重点突破专题(1)构造全等三角形的常用辅助线&综合与实践(2)测量河流宽度-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

高，∴.CF⊥AB,CE⊥AD,∠BFC=∠E=90°，又AC平分∠BAD,.CF=CE. 又BC=DC,.Rt△BFC≌Rt△DEC.∴.BF=DE.6.中线A'D'A'B' ∠BBC安 BD'A'B′∠BB'D'A'B'D'7.A8.109. (1)DC=DB(2)证明：过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则 ∠DFC=∠DEB=90°.·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF. ∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD.在△DFC和 「∠DFC=∠DEB, △DEB中，3∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB(AAS).∴.BD=DC DF=DE, 微专题（三） 1.152.23.304.(1)6(2)8 第2课时角的平分线的判定 知识储备 2.内三边 基础练综合练素养练 1.(1)平分线平分线∠POE(2)C(3)32.证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, ∠BED=∠DPFC=9O,在Rt△DEB和R△DFC中，BB=DC,.R△DEB ≌Rt△DFC(HL),∴.DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC的平分 线.3.B4.125.110°6.解：图略.7.D8.A9.D10.(1)证明：过点 D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又·BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACM,.DE=DF,DG=DF..DE=DG..AD平分 ∠EAC,即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线.(2)65°11.证明：(1)过点 O作OE⊥AC于点E.·OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°，∴.OE=OB.点 O为BD的中点，∴.OB=OD,∴.OE=OD.又∠CEO=∠D=90°，.点O在 ∠ACD的平分线上，∴.OC平分∠ACD:(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE =∠C0D∠A0C-∠B0E+∠D0E=×180°=90,0A10C,(3) 在R△AOB和R1△AOE中，8A-8A:R1△AOB≌R△A0EH)AE园 AB.同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,∴.EC=DC,∴.AE+CE=AB+CD,即AC =AB+CD. 重点突破专题（一）构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB=∠PGC =90°..BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,.PH=PG.在Rt△PDH和Rt APEG中，PH-PE,Ri△PDH≌Rt△PEG(HD,∠PDH=∠PEG3 ∠PDB+∠PDH=180°，.∠PDB+∠PEB=180°.2.证明：在BC上取点F, 使BF=BA.连接DE.:BD平分∠ABC∠ABD=∠CBD=立∠AC-=20 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°.在△ABD和△FBD中， (AB=FB, ∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△FBD(SAS).∴.∠ADB=∠FDB=60°，AD= BD=BD, DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°，.DF=DE,∠FDC= (FD=ED, ∠ADB=∠EDC=60°.在△FCD和△ECD中，∠FDC=∠EDC,.△FCD≌ DC=DC, △ECD(SAS).∴.EC=FC..BC=BF+CF=BA+EC.3.(1)证明：延长AD 至E,使ED=AD,连接CE.AD是△ABC的中线，.BD=CD.在△ABD和 BD=CD, △ECD中，∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD(SAS).∴.AB=EC.在△ACE AD=ED, 中，AC+EC>AE,∴.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC+ CE,∴AC-AB<2AD<AC+AB,即<AD<7生5,1<AD<6.4.证 明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF.,CE是△ACD的中线，∴.AE=DE.在 (AE=DE, △ACE和△DFE中， ∠AEC=∠DEF,∴.△ACE≌△DFE(SAS).∴.∠A= CE=FE, 181 ∠ADF,AC=DF.∴.AC∥DF.∴.∠CDF=180°-∠ACD..∠BDC=180° ∠ADC,∠ACD=∠ADC,.∠CDF=∠BDC.BD=AC,AC=DF,∴.DF= (CD=CD, BD.在△BCD和△FCD中，∠BDC=∠CDF,.△BCD≌△FCD(SAS).∴.BC BD=FD. =CF=2CE,即CE=号BC.5.【初步探索】EF=BE+DF【拓展延伸】解：上 述结论仍然成立，理由如下：延长FD至H,使DH=BE,连接AH.:∠B+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠ADH=180°，'∠B=∠ADH.在△ABE和△ADH (AB-AD 中，{∠B=∠ADH,.△ABE≌△ADH(SAS).∴.∠BAE=∠DAH,AE=AH. BE-DH :∠EAF=Z∠BAD,·∠BAE+∠DAF=∠BAD.'∠DAH+∠FAD- ∠BAD=∠PAH.又：∠EAF-号∠BAD,∠EAF=∠FAH在△AEF和 1 AE-AH △AHF中，∠EAF=∠FAH,∴.△AEF≌△AHF(SAS).∴.EF=FH=DF+ AF-AF DH=DF十BE...上述结论仍然成立. 综合与实践（二）测量河流宽度 任务1：BC任务2：解：(2)第二小组的方案可行，理由如下：O是BE中点，. OB=OE.,AB⊥BE,EF⊥BE,.∠ABO=∠FEO=90°.在△ABO和△FEO 「∠ABO=∠FEO, 中，BO=EO, .△ABO≌△FEO(ASA),.EF=AB..河宽AB的长 ∠AOB=∠FOE. 度就是线段EF的长度.任务3：观测者从B点向正西走到C 点，使用测量角度的仪器测得∠BCD=∠ACB=65°，CD交AB 延长线于D.如图：只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长， 理由如下：.'AB⊥BC,∴.∠ABC=∠DBC=90°.在△ABC和 (∠ABC=∠BDC, △DBC中，BC=BC, .△ABC≌△DBC(ASA).. ∠ACB=∠BCD. BD=AB.∴.河宽AB的长等于线段BD的长. 第十二章核心素养与跨学科融合专练 1.证明：：∠3=∠4，∴.∠BEA=∠BEC.在△BAE和△BCE中， ∠1=∠2， BE=BE, ∴.△BAE≌△BCE(ASA)..AE=CE.在△AED和△CED ∠BEA=∠BEC, (AE=CE. 中，〈3=/4，∴.△AED2△CED(SAS)...AD=CD.2.(1)证明：由题意得： DE=DE. AB=BD,∠ABD=90°，AC⊥CE,DE⊥CE,∴.∠BED=∠ACB=90°..∠BDE +∠DBE=90°，∠DBE+∠ABC=90°，.∠BDE=∠ABC.在△ACB和△BED 「∠ABC=∠BDE 中，∠ACB=∠BED,.△ACB≌△BED(AAS).(2)50cm3.1.5m AB=BD, 第十二章考点整合与素养提升 1.A2.D3.A4.AB=AD(答案不唯一)5.36.(4,1)7.证明：(1) BD⊥AC,CE⊥AB,.∠ADB=∠AEC=90°.在△ABD与△ACE中， 「∠A=∠A, ∠ADB=∠AEC,.△ABD≌△ACE(AAS).∴.AE=AD.AC=AB,∴.AC AB=AC, AD=AB-AE.即BE=DC:(2)△ABD≌△ACE;△BEF≌△CDF;△AEF≌ △ADF;△ABF≌△ACF.8.5009.210.1511.①②④12.1或413. 解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.理由如下：·AC⊥AB,BD⊥AB,∴.∠A= ∠B=90°.：AP=BQ=2×2=4(cm),∴.BP=AB-AP=14-4=10(cm).. (AP=BQ, BP=AC.在△ACP和△BPQ中，∠A=∠B,.△ACP≌△BPQ(SAS).∴.∠C AC=BP. =∠BPQ.∠C+∠APC=90°，.∠APC+∠BPQ=90°.∴.∠CPQ=90°. -182重点突破专题(一) 构造全等三角形的常用辅助线 类型一 利用“角平分线”构造全等三角形 模型展示 1.过角平分线上的一点作角两边的垂线,如图1. 2.在角的两边截取相等的线段构造全等三角形,如图2 D 图1 .图2 1.如图,P为ABC的平分线上的一点,点D 和点E分别在AB和BC上,且BD BE PD=PE,求证: BDP+BEP=180^{$ 类型二 利用“倍长中线法”构造全等三角形 模型展示 将中线延长一倍,然后利用 “SAS”判定三角形全等. 3.如图,△ABC中,AD是中线 (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB-5,AC-7,求AD长的取值范围 2.如图,在△ABC中,A=100{},ABC 40{*.,BD平分 ABC交AC于点D,延长BD 至点E,使ED=AD,连接CE 求证:BC=AB十CE 37 八年馥数学·上册 4.如图,CE是△ADC的中线,点B在AD的延 【初步探索】 长线上,BD=AC, ACD= ADC 小亮同学认为:延长FD到点G,使DG一 求证:CE一 BE,连接AG,先证明/\ABE 2\ADG,再证 明△AEF△AGF,则可得到 BE,EF,FD 之间的数量关系是 【拓展延伸】如图2,AB=AD,B十ADC -180{*,E,F分别是BC,CD上的点, EAF 理由: 图1 图2 类型三 利用“截长补短法”构造全等三角形 解题技 截长补短法的具体做法:在较长线段上截取一条 线段与特定的较小线段相等,或将某条较小线段延 长,使延长部分与特定线段相等,再利用全等三角形 的性质进行证明,这种方法适用于证明线段的和、差 过等关系。 5.【问题情景】 如图1,在四边形ABCD中,AB=AD. $$ $B $AD=12 0{*, B=$ADC=9 0^{*},E,$F分$ 别是BC,CD上的点,且 EAF=60{*,试探究 请完成重难专练(三)(四)(五) 线段BE,EF,FD之间的数量关系 助学助教 优质高数 38 综合与实践(二) 测量河流宽度 根据以下素材,完成探索任务 如图,为了测量一条两岸平行的河流宽度,由于跨河测量困难,所以,三个数学研究小组设计了不 同的方案,他们在河南岸的点B处,测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向,测量方案 如下表: 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器(仪器的高度忽略不计)、标杆、皮尺等 第二小组 小组 第一小组 第三小组 素 观测者从B点向正东走到E点 观测者从B点向正东走到 O是BE的中点,继续从点E沿 测量方案 C点,此时恰好测得: 垂直于BE的EF方向走,直到 材 乙ACB-45。 点A.O.F在一条直线 测量示意图 问题解决 任务1 (1)第一小组认为,河宽AB的长度就是线段 的长度, (2)第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯,他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的 任务2 长,你认为第二小组的方案可行吗?如果可行,请给出证明;如果不可行,请说明理由: (3)请你代表第三小组,设计一个测量方案,把测量方案和测量示意图填人上表,然后指明你画的示意 任务3 图中,只要测出哪条线段的长,就能推算出河宽AB长,并说明方案的可行性. 39 八年馥&学·上册