微专题05 相似三角形的判定与性质8题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题05 相似三角形的判定与性质 题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 2．（2022·浙江杭州·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点 (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，交于点F．若， (1)求的值； (2)求的长． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，于点． (1)计算及的长； (2)求的值． 题型二 添加条件使两个三角形相似 6．（2025·甘肃·三模）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24九年级上·广西百色·期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 题型三 选择合适的方法证明两个三角形相似 判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 11．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 14．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 15．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图,在中,,点分别是上的点(点D不与点B重合),且满足．    (1)图中有哪几对相似三角形?并选择其中一对加以证明； (2)当是等腰三角形时,求的长； (3)当最大时,求的长．   题型四 利用相似三角形的性质求解 利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 17．（2025·江苏扬州·二模）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，直角三角形中，，，，为的中点，过点作的垂线，交边于点，若点在射线上（不与点重合），且由点，，组成的三角形与相似，则的长为 ． 22．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，点在上，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)设的边上的高为，的边上的高为．若的面积9，的面积为4，求的值及的面积． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 题型五 相似三角形判定与性质综合 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 25．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 26．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 27．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 题型六 相似三角形与尺规作图 29．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在方格纸中画一个格点三角形(顶点在格点的三角形) 与相似，且相似比为； （2） 如图2，在方格纸中画一个格点三角形(顶点在格点的三角形) 与全等； （3）如图3，在方格纸中，圆恰好经过格点、、，仅用一把无刻度直尺过点作圆的切线． (要求：写出必要的文字说明) 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 31．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 32．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点、、均在格点上．、、均在格线上，则图1中， ； ； （2）用无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2：在梯形中，，是边上的一个定点，试在边上找一点，使； ②如图3：条件与①一样，试在边上找一点，使． 题型七 利用“三点定形法”证明比例式或等积式 “三点定形法”是证明线段等积式或比例式最常用且最有效的方法，他就是设法找出比例式中（或转化后）所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”定出来的两个相似三角形. 33．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 34．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 35．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若是的中点，判断与是否相等，并说明理由． 题型八 相似三角形与函数综合 函数与相似的关系在数学中主要体现在将相似三角形的性质与函数问题相结合，以分析函数的几何特性和解决几何问题.通过将相似三角形的性质应用到函数问题中，可以分析和描述动态点的位置和运动；利用相似三角形的性质，可以将几何问题转化为代数问题，从而实现问题的量化计算.这样提高了问题解决的效率和精度，实现了从简单的描述性分析到精确的量化计算. 37．（江苏省泰州市靖江外国语学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）如图，点A为反比例函数图象上的一动点，连接，过点O作的垂线，且（点B在第一象限），点B的横纵坐标分别为，求证：是一个定值． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若将直线绕点A旋转90度后与抛物线交于点P，求点P的坐标． 39．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 40．（2025·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． (1)求反比例函数与一次函数关系式； (2)点是线段上一点，且，求出点坐标 41．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 题型九 能力提升练 43．（2025·江苏南京·二模）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 44．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 45．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 46．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 47．（24-25九年级上·江苏·期中）如图1，平行四边形的面积为，，为锐角．点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形． (1)如图2，若点在对角线上，则正方形的边长为　　　； (2)设与对角线交于点，如果点与点重合，求的值； (3)如果点在边上，且与相似，求的长． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上一个动点，点C在第一象限内． (1)如图1，． ①若是以为斜边的直角三角形，且．则点C的坐标为______； ②若是等边三角形．求点C的坐标； (2)如图2，当是等边三角形时，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围． 49．（24-25九年级上·江苏·期中）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形可以证明：． (1)请你帮龙龙完成证明 (2)请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知分别是的中线和高线，若，，，求的值 ②如图4，在中，，平分交于点D，，垂足为点E．若，，点F在的延长线上，若与相似，求线段的长． 50．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 51．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与x轴、y轴交于A、C点，直线与x轴、y轴交于B、E点，两直线相交于D，且，，连接．若、，，、是一元二次方程的两个实数根． (1)直接写出C点坐标________； (2)若的面积为8，求a与b的值； (3)若的外心在其边上，求的长度． 52．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， (1)填空：______，______； (2)如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； (3)如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题05 相似三角形的判定与性质 题型一 由平行截线求相关线段的长或比值 当“A型”或“X型”在几何图形中出现时，我们可以利用平行线分线段成比例定理及推论建立有关线段的比例式，把线段的长代入比例式，通过解方程求出线段的长. 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，相交于点E，在一条直线上．． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例； （1）由，利用平行线分线段成比例，可得出，由，再利用平行线分线段成比例，即可求出的值； （2）由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合，，即可求出的长． 【详解】（1）∵， ， 又∵， ； （2）∵， ， 又，， ． 2．（2022·浙江杭州·一模）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点 (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，则，即可得出； （3）由（1）知：，则，根据三角形外角的性质可得，，则，、、、四点共圆，由点恰好落在以为直径的圆上，可得，则点也落在以为直径的圆上，连接，则，，根据含角的直角三角形的性质可得，即可得． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）过点作交于， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 的值； （3）连接， 由（1）知：， ， ， ， ， 、、、四点共圆， 点恰好落在以为直径的圆上， ， 点也落在以为直径的圆上， ， ， 连接，则，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，圆的有关性质． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，交于点F．若， (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意可知、，然后代入化简即可； （2）如图：过点D作交AB于点M，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，易得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵AEAD， ∴， ∴． （2）解：如图：过点D作交AB于点M， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，于点． (1)计算及的长； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）先求出，由勾股定理得，再由三角形的面积可求出，最后再由勾股定理得出； （2）求得，过点作交的延长线于点，可证明，得，可得，由可得，得出，设，则，得，故可求出． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， 在中，，，， ∴， 又， ∴， 解得； 在中，，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴； 过点作交的延长线于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，得， ∴． 题型二 添加条件使两个三角形相似 6．（2025·甘肃·三模）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 7．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．由题意得，则可判断； 【详解】解：∵， ∴，即； 若或， ∵两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似，A、B不符合题意； 若， ∵两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似； ∴能判定与相似；D不符合题意； 当不能判定与相似；C符合题意； 故选：C 8．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加 后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加 后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加 后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加 ，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 9．（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：，， ， 故①单独能够判定； ，， ， 故②单独能够判定； 由③不能判定， ，， ， 故④单独能够判定； 其中单独能够判定的条件有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 10．（23-24九年级上·广西百色·期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是 （请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 题型三 选择合适的方法证明两个三角形相似 判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 11．（24-25九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，点在上，的延长线交的外接圆于点，与相似吗？为什么？ 【答案】相似，见解析 【分析】先利用等腰三角形得出，进而得到一组角相等；再结合圆周角定理找到另一组角相等，依据“两角分别相等的两个三角形相似”来判断与是否相似 ．本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及相似三角形的判定，熟练掌握圆周角定理和相似三角形判定定理（两角分别相等的两个三角形相似 ）是解题的关键． 【详解】解：与相似．理由如下∶ ， ， ． ∵， ∴， 在和中， ，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 12．（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 14．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 15．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）如图、已知，，，，，． (1)求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定． （1）在中，根据勾股定理求出，再用即可求出的长； （2）先求出的长，得到，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图,在中,,点分别是上的点(点D不与点B重合),且满足．    (1)图中有哪几对相似三角形?并选择其中一对加以证明； (2)当是等腰三角形时,求的长； (3)当最大时,求的长． 【答案】(1)，见解析 (2)或 (3)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、求二次函数的最大值等，解题的关键是找准相似三角形的对应角与对应边． （1）根据外角的性质与等腰三角形的性质可推得当有两个角相等时则两三角形相似，据此即可判断有二对三角形相似． （2）当是等腰三角形时，分三种情况分别讨论即可； （3），根据相似三角形的性质列出比例式，然后化简整理成y关于x的函数关系式，求二次函数的最大值即可． 【详解】（1）① ∵， ∴ ∵， ∴ 又， ∴， ∴ 或② ， ∴ 又， ∴ ∵， ∴． （2）①当时，过点A作，垂足为点H．（如图）    则． 由与可得： ∴ ②当时，， ③当时，不存在 （3）设． ∵ ∴，又， ∴， ∴ ∴当时，最大，此时． 题型四 利用相似三角形的性质求解 利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题. 17．（2025·江苏扬州·二模）若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为． 故选：C． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 19．（2025·江苏宿迁·一模）如图，的中位线，把沿折叠，使点A落在边上的点F处，若A、F两点间的距离是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得即是的高，再由中位线的性质求出，继而可得的面积，然后根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，三角形中位线定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B ． 20．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查三角形相似时周长比等于相似比，能够熟练运用性质是解题关键．利用三角形相似的性质解题即可． 【详解】解：∵与相似， ∴相似比为：， ∴周长的比为：， ∵的周长为：， ∴的周长为：， 故答案为：． 21．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，直角三角形中，，，，为的中点，过点作的垂线，交边于点，若点在射线上（不与点重合），且由点，，组成的三角形与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或， 22．（2024·上海杨浦·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，联结，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，并延长至，使得，延长交于点，连接 ∵点是重心， ∴分别为的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，点在上，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)设的边上的高为，的边上的高为．若的面积9，的面积为4，求的值及的面积． 【答案】(1)相似 (2)， 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）利用平行可得到，，可证明； （2）利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比可求得，再根据和同底，可知其面积比等于，可求得的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，判断的形状，并说明理由； (2)作交于点R，连接，当t为何值时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似 【分析】本题主要考查矩形的判定与性质、等边三角形的判定及性质、三角形相似的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）当时，可分别计算出、的长，再对的形状进行判断即可； （2）先证为等边三角形，进而得出四边形是矩形，再分、、三种情况分别列比例式建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 是等边三角形，理由如下： 当时，，， ， ， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：如图：过Q作，垂足为E， ∵， ，， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ， ∴ ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 又， ， ∵与以P、R、Q为顶点的三角形相似 ∴当时， ∴，即，解得：； ∴当时， ∴，即，解得：； 当时，不符合题意． 综上，当时，与以P、R、Q为顶点的三角形相似． 题型五 相似三角形判定与性质综合 由于相似三角形具有对应边成比例、对应角相等的特性，因此在求线段的长及角的大小时，可以找出边、角所在的三角形，然后寻找条件证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出对应边成比例、对应角相等，进而求出线段的长及角的大小. 25．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，四边形是正方形，，交于点G． (1)求正方形的边长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即正方形的边长为； （2）解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 26．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵中，是斜边的中线，， ， 又 ∵， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 27．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）在中，，E是边上一点，将沿着翻折到．如图，若E、F、D三点共线． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键． （1）利用翻折的性质和平行四边形的性质，得到即可得到结论； （2）利用翻折的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，利用对应线段成比例求出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形， ， ， 将沿着翻折到， ， ， ； （2）解： 将沿着翻折到， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）知， ， ， ， ． 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)若与相似，求的值； (2)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1)或 (2)当时，四边形的面积最小，最小值为18 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质求最值． （1）根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； （2）作于点M，根据相似三角形的性质列出比例式，用t表示出，设四边形的面积为y，根据三角形的面积公式计算得，再根据二次函数的性质求最值即可； 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得，； ②当时，， ∴， 解得，， 综上所述，或时，与相似； （2）解：作于点M， 则， ∴，即， 解得，， 设四边形的面积为y， 由题意得：， ∴当时，y有最小值18， 即当时，四边形的面积最小，最小值为18． 题型六 相似三角形与尺规作图 29．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在方格纸中画一个格点三角形(顶点在格点的三角形) 与相似，且相似比为； （2） 如图2，在方格纸中画一个格点三角形(顶点在格点的三角形) 与全等； （3）如图3，在方格纸中，圆恰好经过格点、、，仅用一把无刻度直尺过点作圆的切线． (要求：写出必要的文字说明) 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析 【分析】（1）取格点、、，连接、、即可； （2）取格点、、，连接、、即可； （3）连接、、，取格点、，连接、，过点、作直线即可． 【详解】解：设方格纸中小正方形的边长为， （1）如图1，取格点、、，连接、、， ∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴，且相似比为， 则即为所作； （2）如图2，取格点、、，连接、、， ∵，，， ，，， ∴，，， ∴， 则即为所作； （3）连接、、，取格点、，连接、，过点、作直线， ∴，，， ∵圆恰好经过格点、、， ∴是圆的直径， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是直径的端点， ∴直线与经过格点、、的圆相切， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的判定，的圆周角所对的弦是直径，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求，理由如下： 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． （2）解： ，，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，， 如图所示，即为所求． 31．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 32．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点、、均在格点上．、、均在格线上，则图1中， ； ； （2）用无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2：在梯形中，，是边上的一个定点，试在边上找一点，使； ②如图3：条件与①一样，试在边上找一点，使． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了格点作图，利用了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）①延长和相交于点，连接交于点，点即为所作； ②连接和相交于点，连接并延长交于点，点即为所作． 【详解】解：（1）如图1， 由题意得， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）①如图2，点即为所作； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点即为所作； ． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 利用“三点定形法”证明比例式或等积式 “三点定形法”是证明线段等积式或比例式最常用且最有效的方法，他就是设法找出比例式中（或转化后）所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”定出来的两个相似三角形. 33．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 34．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 35．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到角相等，进而判断三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到角相等，进而得到边相等，再根据勾股定理即可得到答案； （3）先判断三角形相似，再根据垂线段最短得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 又∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴要想让取得最小值，只需要让取得最小值即可， ∵点P是边上的点， ∴时，最小，由（2）的过程可知：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是合理的运用三角形的相似； 36．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若是的中点，判断与是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）导角证明，则可证明得到，据此可证明结论； （2）根据线段中点的定义得到，根据（1）所求可得，则可证明，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型八 相似三角形与函数综合 函数与相似的关系在数学中主要体现在将相似三角形的性质与函数问题相结合，以分析函数的几何特性和解决几何问题.通过将相似三角形的性质应用到函数问题中，可以分析和描述动态点的位置和运动；利用相似三角形的性质，可以将几何问题转化为代数问题，从而实现问题的量化计算.这样提高了问题解决的效率和精度，实现了从简单的描述性分析到精确的量化计算. 37．（江苏省泰州市靖江外国语学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷）如图，点A为反比例函数图象上的一动点，连接，过点O作的垂线，且（点B在第一象限），点B的横纵坐标分别为，求证：是一个定值． 【答案】见解析，定值为4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及反比例函数图象的性质进行求解即可． 【详解】证明：如图所示，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 即 ∴， ∴是一个定值为4． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若将直线绕点A旋转90度后与抛物线交于点P，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）对于，令，可得点，再把点代入，即可求解； （2）联立两函数解析式可得点，即可求解； （3）过点P，C分别作轴于点D，轴于点E，则，证明，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式为，点， ∴， 联立，解得：或， ∴点， ∴的面积为； （3）解：设点P的坐标为，则，， ∵点， ， ∴， 过点P，C分别作轴于点D，轴于点E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数和二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． 39．（2024·江苏淮安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 40．（2025·江苏苏州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且． (1)求反比例函数与一次函数关系式； (2)点是线段上一点，且，求出点坐标 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数关系式为 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数等． （1）作轴于点B，将代入得到，即可求出反比例函数解析式，根据题意得到，将，代入即可求出一次函数解析式； （2）设直线与y轴交于E，由（1）知直线的解析式，过D作轴于F，得到，设，则，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：作轴于点B， 将代入得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，． 又∵，， ∴． 即， 将，代入得      解得： ∴一次函数关系式为． （2）解：设直线与y轴交于E， 由(1)知直线的解析式为 ∴，， ∴， 过D作轴于F， ∴， 设，则， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， ∴，， ∴． 41．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①当时，是最大值；②存在点P使与相似．此时的坐标为或 【分析】（1）先求直线解析式，再求出点坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）①将、坐标用表示出来，用的纵坐标减去的纵坐标即可得出的关系式，从而求最值； ②由得到△是直角三角形，要使与相似，则也是直角三角形，分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：（1）二次函数经过，， 则， 解得：， 二次函数的解析式为：； 设直线解析式为，由点、的坐标得 ， 解得： ∴直线解析式为， 点是直线与轴交点， 令，则， ； （2）①点在直线上方，， 由题知，， ， 当时，是最大值． ②存在，理由如下： ，， ， △是直角三角形， 要使与△相似，只有保证△是直角三角形就可以． 当时， ， ， 此时轴，、关于对称轴对称， ； 当时， ， ， ， 和均为等腰直角三角形， 设， ，， ， 即， 解得：（舍或2， ； 综上，存在点使△与△相似，此时的坐标为或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 42．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 题型九 能力提升练 43．（2025·江苏南京·二模）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图①，图②为示意图．已知，小静的身高，于点，． (1)如图①，当点为中点时，分别求线段，的长． (2)如图②，当点不是中点时，设，求线段的长．（用含有的代数式表示） (3)由此，你觉得与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）先由，得出，，从而求出，再由，得出，计算即可得解； （3）连接，则四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，结合题意可得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，点为中点时， ∴， 由题意可得：， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图，连接， ， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 45．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 46．（23-24九年级上·广东河源·期末）综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】(1) (2) (3)路灯的高度为 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 47．（24-25九年级上·江苏·期中）如图1，平行四边形的面积为，，为锐角．点在边上，过点作边的垂线，交平行四边形的其它边于点，在的右侧作正方形． (1)如图2，若点在对角线上，则正方形的边长为　　　； (2)设与对角线交于点，如果点与点重合，求的值； (3)如果点在边上，且与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点作于，交于点，先求出，设正方形的边长为，则，证明和相似，利用相似三角形的性质求出即可； （2）过点作于，当点与点重合，先求出，设正方形的边长为，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，根据得，进而根据即可得出的值； （3）依题意有以下三种情况：①当点在左侧时，设正方形的边长为，证明和相似得，，则，再根据和相似可求出，进而可得的长；②当点在上时，由（1）可知正方形的边长，根据相似得，由此可得的长；③当点在右侧时，如图6所示：由于，因此不存在与相似的情况，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于，交于点，如图2所示： ∵平行四边形的面积为，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：过点作于，当点与点C重合，如图3所示： 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：依题意有以下三种情况： ①当点在左侧时，如图4所示： 设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当与相似时，只有一种情况：即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； ②当点在上时，如图5所示： 由（1）可知：正方形的边长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在右侧时，如图6所示： 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在右侧时，， ∵， ∴， ∴不存在与相似的情况， 综上所述：当点在边上，且与相似时，的长为或． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的性质，理解平行四边形的性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 48．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上一个动点，点C在第一象限内． (1)如图1，． ①若是以为斜边的直角三角形，且．则点C的坐标为______； ②若是等边三角形．求点C的坐标； (2)如图2，当是等边三角形时，点C在以为圆心，半径为r的圆上．若存在两个满足条件，求r的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①作轴于点D，可证得，从而，从而求得和，进一步得出结果； ②作，截取，连接，作轴于点E，作于F，可证得，从而得出，，进而得出和的值，进一步得出结果； （2）如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G，设，，利用等边三角形的性质和勾股定理可证点C在直线上，当时，，可知点不在直线上，点B在x轴正半轴上，当点B与点O重合时,如图，等边三角形边长为2，可求得：从而求得，当与相切时，如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M，则四边形为矩形，，设解析式为，将代入求得即，求得，，从而求得，由可求得及，即可求解． 【详解】（1）解：①如图1， 作轴于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②如图2，作，截取，连接，作轴于点E，作于F， ∴， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：如图，取中点E，连接并延长交于F，作轴于D，轴于G， 设，， ， ， ， 解得：，， 则，， 由题意可知垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 点C在第一象限内， ， 即点C在直线上， ， 当时，， 不在直线上， 点B在x轴正半轴上， 当点B与点O重合时,如图， 等边三角形边长为， 可求得： 当与相切时， 如图，作直线分别与x，y轴相交于H，I，过P作分别与x，y轴相交于J，K，过O作于 L，交于M， 则四边形为矩形， ， 令求得， 令求得， ，， 设解析式为，将代入求得， ， 令求得， 令求得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的应用及坐标与图形；解题的关键是通过等积法构造等量关系得到． 49．（24-25九年级上·江苏·期中）【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形可以证明：． (1)请你帮龙龙完成证明 (2)请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知分别是的中线和高线，若，，，求的值 ②如图4，在中，，平分交于点D，，垂足为点E．若，，点F在的延长线上，若与相似，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的值为1或4． 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①过点B作交的延长线于点F，证明，推出，，在中，由勾股定理得出方程求出的长，从而得出与的长，再将转化为即可得出结果； ②由，求出的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出，由，求出，再分和两种情况，由相似三角形的性质求出． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵是三角形的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点B作交的延长线于点F， ∵， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是与的高， ∴与都是直角三角形， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若， ∴，即， 解得； 若， ∴，即， 解得； 综上所述，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等面积法，相似三角形的存在性问题，本题的关键是根据题意分类讨论解题． 50．（23-24九年级下·江苏宿迁·期末）数学兴趣小组探究了以下几何图形、如图①，把一个含有角的三角尺在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点M，N，连接可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上，求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点E，F，求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点E，F，连接交于点O，求E的值． 【答案】【探究一】见解析 【探究二】见解析 【探究三】 【分析】【探究一】根据旋转的性质证明，即可得证； 【探究二】根据正方形的性质和全等的性质证明，在结合公共角，可证； 【探究三】先根据正方形对角线性质及可证得，得出，，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上，得出，根据全等的性质得出，进而可得，由此可证，最后根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【探究一】证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点H在直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 【探究二】证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【探究三】∵、是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点C顺时针旋转得到，则点G在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 51．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与x轴、y轴交于A、C点，直线与x轴、y轴交于B、E点，两直线相交于D，且，，连接．若、，，、是一元二次方程的两个实数根． (1)直接写出C点坐标________； (2)若的面积为8，求a与b的值； (3)若的外心在其边上，求的长度． 【答案】(1) (2)， (3)或4 【分析】（1）求出当时，一次函数的函数值即可得； （2）过点作轴于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，代入函数解析式即可求出；然后根据三角形的面积公式可得，最后利用一元二次方程的根与系数的关系即可得的值； （3）过点作轴于点，先根据相似三角形的判定与性质得出，再得出是直角三角形，，然后分两种情况：①和②，利用相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，， 所以点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点， 由（1）已得：点的坐标为， ∴， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入直线得：， ∵的面积为8，且， ∴， ∴， ∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，，即，， 解得． （3）解：如图，过点作轴于点， ∵、， ∴，， 由（2）已得：，，轴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵的外心在其边上， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴． 则分以下两种情况： ①当时，是直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时，是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或4． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的根与系数的关系、三角形的外心、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 52．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， (1)填空：______，______； (2)如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； (3)如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】把点、的坐标代入二次函数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值； 连接，四边形被分为和，点横坐标为，则点纵坐标为 ，把的底边看作，则相应的高就为点的横坐标，把的底边看作，则相应的高就为点的纵坐标，把四边形的面积用含的代数式表示出来，利用平方的非负性质可得当时四边形的面积最大，最大值为； 在轴上取点，连接，则，所以可得是等腰直角三角形，利用两边对应成比例且夹角相等可证，根据相似三角形对应角相等可证，可得，所以可得，根据平行线的性质可以得到点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，解方程组可以求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点、的坐标代入二次函数， 可得：， 解得：， 故答案为：，； （2）解：由可得二次函数的解析式为， 点横坐标为， 点纵坐标为 ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 如下图所示，连接， ， ， ， ， 当时四边形的面积最大，最大值为； （3）解：如下图所示，在轴上取点，连接，则， 点的坐标为， ， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把点，代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：，(舍去)， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质．解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到相等的角，再利用角之间的关系找到边之间的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $