度数； (2)OE是∠AOC的平分线吗？说明你的理由． 题型三八、求一个角的余角 90．（23-24七年级上·江苏常州·期末）有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 91．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 题型三九、求一个角的补角 92．（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 93．（23-24七年级上·四川泸州·期末）一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 题型四十、与余角、补角有关的计 算 94．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）定义：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，，则和互为垂角． (1)如图1，O为直线上的一点，，直接写出图中一对垂角； (2)如果一个锐角的垂角等于这个角的余角的3倍，求这个角的度数； (3)如图2，O为直线上的一点，若，且射线绕O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，两条射线同时运动，运动时间为t秒（），试求当t为何值时，和互为垂角？ 95．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 96．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 题型四一、同（等）角的余（补）角相等的应用 97．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 98．（23-24七年级上·广东湛江·期末）（1）概念： ①补角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为补角． ②余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为余角． （2）性质：同角或等角的补角 ，同角或等角的余角 ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$