专题6.3-6.4 相似图形、探索三角形相似的条件（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.3-6.4 相似图形、探索三角形相似的条件 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似图形 2 知识点梳理02：相似三角形 2 知识点梳理03：平行线分线段成比例 2 知识点梳理04：相似三角形的判定 4 知识点梳理05：三角形的重心 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：相似图形 5 题型2：相似多边形 5 题型3：相似多边形的性质 6 题型4：由平行判断成比例的线段 7 题型5：由平行截线求相关线段的长或比值 8 题型6：利用平行判定相似 9 题型7：利用两角对应相等判定相似 11 题型8：利用三边对应成比例判定相似 12 题型9：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13 题型10：相似三角形的判定综合 14 题型11：选择或补充条件使两个三角形相似 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 19 知识点梳理01：相似图形 1、相似图形：把形状相同的图形叫相似图形． 【易错点拨】两个图形是否相似与图形的大小、位置无关. 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的. 2、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 【易错点拨】两个多边形相似，必须同时具备三个条件： (1)边数相同； (2)角分别相等； (3)边成比例. ◆3、相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的对应边的比叫做相似比. 知识点梳理02：相似三角形 如图，在△ABC 和△DEF 中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，, 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为. 【易错点拨】用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC∽△DEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应.；如果仅说“△ABC与△DEF相似 ”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系. (1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质. (2)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. (3)相似三角形具有传递性,即若△ABC∽ △DEF， △DEF∽ △OPQ，则△ABC∽ △OPQ. 知识点梳理03：平行线分线段成比例 1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2、符号语言： 【易错点拨】 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上. 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 3、相似三角形的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. （3）三角形相似的两种常见类型： 【易错点拨】定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交. 知识点梳理04：相似三角形的判定 1、判定定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 【易错点拨】利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 2、判定定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【易错点拨】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角. 3、判定定理3： 利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 【易错点拨】利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据“长边对长边，短边对短边”的思路找对应边. 测物体的高度 AB. 知识点梳理05：三角形的重心 1、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 2、三角形重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 题型1：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 题型2：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【变式训练2】（24-25九年级下·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 题型3：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，已知四边形四边形，求，和． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是 ． 题型4：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级下·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【变式训练1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦，使平分． 【变式训练2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 题型5：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，为直径，，点在劣弧上，交于，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． (3)若点为的中点，连接，，设，，求．（用含有，的代数式表示） 【变式训练1】（25-26九年级下·辽宁锦州·月考）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东济南·月考）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 题型6：利用平行判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【变式训练2】（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 题型7：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【变式训练1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【变式训练2】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 题型8：利用三边对应成比例判定相似 【典例精讲】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 题型9：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 题型10：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（25-26九年级下·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，延长到点，作的角平分线交于点，连接，过点作的垂线，交于点． (1)写出图中一个度数为的角：________， (2)求证：是的切线； (3)若的半径为，，求的长． 题型11：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【变式训练1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【变式训练2】（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 1．（2024·江苏苏州·中考真题）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，且边与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点C．若且点A的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 5．（25-26九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 6．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 7．（24-25九年级下·上海·期中）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 8．（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 9．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． (1)如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； (2)如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 10．（25-26九年级下·吉林长春·阶段练习）已知∶如图，若，求． 培优拔高 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 13．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 14．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 17．（2024·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 18．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 20．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3-6.4 相似图形、探索三角形相似的条件 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：相似图形 2 知识点梳理02：相似三角形 2 知识点梳理03：平行线分线段成比例 2 知识点梳理04：相似三角形的判定 4 知识点梳理05：三角形的重心 4 优选题型 考点讲练 5 题型1：相似图形 5 题型2：相似多边形 6 题型3：相似多边形的性质 8 题型4：由平行判断成比例的线段 9 题型5：由平行截线求相关线段的长或比值 15 题型6：利用平行判定相似 19 题型7：利用两角对应相等判定相似 23 题型8：利用三边对应成比例判定相似 25 题型9：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 27 题型10：相似三角形的判定综合 29 题型11：选择或补充条件使两个三角形相似 32 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 39 基础夯实 39 培优拔高 45 知识点梳理01：相似图形 1、相似图形：把形状相同的图形叫相似图形． 【易错点拨】两个图形是否相似与图形的大小、位置无关. 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的. 2、相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 【易错点拨】两个多边形相似，必须同时具备三个条件： (1)边数相同； (2)角分别相等； (3)边成比例. ◆3、相似多边形性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的对应边的比叫做相似比. 知识点梳理02：相似三角形 如图，在△ABC 和△DEF 中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，, 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，△ABC 和△DEF 的相似比为 k， △DEF 与△ABC 的相似比为. 【易错点拨】用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ABC∽△DEF 表示顶点 A 与 D，B 与 E，C 与 F分别对应.；如果仅说“△ABC与△DEF相似 ”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系. (1)相似三角形的定义可以作为相似三角形的判定方法，也是相似三角形最重要的性质. (2)全等三角形是特殊的相似三角形，即全等三角形是相似比为1的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形. (3)相似三角形具有传递性,即若△ABC∽ △DEF， △DEF∽ △OPQ，则△ABC∽ △OPQ. 知识点梳理03：平行线分线段成比例 1、平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 2、符号语言： 【易错点拨】 2.对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上. 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 3、相似三角形的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. （3）三角形相似的两种常见类型： 【易错点拨】定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交. 知识点梳理04：相似三角形的判定 1、判定定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 【易错点拨】利用此定理证明两三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 2、判定定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【易错点拨】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角. 3、判定定理3： 利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 【易错点拨】利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据“长边对长边，短边对短边”的思路找对应边. 测物体的高度 AB. 知识点梳理05：三角形的重心 1、三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 2、三角形重心的性质:三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. 题型1：相似图形 【典例精讲】（24-25九年级下·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【规范解答】解：由题意得， A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似； B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形． 故选：D． 【变式训练1】（2025·广东深圳·二模）如图，某历史博物馆以“青铜文化”为主题，设计了一款边长为的正方形文创纪念徽章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徽章．若以顶点为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似图形的性质，根据相似比得到面积之比是解题的关键． 【规范解答】解：以顶点为位似中心进行位似变换， 正方形与正方形相似， ， 正方形与正方形的面积比为， 纪念徽章的面积是， 故选：D． 【变式训练2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的 ．（从平移、轴对称、相似、旋转中选） 【答案】相似 【思路点拨】本题考查相似的应用，根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【规范解答】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将平遥古城旅游图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故答案为：相似． 题型2：相似多边形 【典例精讲】（24-25九年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【思路点拨】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【规范解答】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【规范解答】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·河南新乡·期末）如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】A 【思路点拨】本题考查了相似多边形的概念，对应角相等，对应边成比例是解题关键．根据多边形相似的条件逐项分析即可． 【规范解答】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 题型3：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江温州·阶段练习）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【规范解答】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 【变式训练1】（24-25九年级下·山东淄博·期末）如图，已知四边形四边形，求，和． 【答案】，， 【思路点拨】本题主要考查相似多边形的性质，多边形内角和．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形四边形， ∴，，，，， ∴， ∵，，，，，， ∴， 解得：，． 【变式训练2】（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部外），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么截去矩形的面积是 ． 【答案】 【思路点拨】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得，再根据矩形面积公式求解即可． 【规范解答】解：如图，则，， 依题意，在矩形中截取矩形， 由题意，矩形矩形， 则 ， 设，得到：， 解得， ∴， 则剩下的矩形面积是：． 故答案为：． 题型4：由平行判断成比例的线段 【典例精讲】（25-26九年级下·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【规范解答】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 【变式训练1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点D均在格点上，并且在同一个圆上，取格点M，连接并延长交圆于点C，连接．请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出弦，使平分． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查无刻度直尺作图，格点作图． 根据垂径定理找出圆心，取格点、，连接交于点，连接并延长，交圆于点，连接即可． 【规范解答】解：如图，找出圆心，取格点、，连接交于点，连接并延长交圆于点，连接，即为所求． 【变式训练2】（2025·北京海淀·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在边CD，AD，BC上，且于点，连接BH，满足． (1)求证：； (2)点为边上一点，若且，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路点拨】（1）延长，，相交于点N，证明即可解答； （2）延长至点K，使得，连接，．证明得到，，从而，得到为等腰直角三角形，由得到，从而得到，进而推出，得到．设，，根据平行线分线段成比例得到，即整理，得，从而，，根据三角形的中位线定理得到，根据等腰直角三角形的性质得到，即可得到． 【规范解答】（1）证明：延长，，相交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在四边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴ （2）解：，证明如下： 延长至点K，使得，连接，． ∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∵， ∴， ∴， 由（1）有，又， ∴设，， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，即 整理，得， ∴，， ∴， ∵在等腰中，， ∴． 题型5：由平行截线求相关线段的长或比值 【典例精讲】（2024·广东·模拟预测）如图，为的外接圆，为直径，，点在劣弧上，交于，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． (3)若点为的中点，连接，，设，，求．（用含有，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 (3) 【思路点拨】（1）由，，，利用即可证明． （2）先求出和，在中用勾股定理可得，从而求出半径． （3）过作于，，利用是中位线求出和，再在中用勾股定理求出，从而可得答案． 【规范解答】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， 为直径， ， ， 的半径为． （3）解：过作于，如图： 是等腰直角三角形，，为的中点， ，， ， ， ， ，， ∴， ， ∴， ∴，是的中位线， ，， ， 在中，， ． 【变式训练1】（25-26九年级下·辽宁锦州·月考）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【规范解答】（1）证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（25-26九年级下·山东济南·月考）如图，五线谱是由等距离的五条平行直线组成的，一条直线交这组平行线于点，，．若，则的长是 cm． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理，找准对应线段，是解答此题的关键． 过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解． 【规范解答】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在平行横线于E， ∵五线谱是由等距离的五条平行横线组成的， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型6：利用平行判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【规范解答】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 【变式训练1】（2025·广东广州·一模）如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【规范解答】证明：方法一： 、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二： 、分别是、的中点， ， ． 【变式训练2】（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【思路点拨】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【规范解答】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 题型7：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，E是上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由矩形的性质可得，结合，可得，根据两组对角相等即可证明． 【规范解答】证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又 ， ． 【变式训练1】（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键． 根据两个角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【规范解答】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，由圆周角定理可得，由相似三角形的判定可求证． 【规范解答】解：与相似，理由如下： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8：利用三边对应成比例判定相似 【典例精讲】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【规范解答】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级下·江西九江·阶段练习）如图，在网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作的角平分线； (2)如图2，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，画，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点D，则射线即为所求； （2）取格点，使得即可 【规范解答】（1）解：如图所示，取格点D，则射线即为所求； 可证明四边形是正方形，则平分； （2）解：如图所示，即为所求； 可证明． 【变式训练2】（24-25九年级下·上海·假期作业）如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【规范解答】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 题型9：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，中，D，E分别是上的点（不平行），当 或 或 时，与相似． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”，“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出答案. 【规范解答】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴. 故答案为：，，. 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【规范解答】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．通过计算可得，加上为公共角，则根据相似三角形的判定方法可判断． 【规范解答】证明：，，， ，， ， ， 题型10：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（25-26九年级下·北京·课后作业）下列条件：①，，，，，；②，，，，，；③，，，，其中能判定与相似的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，即可判断． 【规范解答】解：①由，，可判定，故①符合题意； ②由，，可判定，故②符合题意； ③由，可判定，故③符合题意． ∴能判定与的有3个． 故选：D． 【变式训练1】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知中，，过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形．观察下列图中尺规作图痕迹，作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查作图-相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法即可一一判断； 【规范解答】解：A、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意； B、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； C、无法判断，故本选项符合题意； D、由作图可知：，，，故，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，是的外接圆，且为的直径，延长到点，作的角平分线交于点，连接，过点作的垂线，交于点． (1)写出图中一个度数为的角：________， (2)求证：是的切线； (3)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)见解析； (3) 【思路点拨】（1）根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角），找直径所对的圆周角，确定的角． （2）要证是的切线，需证．通过角平分线性质、等腰三角形性质，推导，结合，得出． （3）证明△ADE∽△DCE，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：为的直径， 由圆周角定理，（或等，直径所对圆周角为直角）． 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：连接． ， ． 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线． （3）解：∵是直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴． 题型11：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，可添加一个条件，根据“两直线平行，内错角相等”可得，再结合，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证明． 【规范解答】解：添加一个条件，则有， ∵ ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练1】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【规范解答】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练2】（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使． 【答案】．（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【规范解答】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 1．（2024·江苏苏州·中考真题）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【规范解答】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）把一个矩形按如图方式划分成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．根据题意得小长方形的宽为3，设，相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可． 【规范解答】解：根据题意得小长方形的宽为3， 设， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， 解得（负值舍去）， 故原长方形的宽为． 故答案为： ． 3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，使恰好经过点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，得到是解题的关键． 先证明，运用勾股定理得到在，则，在中，，再代入求值即可． 【规范解答】解：连接， 四边形是矩形，且旋转至矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 故答案为：． 4．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，且边与y轴交于点D，反比例函数的图象经过点C．若且点A的横坐标为1，则k的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，准确求出点C的坐标是解题的关键． 如图，过点A作轴于点E，过点B作于点F，过点C 作轴于点G，则，；由平行线分线段成比例可得，即；再证明、可得、，易得点C的坐标，进而确定k的值即可． 【规范解答】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作于点F，过点C 作轴于点G，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可证：，可得， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，是半的直径，，点，分别在半径和弦上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行线的性质、全等三角形的性质与判定、垂径定理、相似三角形的性质与判定，关键是全等三角形及相似三角形的判定． （1）只需找到≌即可得出结论． （2）通过论证∽，可得，即可求出的长． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴； （2）解：过点作于点， 如图，则， ∵， ∴， ∵， ∴∽， ∵， 即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 基础夯实 1．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（   ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似三角形的性质判断即可． 【规范解答】解：∵所有六边形都是正六边形， ∴， 连接， ∴ 依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大， 故选：D 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ）．    A．甲和乙 B．丙和丁 C．乙和丙 D．甲和丁 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【规范解答】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 5．（25-26九年级下·江苏常州·阶段练习）如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则 ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例定理得出线段比例关系，利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比． ①利用和，结合平行线分线段成比例定理，逐步推导得出的比值； ②通过得到，再设，则，求出的比值． 【规范解答】解：① 即， ， 设，则， ② ， ， 设，则． 梯形的面积． 因此，． 6．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积的比等于相似比平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答即可求出结果． 【规范解答】解：∵两个相似多边形的对应边长分别为和， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为． 故答案为： 7．（24-25九年级下·上海·期中）将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【规范解答】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 8．（24-25九年级下·山东淄博·阶段练习）如图，已知四边形四边形，求，和的值． 【答案】，， 【思路点拨】本题主要考查相似多边形的性质，多边形内角和．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形四边形， ∴，，，，， ∴， ∵，，，，，， ∴， 解得：，， 故，，． 9．（2025·江苏苏州·一模）请仅用无刻度直尺(即不使用刻度尺上的刻度功能)和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． (1)如图1，已知平行四边形，点E为边上任意一点且，请作出线段的中点； (2)如图2，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题主要考查了无刻度直尺作图，涉及平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理及90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键． （1）连接，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点． （2）将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径． 【规范解答】（1）解：连接的对角线，的对角线，连接两个平行四边形的对角线交点，与的交点即为的中点． 点即为求作的点； 理由：中，， ， 四边形是平行四边形， ，同理， 是的中位线， ， ， ， ， 即点为的中点； （2）解∶ 将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接即为圆的直径， 即为求作的； 理由：由题意，直尺的一个角为直角， ， 是圆的直径． 10．（25-26九年级下·吉林长春·阶段练习）已知∶如图，若，求． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【规范解答】解： ， ，即， ． 培优拔高 11．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形判定，准确分析判断是解题的关键． 先确定的夹角及两边长度，再分析各选项三角形的夹角和两边长度，依据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判定即可； 【规范解答】在中，，，， 在、、三个选项中，都没有的角， 选项中，两边为和， ， 选项中得三角形与相似； 故选． 12．（2024·广东·二模）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，点E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则：①；②；③；④若，则．正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】对于①，连接，根据正方形的性质，证明，得到，再证明，即可得到结论； 对于②，证明，再根据相似三角形的性质推理即可； 对于③，先证明，得到，再证明，得到，即可证明结论； 对于④，过点E作于点N，于点M，先证明，再求出，即可逐步求得及的值． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ，故①正确； ，， 又 ， ，故②正确； ，， ， ， ， ，， ， ∴， ， ，故③正确； 过点E作于点N，于点M，连接， 则四边形是矩形， ， ，， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ，故④正确； 故选：D． 13．（24-25九年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【规范解答】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 14．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知矩形的面积为，它的对角线与双曲线相交于点，且，则双曲线解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】依据题意，过点作，，垂足为、，由双曲线的解析式可知，由于点在矩形的对角线上，可知矩形 矩形，可求相似比为，由相似多边形的面积比等于相似比的平方可求出，再根据在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，即可算选出的值．本题主要考查了反比例函数的综合运用．关键是过点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据多边形的相似中面积的性质求面积，得出其面积为反比例函数的系数的绝对值． 【规范解答】解：由题意，过点作，，垂足为、， 点在双曲线上， 矩形， 又， ， 点在矩形的对角线上， 矩形 矩形， ， ， ， ． 函数的解析式是：． 故答案为： 15．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【规范解答】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 过点D作交于H，根据平行线分线段成比例定理推出，计算即可． 【规范解答】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 17．（2024·广东·二模）如图，中，为上的中线，F为上的点，交于E，且，则 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是构造平行线． 过点作，交于点，利用平行线分线段成比例进行求解即可． 【规范解答】解：如图，过点作，交于点， ∵为上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·安徽淮南·二模）如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，过点D作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、平行线分线段成比例、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接．由切线的性质可得，再根据圆周角定理、等边对等角以及等量代换可得，即，再根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线分线段成比例可得，进而得到设，则．在中，根据勾股定理列方程可求得x的值，进而确定直径AB的长． 【规范解答】（1）证明：如图：连接， 为的切线， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）知， ． ，， 设，则． 在中，， 解得（负值舍去）， ． 19．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．由得，得，由得，由得，即可证明结论． 【规范解答】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 20．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【思路点拨】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【规范解答】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $