第十二章 全等三角形章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第十二章 全等三角形章末重点题型复习 题型一、图形的全等 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握形状大小都完全相同的两个三角形全等，全等三角形对应边相等． 根据全等三角形的定义，即可判断①②；根据全等三角形的判定定理，即可判断③；根据全等三角形的性质，即可判断④． 【详解】解：①面积相等的两个三角形不一定全等，故①不正确，不符合题意； ②周长相等的两个三角形不一定全等，故②不正确，不符合题意； ③直角边分别相等的两个直角三角形全等，故③正确，符合题意； ④全等三角形对应边上的中线相等，故④正确，符合题意； 综上：正确的有③④，共2个， 故选：B． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等图形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；全等图形对应角相等．先求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵蜂房的顶部由三个全等的四边形围成， ∴， 故答案为：． 题型二、全等三角形的概念 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A中的逆命题为对应角相等的两个三角形是全等三角形，错误，不是真命题，故不符合要求； B中的逆命题为相等的角为对顶角，错误，不是真命题，故不符合要求； C中的逆命题为同旁内角相等，两直线平行，错误，不是真命题，故不符合要求； D中的逆命题为若，则，正确，是真命题，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定，对顶角，平行线的判定等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定，对顶角，平行线的判定是解题的关键． 4．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 题型三、全等三角形的性质 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解． 【详解】解：∵点在上，点在上，， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；首先求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过秒后，使与全等， 厘米，点为的中点， 厘米， ， 要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，； 时，，； 即点的运动速度是厘米/秒或厘米/秒． 故答案为：或． 题型四、用SSS证明三角形全等（SSS） 8．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 9．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型五、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 10．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 11．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【详解】证明：， ， . 在和中， ， ． 题型六、全等的性质和SSS综合（SSS） 12．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，解题的关键是证明三角形全等． 证明，得到即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是先证明，得到，即可求解． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴． 题型七、用SAS证明三角形全等（SAS） 14．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)24 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形中线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在中，D是的中点 ∴， ∵， ， ∵， ． 答：的面积为24． 15．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，关键是根据证明与全等解答． 根据等式的性质得出，再根据全等三角形的判定解答即可． 【详解】证明：如图， ， ，即， 在和中， ， ． 题型八、用SAS间接证明三角形全等 （SAS） 16．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、全等三角形的判定、三角形的三边关系以及外角等知识点，正确掌握相关定理是解题关键． 根据全等三角形的判定方法、三角形的三边关系、三角形的外角相关知识逐项判定即可． 【详解】解：A．三角形一个外角大于它不相邻的任何一个内角，故此命题是假命题，不符合题意； B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此命题是假命题，不符合题意； C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0，故此命题为真命题，符合题意； D．两边对应相等，且两边的夹角相等，则这两个三角形全等，故此命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 题型九、全等的性质和SAS综合（SAS） 18．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，由得到，由得到，又由即可证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：∵ ∴, ∵ ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 题型十、尺规作一个角等于已知角 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 作射线，在射线上截取，使得，在的上方作，，射线，交于点，即为所求． 【详解】解：按如下字母命名题干已知： 作射线，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则；以点为圆心，长为半径画弧，交的两边于两点，连接，再以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，连接与两弧的交点得到射线，则；再以点为圆心，为半径作弧，交两边于，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，后以点为圆心，为半径作弧，连接点与两弧交点得射线，两个射线交点为点，即为所求，作图如下： 21．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，平行线的性质．过点作即可得． 【详解】解：如图，直线即为所求． 题型十一、尺规作图--作三角形 22．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作； （2）由作图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 23．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 24．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以根可以根据画出全等的三角形． 【详解】解：根据图形，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以根可以根据画出全等的三角形． 故选： D． 25．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（      ） A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据题意，运用“角边角”判定三角形全等即可求解． 【详解】解：小明选④去，可以运用“角边角”判定三角形全等，可以配一块完全一样的玻璃， 故选：D ． 26．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够通过已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等是解决本题的关键． 先通过角平分线的定义得到一组角相等，再根据全等三角形的判定定理“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（）”证明两个三角形全等，从而得到，进而求出的长度． 【详解】 为的平分线， ， 在和 中： ， 米， 即池塘两侧 ，之间的距离为米． 故答案为：米． 题型十三、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 27．（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，准确理解题意是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质解答即可； （2）由“K字”模型可知，，推出，推出，再根据图中面积进行计算即可； （3）作于点，于点，证明，则，即可得出结论． 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 28．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，分类讨论是银题的关键． 利用全等三角形的性质得到，，，再证明得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【详解】解：， ，，， 在和中， ， ， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为或． ∴甲、乙答案合在一起才完整． 故选：C． 29．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，过和分别作于，于，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】解：过点和分别作于，于， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 题型十四、用HL证全等（HL） 30．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 31．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列说法错误的是（   ） A．取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心 B．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． C．斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的重心，全等三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定定理是解题的关键．根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证． 【详解】解：A、取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，选项正确，不符合题意； B、推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据，选项正确，不符合题意； C、斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等，选项正确，不符合题意； D、两边和一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，选项错误，符合题意． 故选D． 题型十五、全等的性质和HL综合（HL） 32．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)，证明见解析 (2)20 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，继续证明得到，即可得出结论； （2）根据，求出梯形与的面积即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴和的面积之和梯形的面积的面积 ， ， ． 33．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如等．结合已知条件，根据“”判定三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，在和中， ， ∴； ②当时，在和中， ， ∴． 综上所述，当与全等时，的长度为6或12． 故选：B． 题型十六、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 34．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，要说明，需从下列条件中选一个，错误的选法是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键． 先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、加，结合，，运用可证明，不符合题意； B、加，结合，，运用可证明，不符合题意； C、加，满足，不能得出，符合题意； D、加，结合，，运用可证明，不符合题意． 故选C． 35．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点、、、在同一直线上，，添加下列条件仍不能判定与全等的是（    ） A．，； B．，； C．，； D．，； 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角角边，角边角，斜边直角边”进行推理判定即可求解． 【详解】解：已知点、、、在同一直线上，， A、添加，，可以运用“角角边”的方法判定与全等，不符合题意； B、添加，，不能用“边边角”判定三角形全等，符合题意； C、添加，， ∵， ∴， ∴可以运用“角角边”的方法判定与全等，不符合题意； D、添加，， ∵， ∴，即， ∴可以运用“边角边”的方法判定与全等，不符合题意； 故选：B ． 题型十七、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 36．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理，，，，是解题的关键． 依据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，不能证明，故此选项不符合题意； B．与不是两个三角形中的对应边，不能证明，故此选项不符合题意； C．由得，即可根据证明，故此选项符合题意； D．根据不能证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 37．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．掌握普通两个三角形全等共有四个定理，即；直角三角形可用定理，但无法证明三角形全等． 直接利用三角形全等的判定条件进行判定逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两边和一个角分别相等的两个三角形不一定全等；故本选项错误； B、两个角和一个边分别相等的两个三角形，可利用或判定全等；故本选项正确； C、三边分别相等的两个三角形；故本选项正确； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形；故本选项正确． 故选：A． 题型十八、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 38．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意； B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的； D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意． 故选：D． 39．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．根据根据三角形全等的判定方法可对A、B、C选项进行判断；三角形的三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：A、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意； B、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； C、，，，根据三角相等不能能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； D、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A. 题型十九、倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 40．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型二十、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 42．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 【答案】(1)方案见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的应用---方案设计，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键， （1）根据全等三角形的性质设计图形即可； （2）利用“”即可证明方案的可行性． 【详解】（1）解：如图所示： 过B作，过D作，取的中点C，连接并延长交于点E 测量线段的长即可． （2）证明：∵，， ∴ ， ∵C为的中点， ∴， ∴在和中： ∴， ∴． 43．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 题型二一、全等三角形综合问题 44．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）①由三角形外角的性质求出，由全等三角形的性质得出，利用等腰三角形的性质求解，即可解题； ②利用“”证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：①，， ， ， ， ， ； ②证明：， ， ， 由①可知：， 在和中， ， ， ． 45．（23-24八年级上·吉林白山·期末）在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中结论不成立，结论应该是，理由见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． （1）证明，得，，根据线段的和差即可解决问题； （2）根据题意画出图形，同（1）的方法证明，得，，根据线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论不成立，结论应该是，理由如下： 如图所示，当点，在直线的异侧时， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 46．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； 依题意，，进而得到．再证明，再由三角形内角和定理可得，最后利用证明得出，，即可求得，进而根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：且 由外角定理可得， 又， ∴∠CAF＝∠BCE， 在和中， ． ，， ，， ， 的面积为，， ， ， ∴ 的面积是 故答案为：， ． 题型二二、角平分线的性质定理 47．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 48．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，再代入求出即可． 【详解】解：∵，平分交于点D，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 49．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在（）中，、分别为三角形的角平分线、中线，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据三角形角平分线的性质得出，设边上的高为，根据等面积法得出，则可得出，根据为中，边的中线，得出，据此求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ∵为的角平分线， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵为中，边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型二三、角平分线的判定定理 50．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 51．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，进而证明，即可求出线段的长度； （2）过O分别作于M点，作于N点，由四边形内角和，得到，进而得出，证明，得到，从而判定平分，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图所示： 在四边形中，， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． ∵， ∴平分， ∴． 题型二四、角平分线性质的实际应用 52．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：D． 53．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：到三条道路的距离相等的物流仓储基地， 这个基地应该建在的三条角平分线的交点， 故选：C． 题型二五、作角平分线（尺规作图） 54．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．下列结论： ①平分；②；③；④．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的作图，含30度角的直角三角形，根据作图可知平分，进而推出为等腰三角形，结合含度角的直角三角形的性质和角平分线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， 即：； 综上，正确的是①②④共3个； 故选B． 55．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的作法，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，是基础题，难度不大． （1）作的平分线，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得，以点为圆心，以任意长为半径画弧，与、分别相交，再以交点为圆心，以大于两交点之间距离的一半为半径画弧，相交于一点，然后作出角平分线，作线段即可； （2）根据对称性找出全等三角形． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：根据对称性，，，，共3对． 故答案为：3 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 全等三角形章末重点题型复习 题型一、图形的全等 1．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小红学习了全等三角形后写了如下语句，正确的个数为（    ） ①面积相等的两个三角形一定全等    ②周长相等的两个三角形一定全等 ③直角边分别相等的两个直角三角形全等    ④全等三角形对应边上的中线相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，，其中，则 ．    题型二、全等三角形的概念 3．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．两直线平行，同旁内角相等 D．若，则 4．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 题型三、全等三角形的性质 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（   ） A．7 B．5 C．12 D．6 6．（23-24八年级上·青海海东·期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 题型四、用SSS证明三角形全等（SSS） 8．（23-24八年级上·广西柳州·期末）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 9．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 题型五、用SSS间接证明三角形全等（SSS） 10．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2) 在（1）中选择一个进行证明． 11．（23-24八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 题型六、全等的性质和SSS综合（SSS） 12．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）如图，．求证：． 13．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由． 题型七、用SAS证明三角形全等（SAS） 14．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，点D是上的中点，连接并延长到点E，使，连接． (1)求证：； (2)若的面积为12，求的面积． 15．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 题型八、用SAS间接证明三角形全等 （SAS） 16．（23-24八年级上·山西临汾·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于任何一个内角 B．有且只有一条直线与已知直线垂直 C．0的平方根、算术平方根和立方根都是0 D．两边和一角对应相等的两个三角形全等 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 题型九、全等的性质和SAS综合（SAS） 18．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 19．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，求证：． 题型十、尺规作一个角等于已知角 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 21．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：，点为的边上一点． 求作：直线，使． 题型十一、尺规作图--作三角形 22．（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 23．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 题型十二、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 24．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 25．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法（      ） A．选①去 B．选②去 C．选③去 D．选④去 26．（24-25八年级上·全国·期中）如图，为了测量池塘两侧 ，间的距离，在点同侧选取点，经测量，然后在的一侧找到一点，使得为的平分线，且，若的长为米，则池塘两侧 ，之间的距离为 ． 题型十三、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 27．（24-25八年级上·广东江门·期中）通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 28．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）题目：“如图，与相交于点，且，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 29．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标是 ． 题型十四、用HL证全等（HL） 30．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（　　） A． B． C． D． 31．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）下列说法错误的是（   ） A．取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心 B．推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据． C．斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．两边和一边的对角分别相等的两个三角形全等 题型十五、全等的性质和HL综合（HL） 32．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，四边形中，，E是的中点，平分． (1)判断、、之间的数量关系，并证明； (2)若，，求和的面积之和． 33．（24-25八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，，当与全等时，的长度为（   ） A．6 B．6或12 C．8 D．8或12 题型十六、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 34．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）如图，，要说明，需从下列条件中选一个，错误的选法是（      ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点、、、在同一直线上，，添加下列条件仍不能判定与全等的是（    ） A．，； B．，； C．，； D．，； 题型十七、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 36．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图下列各组条件中，可以判定的条件是（　　） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 37．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）判断两个三角形全等的方法不正确的有（   ） A．两边和一个角分别相等的两个三角形 B．两个角和一个边分别相等的两个三角形 C．三边分别相等的两个三角形 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 题型十八、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 38．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 39．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型十九、倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 40．（24-25八年级上·甘肃嘉峪关·期中）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为，从而得到的取值范围是________________________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 41．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 题型二十、垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 42．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）如图，学生甲学习了全等三角形后，想测草坪旁池塘两岸相对两点，的距离．请你给学生甲设计一个测量方案，并证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． (1)简单说明你设计的方案，并画出图形； (2)证明你的方案的可行性，即证明按你的方案进行测量，其结果是正确的． 43．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 题型二一、全等三角形综合问题 44．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，，与交于点P，点C在上． (1)求证：； (2)若，． ①求的度数； ②求证：． 45．（23-24八年级上·吉林白山·期末）在中，，，过点作直线，分别过点，，作，，垂足分别为，（点，不重合）． (1)如图，当点，在直线的同侧时，求证； (2)当点A，B在直线的异侧时，其他条件不变，在备用图中画出图形，判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由． 46．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，点在边上，，分别是射线上的两点，且，，，．则的值是 ；若，的面积为，则的面积是 ． 题型二二、角平分线的性质定理 47．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 48．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ． 49．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在（）中，、分别为三角形的角平分线、中线，若，，则的值为 ． 题型二三、角平分线的判定定理 50．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 51．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P． (1)求线段的长度； (2)连接，求的度数； 题型二四、角平分线性质的实际应用 52．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图，直线，，表示三条公路.现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 53．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）纵横交错的公路和铁路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域.若建一个到三条道路的距离相等的物流仓储基地，则这个基地应该建在（    ） A．的三条高线的交点 B．的三条中线的交点 C．的三条角平分线的交点 D．的三边垂直平分线的交点 题型二五、作角平分线（尺规作图） 54．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．下列结论： ①平分；②；③；④．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 55．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在的两边上，且． (1)请按下列语句用直尺和圆规作图：作，垂足为，的平分线交的延长线于点，连接不写作法，保留作图痕迹 (2)作图后，该图中有 对全等三角形． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$