6.4 探索三角形相似的条件（第4课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.4　探索三角形相似的条件（4） 第4课时　利用三边证相似 学习目标 1. 探索并证明相似三角形的判定定理“三边成比例的两个三角形相似”； 2. 能运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似，进一步提高有条理思考和推理的能力. 2 问题情境 全等三角形是特殊的相似三角形，你认为它特殊在哪些方面？ 类比判定两个三角形全等得条件，你认为判定两个三角形相似还可以有哪些条件？ 实践与探索 如图，已知△ABC. A B C 作△A′B′C′ ，使 . 所作的△A′B′C′与△ABC相似吗？如何判断？ A′ B′ C′ 通过度量得∠A′＝∠A(或∠B′＝∠B或∠C′＝∠C)，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，△ABC∽△A′B′C′. 4 实践与探索 如图，已知△ABC. A B C A′ B′ C′ 作△A′B′C′ ，使 . 所作的△A′B′C′与△ABC相似吗？如何判断？ 通过度量得∠A′＝∠A(或∠B′＝∠B或∠C′＝∠C)，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，△ABC∽△A′B′C′. 5 实践与探索 已知：如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中， . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ B′′ C′′ 证明：在线段AB上截取AB′′＝A′B′(假设AB＞A′B′)，过点B′′作B′′C′′∥BC，交AC于点C′′. 根据例1所得的结论可得△ABC∽△AB′′C′′. ∴ . ∵AB′′＝A′B′，， ∴B′′C′′＝B′C′，CA′′＝C′A′， ∴△AB′′C′′≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 6 新知归纳 三角形相似的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. A B C A′ B′ C′ A′ B′ C′ 符号语言： 在△ABC和△A'B'C'中， ∵ ， ∴ △ABC∽△A'B'C'. 7 新知巩固 1. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：相似．理由如下： ∵0.6，0.6，0.6， ∴. ∵△ABC与△DEF的三边成比例， ∴△ABC∽△DEF. 8 新知巩固 2.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. (1)AB＝𝟓cm，BC＝𝟔cm，AC＝𝟕cm，A′B′ ＝𝟏𝟓cm，B′C′ ＝𝟏𝟖cm，A′C′ ＝𝟐𝟏cm； 解：(1)相似．理由如下： ∵，，， ∴. ∵△ABC与△A′B′C′的三边成比例， ∴△ABC∽△A′B′C′. 9 新知巩固 2.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由. (2) AB＝12，BC＝15，AC＝24，A′B′＝25，B′C′＝40，C′A′＝20. 解： (2)相似．理由如下： ∵，，， ∴. ∵△ABC与△A′B′C′的三边成比例， ∴△ABC∽△C′A′B′. 10 方法总结 利用三边成比例判定两个三角形相似时，如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最大边与最大边对应，最短边与最短边对应. 11 例题讲解 例1 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. △ABC与△ DEF相似吗？为什么？ 解: △ABC与△DEF相似. 由图可得AB2，BC＝2，CA2，EF2，DE， FD， ∴ ， ∴△ABC∽△DEF(三边成比例的两个三角形相似). 12 例题讲解 例2 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且. 解: (1)∠1与∠2相等. 在△ABC和△AED中， ∵， ∴△ABC∽△AED (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠BAC＝∠EAD (相似三角形的对应角相等). ∴∠1∠2. (1) ∠1与∠2相等吗？为什么？ 1 2 A B C D E F 13 例题讲解 例2 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且. (2) 判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由. 1 2 A B C D E F 解：(2)△ABE与△ACD相似. 得 ， 在△ABE和△ACD中， ∵ ，∠1∠2， ∴△ABE∽△ACD (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 14 1 2 A B C D E F 解：(3) 还有△ABF∽△DCF，△ADF∽△BCF. 理由如下： ∵△ABE∽△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD. 又∵∠AFB＝∠DFC， ∴△ABF∽△DCF. ∵△AED∽△ABC， ∴∠ADE∠ACB. 又∠AFD∠BFC， ∴ △ADF∽△BCF. 拓展与延伸 例2 如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且. (3) 在图中，还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来，并说明理由. 15 拓展与延伸 例3 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？ 解：设另外两条边长分别为x、y . 方案(1) k1＝＝， ＝＝，x＝，y＝3； 方案(2) k2＝， ＝＝，x＝，y＝； 方案(3) k3＝＝ ， ＝＝，x＝，y＝. 16 新知巩固 1. 在△ABC和△A'B'C'中，＝k. (1)当k＝1时，△ABC与△A'B'C'有怎样的关系？ 解：(1)当k＝1时，AB＝A'B'，BC＝B'C'，CA＝C'A'，根据“三边相等的两个三角形全等”，可以得到△ABC≌△A'B'C'. A B C A′ B′ C′ 新知巩固 解：(2)当k≠1时，根据“三边成比例的两个三角形相似”，可以得到△ABC∽△A'B'C' . A B C A′ B′ C′ 1. 在△ABC和△A'B'C'中，＝k. (2)当k≠1时，△ABC与△A'B'C'有怎样的关系？ 新知巩固 2. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标为A(2,0),B(4,0),C(0,4),将各顶点的横坐标、纵坐标都乘2,得相应的点 A'、B'、C'的坐标. (1) 画△A'B'C'； O x y 2 4 6 8 2 4 6 8 C A B A' B' C' 新知巩固 (2)△A'B'C'与△ABC相似吗？为什么？ O x y 2 4 6 8 2 4 6 8 C A B A' B' C' 解：(2)△A'B'C'与△ABC相似. 由图可得AB2，A'B'4，CA2， C'A'4，BC，B'C'. ∴ ， ∴△ABC∽△A'B'C' (三边成比例的两个三角形相似). 新知巩固 3. 如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F， . ∠BAD与∠EBC相等吗？为什么？ A D C B E F 解：∵ ， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E. ∵∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， ∴∠BAD＝∠FAE. 在△FBC和△FAE中， ∵∠C＝∠E，∠BFC＝∠AFE， ∴∠EBC＝∠FAE， ∴∠BAD＝∠EBC. 21 4. 如图，O是△ABC内的一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点. 求证：△ABC∽△DEF. D A C B O E F 新知巩固 证明：∵D、E、F分别是OA、OB、 OC的中点， ∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC， 即＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 22 新知巩固 5. 如图，AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，且，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由. A B C D A′ B′ C′ D′ 解: △ABC和△A'B'C'相似. ∵， ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴∠BAD∠B'A'D'，∠B∠B'. ∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线， ∴∠BAC2∠BAD，∠B'A'C'2∠B'A'D'， ∴∠BAC∠B'A'C'. ∵∠B∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C'. 23 “三边成比例的两个三角形相似”的证明 “三边成比例的两个三角形相似”的应用 探索定理的思想方法 课堂总结 当堂检测 基础过关 1. 下列各组三角形一定相似的是 ( 　 ) A. 两个直角三角形 B. 两个钝角三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个等边三角形 D 25 当堂检测 基础过关 2. 已知△ABC和△DEF，下列条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是 (　 ) A. B. C. 且∠A＝∠E D. 且∠B＝∠E B 26 当堂检测 基础过关 A． B． C． D． B 3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (　 ) 27 当堂检测 基础过关 4. 把△ABC的各边分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1　　　　. (填“相似”或“不相似”)  相似 5. 已知在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6. (1)如果DE＝10，那么当EF＝______，FD＝_____时，△DEF∽△ABC； (2)如果DE＝10，那么当EF＝______，FD＝_____时，△FDE∽△ABC. 12.5 15 12 8 28 当堂检测 基础过关 6. 如图，在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且． (1)若∠DAE＝22°，求∠BAD的度数； A D C B E 解：(1)∵， ∴△ABE∽△ACD (三边成比例的两个三角形相似). ∴∠DAE∠BAE22°， (相似三角形的对应角相等). ∴∠BAD22°＋22°44°. 29 当堂检测 基础过关 6. 如图，在四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且． (2)判断△ADE与△ACB是否相似，并说明理由． A D C B E 解：(2)△ABE∽△ACD，理由如下： ∵， ∴， ∴∠DAC∠BAE， ∴△ADE∽△ACB. 30 当堂检测 基础过关 1. 如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，下列结论正确的是 (　　) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C 31 当堂检测 能力提升 2. 如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.在三角形②～⑥中，与三角形①相似的是 (　　) A.②③④   B.③④⑤ C.④⑤⑥   D.②③⑥ B 32 当堂检测 能力提升 4. 在△ABC和△A′B′C′中，已知，要使△ABC∽△A′B′C′， 还应增加一个条件____________或___________. ∠A＝∠A′ 3. 若△ABC的三条边长的比为3:5:6，与其相似的另一个△DEF的最小边长为12 cm，则△DEF的最大边长是 　. 24 cm 33 当堂检测 能力提升 5. 如图，已知 AB : AD＝BC : DE＝AC : AE，图中相等的角 (对顶角除外)有___________________________________________________. A B C D E ∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE 34 当堂检测 能力提升 6. 如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，，连接EC. (1)求证：△ABD∽△ACE； 证明：(1)∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF， 即∠BAD＝∠CAE. ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE. A D C B E F 35 当堂检测 能力提升 6. 如图，点B，D，E在一条直线上，BE与AC相交于点F，，连接EC. (2)若∠BAD＝20°，求∠EBC的度数. 证明：(2)由(1)知△ABC∽△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE. ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC， ∠ADE＝∠ABE＋∠BAD， ∴∠EBC＝∠BAD＝20°. A D C B E F 36 2021 Blues 4800.0 $$