专题02简单事件的概率（考点清单，4考点&10题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

清单02 简单事件的概率（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点题型一】事件的分类 【例1】康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（    ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可解答． 【详解】解：∵经过有交通信号灯的路口，可能遇见绿灯，可能遇见红灯，可能遇见黄灯， ∴经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件． 故选A． 【变式1-1】下列所描述的事件，是不可能事件的是（   ） A．下周一下雨 B．太阳西升东落 C．国足赢球 D．掷硬币，国徽面朝上 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，根据不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事情，据此进行判断即可． 【详解】解：A、下周一下雨，是随机事件，不符合题意； B、太阳西升东落，是不可能事件，符合题意； C、国足赢球，是随机事件，不符合题意； D、掷硬币，国徽面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选B 【变式1-2】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．买一张彩票，中了特等奖 B．a是实数，则 C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一件是次品 【答案】B 【分析】此题主要考查了随机事件，必然事件、不可能事件的概念，确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此求解即可． 【详解】解：A、买一张彩票，中了特等奖，这是随机事件，不符合题意； B、a是实数，则，这是必然事件，符合题意； C、任意抛掷一枚硬币，正面朝上，这是随机事件，不符合题意； D、从车间刚生产的产品中任意抽取一件是次品，这是随机事件，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 【答案】(1)4 (2)2或3 【分析】（1）当事件A为必然事件时，意味着剩余球一定都是黑球，没有红球，确定计算即可． （2）当事件A为随机事件时，意味着剩余球一定有红球，得到，根据球的个数是整数，求整数解即可． 本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m的值是4； 故答案为：4． （2）解：∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∴， ∴m的值是2或3； 故答案为：2或3． 【考点题型二】事件可能性大小 【例2】九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 【答案】C 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】∵九年级（2）班有名男生和名女生， ∴现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，抽到男生的可能性为， 抽到女生的可能性为， ∴抽到女生的可能性大于抽到男生的可能性． 故选：C． 【变式2-1】有100张卡片，分别写着1到100，从这100张卡片中任取一张，取到3的倍数的可能性和取到2的倍数的可能性相比，（    ）． A．取到3的倍数的可能性更大 B．取到2的倍数的可能性更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意，找出3的倍数的个数，2的倍数的个数，然后比较即可．本题考查了可能性大小的判断，掌握不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越大，可能性越大，反之则越小是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，1到100，从这100张卡片中 3的倍数有33个，2的倍数有50个， ∴取到2的倍数的可能性更大． 故选：B． 【变式2-2】将分别标有1、2、3、4、5的五个小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸出球上的数是 的可能性大．（括号里选填奇数或偶数） 【答案】奇数 【分析】题目主要考查可能性的大小，理解题意是解题关键． 根据奇数和偶数的特点，奇数有1、3、5，偶数有2、4，哪种个数多，摸到的可能性就大，据此解答即可． 【详解】解：奇数有1、3、5，有3个，偶数有2、4，有2个， 因为， 所以摸出球上的数是奇数的可能性大 故答案为：奇数． 【变式2-3】转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 【答案】蓝 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据转盘中红、黄、蓝区域的个数求解即可． 【详解】解：由题意得，黄色区域占转盘总面积的，红色区域占转盘总面积的，蓝色区域占转盘总面积的，所以指针落在蓝色区域的可能性最大． 故答案为：蓝． 【考点题型三】用概率公式求概率 【例3】从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求概率，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有3种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有1种， 则甲被选中的概率为 故选：B 【变式3-1】投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率，骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数大于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数大于3的有4，5，6共3个， ∴这个骰子向上的一面点数大于3的概率为． 故选：C． 【变式3-2】小明所在的班级有20人去体有场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 由题意知，共有19种等可能的结果，其中取得的一张恰与小明邻座的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有19种等可能的结果，其中取得的一张恰与小明邻座的结果有：9号，11号，共2种， ∴取得的一张恰与小明邻座的概率是， 故选A． 【变式3-3】一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． (1)求摸出1个球是蓝色球的概率； (2)再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 【答案】(1) (2)再往箱子里放入12个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为 【分析】本题主要考查概率的公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． （1）首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可； （2）设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为，根据题意得，求得值即可． 【详解】（1）解：蓝色球有（个， 所以（摸出一个球是蓝色球）； （2）解：设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为， 则 ， 解得，． 答：再往箱子里放入12个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为． 【考点题型四】几何概率 【例4】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率．根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（9块）的， 则它最终停留在黑色方砖上的概率是； 故选：C． 【变式4-1】小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出即可． 【详解】解：如图， 根据平行四边形的性质可得：平行四边形的对角线把平行四边形分成的四个面积相等的三角形， 根据平行四边形的中心对称性可得， 则阴影部分的面积占，白色区域的面积占， 故飞镖落在白色区域的概率为：． 故选：B． 【变式4-2】如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率和概率公式及菱形的性质．由题意可证，根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：，， ，， 、分别是的三等分点， ，， ， ， 同理可得，， 小球最终停在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 【变式4-3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为， 针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【考点题型五】已知概率求数量 【例5】盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查概率公式，根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有个棋，再根据概率公式列出关系式即可． 【详解】解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，共有个棋， ∵从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是， ∴可得关系式， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】在超市的一次抽奖活动中，规定：从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获得一等奖．已知不透明的纸箱中装有黑球10个，白球6个，红球2个，这些球颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，则需要往这个纸箱再放入同种红球 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是已知概率求数量．设需要往这个纸箱中再放入同种红球个，根据概率公式求出的值即可． 【详解】解：设需要往这个纸箱中再放入同种红球个， 从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为， ， 解得． 经检验，是原方程的解， 故答案为：2 【变式5-2】一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． (1)求袋中总共有多少个球？ (2)从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1)袋中总共有30个球 (2) 【分析】本题主要考查了简单概率计算，根据概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）根据袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是，列出算式进行计算即可； （2）先求出红球的个数，再求出现在球的总个数，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵袋中装有18个白球，从中任意摸出一个球是白球的概率是， ∴袋中球的总个数为：（个）； （2）解：袋子中红球的个数为：（个）， 取走10个球，则袋子中球的总个数为（个）， ∴剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率为． 【变式5-3】一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)红球有20个，绿球有8个 (2) (3) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据红、黄、绿三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可求得红球的个数，设绿球有x个，则黄球有个，根据球的总个数列出方程求出x的值即可得； （2）用绿球的个数除以总的球数即可； （3）先求出从袋中拿出12个黄球还剩的球数，再根据黄球的个数，除以还剩的球数即可． 【详解】（1）解：红球个数：（个）， 设绿球有x个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， ∴红球有20个，绿球有8个． （2）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， ∴从袋中随机摸出一球是绿球的概率为； （3）解：拿出12个黄球以后，从袋中随机摸出一球，共有种等可能的结果，其中摸出黄球的结果有（种）， ∴从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【考点题型六】列表法或树状图求概率 【例6】湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南游玩并品尝湖南美食，小明对以下特色美食很有兴趣，它们是“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”，若小明想先随机选择其中两种美食进行尝试，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查画树状图法求概率，先画出相应的树状图，得共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，再求出相应的概率，即可作答． 【详解】解：依题意，把“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”分别记为画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，小明选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的结果有2种，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是． 故选：B 【变式6-1】某超市抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖 (1)请用列表或树状图的方法，把抽奖一次可能出现的结果表示出来； (2)假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了用列表法和树状图法求概率等知识点， （1）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果； （2）由（1）知，所有可能出现的结果一共有16种，然后根据概率公式进行解答即可； 解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能情况，求出相应的概率． 【详解】（1）解：列表得， 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种； （2）解：由（1）知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种， ∴抽奖一次中奖的概率为：， 答：抽奖一次能中奖的概率为． 【变式6-2】李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 【答案】(1)，，，，，，，，，，， (2) 【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，一元二次方程根的判别式． （1）画出树状图，然后写出所有的可能取值即可得解； （2）利用根的判别式求出、的关系式，然后进行验证找出适合的，再根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能情况为：，，，，，，，，，，，． （2）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 整理可得：， ∴适合的有，，共个， 所以，． 【变式6-3】为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查直接列举法和列表法或画树状图求概率，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）运用直接列举法求概率即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两位老师刚好坐同一列的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：杨老师还有三个座位可选，是等可能性的，选择座位的可能性有种，故概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两位老师刚好坐同一列的结果有种， ∴两位老师刚好坐同一列的概率为 【考点题型七】频率与概率的关系 【例7】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率 【变式7-1】如图是一个正六边形转盘被分成个全等的正三角形，指针位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个三角形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个三角形的公共边时，当作指向右边的三角形），这时称转动了转盘次．下列说法不正确的是（   ） A．出现的概率等于出现的概率 B．转动转盘次，6一定会出现次 C．转动转盘次，出现的个数之和等于这是一个不可能发生的事件 D．当转动转盘次时，出现这个数大约有次 【答案】B 【分析】由概率的含义可判断 由频率与概率的关系可判断 由不可能事件的含义判断 从而可得答案． 【详解】解：如图是一个正六边形转盘被分成个全等的正三角形， 所以出现出现的概率，出现的概率都是 故不符合题意； 转动转盘次，6不一定会出现次，故符合题意； 由转动转盘次，即使每次都出现 则和为 所以转动转盘次，出现的个数之和等于这是一个不可能发生的事件， 故不符合题意； 当转动转盘次时，出现这个数不一定有次，故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是概率的含义，确定事件与不可能事件，频率与概率的关系，掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-2】下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【答案】A 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案． 【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意； B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意； C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意； D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键． 【考点题型八】求频率 【例8】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式8-1】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式8-2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【考点题型九】用频率估计概率 【例9】某班学生做“用频率估计概率”的试验时，给出的某一结果出现下图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 C．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 【答案】B 【分析】本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键．分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．　 【详解】解：由统计图可知，该事件的频率在0.3至0.4之间， A中的概率为，不符合这一结果,故此选项错误； B中的概率为，符合这一结果,故此选项正确； C中的概率为，不符合这一结果,故此选项错误； D中的概率为，不符合这一结果，故此选项错误； 故选：B． 【变式9-1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（    ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 【答案】A 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.83附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.83． 故选：A． 【变式9-2】在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 (1)估计摸到白球的概率为______（精确到）； (2)试估计口袋中白球的个数． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：依题意，当很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：∵在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，且由（1）摸到白球的概率为， ∴可估计口袋中白球的个数（个）． 【变式9-3】某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8张红色卡片和若干张白色卡片（每张卡片除颜色外，其他都相同）的箱子中随机摸出一张卡片，摸到白色卡片就得到一个海宝玩具，现将箱子摇匀，随机摸出一张卡片，记下颜色后放回摇匀，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸到白色卡片的频率稳定在，估计箱子中白色卡片的数量． 【答案】估计箱子中有自色卡片2张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，解分式方程，根据题意可知摸到白色卡片的概率为，据此设出白色卡片数，再利用概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设箱子中有x张白色卡片， 由题意得， 解得：，经检验是原方程的解， 答：估计箱子中有自色卡片2张． 【考点题型十】游戏的公平性 【例10】顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 (2)小明获胜的概率为 (3)游戏公平，原因见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率， （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． （3）结合（2）中得一共有9种等可能性的结果数，其中，两次摸到的数字之和大于4、两次摸到的数字之和小于4和两次摸到的数字之和等于4的概率相等，即可判定． 【详解】（1）解：一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， 小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，其中两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， 小明获胜的概率为； （3）解：游戏公平；由（2）可知 小明获胜的概率为；小红获胜的概率为；小亮获胜的概率为 游戏公平． 【变式10-1】在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，掌握树状图法和列表法是解题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下，    由树状图可知，一共有种等可能性， 其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为，乙胜的概率为， ，即甲胜的概率大于乙胜的概率， 游戏规则对甲乙双方不公平． 【变式10-2】为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 【变式10-3】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． (1)小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 【答案】(1)必然 (2)这个游戏对双方不公平．理由见解析 【分析】本题考查游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平， （1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平； 解题的关键是掌握：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为． 【详解】（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ∵小明和小亮获胜是随机事件， ∴小明赢的事件是随机事件， 故答案为：随机； （2）这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为， ∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为， 又∵， ∴这个游戏对双方不公平． 1．下列事件中是必然事件的是（    ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起． B．射击运动员在进行一次射击时，能够精准地将子弹命中靶心． C．在平面内任意绘制一个三角形，其结构表现出稳定性． D．掷一枚硬币，国徽面朝上． 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、在十字交叉路口，遇到红灯亮起是随机事件，不符合题意； B、射击运动员在进行一次射击时，能够精准地将子弹命中靶心是随机事件，不符合题意； C、在平面内任意绘制一个三角形，其结构表现出稳定性是必然事件，符合题意； D、掷一枚硬币，国徽面朝上是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 3．下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 【答案】A 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的定义，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义进行判断． 【详解】解：A、“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于必然事件，故本选项符合题意； B、“名同学至少有两名同学的出生月份是相同的”属于必然事件，故本选项不符合题意； C、“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件，故本选项不符合题意； D、“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：A． 4．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件， 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：B ． 5．某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是掌握随机事件的取值范围． 根据随机事件的取值范围是求解即可． 【详解】解：随机事件的取值范围是， ∴某随机事件发生的概率的值不可能是1． 故选：D． 6．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 7．从2，，三个数中任选一个作为二次函数 中的b的值，则所得的抛物线不经过第四象限的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，由抛物线不经过第四象限得出与x轴的交点不在正半轴或顶点在轴上，所以，即，从所列三个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：∵抛物线不经过第四象限，， ∴抛物线x轴的交点不在正半轴或顶点在轴上， ∴，即， 从2，，三个数中随机选取一个数，共有3种等可能结果，其中使该抛物线不经过第四象限的概率的有1种结果， ∴该所得的抛物线不经过第四象限的概率是， 故选：A． 8．甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况． 【答案】 8 4 【分析】本题考查了列举法求所有可能结果数，根据题意分析分别讨论，即可求解． 【详解】解：依题意，甲和乙不是第1名，乙不是第4名，有以下8种情况， 第1名 第2名 第3名 第4名 ① 丙 乙 丁 甲 ② 丙 丁 乙 甲 ③ 丁 丙 乙 甲 ④ 丁 乙 丙 甲 ⑤ 丁 甲 乙 丙 ⑥ 丁 乙 甲 丙 ⑦ 丙 甲 乙 丁 ⑧ 丙 乙 甲 丁 其中①②③④四种情况是甲为第4名， 故答案为，． 9．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是几何概率．先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖可拼成3块，共有9块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值， ∴小球最终停留在黑色区域的概率是， 故答案为：． 10．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查概率的求法与运用．解题的关键是掌握概率的求法与运用． 根据已知可估计出摸到红球的概率，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据已知可估计出摸到红球的概率为， 所以， 解得：， 故估计n的值为20． 故答案为：20． 11．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了概率，用白色区域的面积除以圆的面积即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为， 故答案为：． 12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中大约共有 个球． 【答案】20 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率． 由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出球个数即可． 【详解】解：设球个数为：个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ， 解得：， 即球的个数为20个， 故答案为：20． 13．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【答案】(1)12个 (2)红 (3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【分析】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 14．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 15．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 16．如图，一个可以自由转动的转盘，被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次） (1)转动转盘一次，转出的数字是的概率是________； (2)转动转盘两次，用列表或画树状图的方法，求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法和树状图法求概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键． （1）由题意可知，“”“”所占圆心角为，“”所占的圆心角共为，由计算可得转出数字是“”的概率； （2）用列表法或树状图法得出所有可能的结果，再从中找到和为正数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴“”和“”所占的扇形圆心角为， 个“”所占的扇形圆心角为， ∴转动转盘一次，转出的数字是的概率为； 故答案为：； （2）解：树状图法： 由上图可知：所有可能的结果共种，其中数字之积为正数的有种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 17．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次． (1)求两次数字之和为4的概率； (2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是树状图法求概率，注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种，再由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次数字之和为4的结果有2种， 两次数字之和为4的概率为； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中两次数字之积大于2的结果有3种， 游戏者获胜的概率为． 18．在一个不透明的口袋里装有分别标注，，的个小球（小球除数字外，其余都相同），另有张背面完全一样、正面分别写有数字，，的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． (1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； (2)求这两次摸出的数字，至多有一次是“”的概率； (3)小红和小莉做游戏，制定了游戏规则：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，， (2) (3)不公平，理由见解析 【分析】本题考查游戏的公平性及概率的计算， （1）画出树状图，然后写出所有的等可能结果； （2）根据（1）中的结果，再根据概率公式解答即可； （3）根据概率公式分别计算出小红赢的概率和小莉赢的概率，再进行比较即可； 解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比；概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有9种等可能结果，分别是，，，，，，，，； （2）由（1）知，至多有一次是""的情况有种， ∴（至多有一次是""）， ∴至多有一次是“”的概率是； （3）卡片上的数字是球上数字的整数倍的有，，，，共种情况， ∴小红赢的概率是，小莉赢的概率是， ∵， ∴此规则不公平，小莉获胜的概率大． 19．2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)144 (3) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）解：C“科技类”所对应的圆心角度数是， 故答案为：144； （3）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 简单事件的概率（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点题型一】事件的分类 【例1】康康某天放学路上，在经过校门外一交通信号灯的路口时，恰好遇到绿灯，这个事件是（    ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【变式1-1】下列所描述的事件，是不可能事件的是（   ） A．下周一下雨 B．太阳西升东落 C．国足赢球 D．掷硬币，国徽面朝上 【变式1-2】下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．买一张彩票，中了特等奖 B．a是实数，则 C．任意抛掷一枚硬币，正面朝上 D．从车间刚生产的产品中任意抽取一件是次品 【变式1-3】在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个．先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A． (1)当事件A为必然事件时，则　　； (2)当事件A为随机事件时，则　　． 【考点题型二】事件可能性大小 【例2】九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 【变式2-1】有100张卡片，分别写着1到100，从这100张卡片中任取一张，取到3的倍数的可能性和取到2的倍数的可能性相比，（    ）． A．取到3的倍数的可能性更大 B．取到2的倍数的可能性更大 C．一样大 D．无法确定 【变式2-2】将分别标有1、2、3、4、5的五个小球放在一个袋子里，从袋子里任意摸出一个球，摸出球上的数是 的可能性大．（括号里选填奇数或偶数） 【变式2-3】转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针落在 色区域的可能性最大． 【考点题型三】用概率公式求概率 【例3】从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】小明所在的班级有20人去体有场观看演出，20张票分别为A区第10排1号到20号．采用随机抽取的办法分票，小明第一个抽取得到10号座位，接着小亮从其余的票中任意抽取一张，取得的一张恰与小明邻座的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． (1)求摸出1个球是蓝色球的概率； (2)再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 【考点题型四】几何概率 【例4】小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑色方砖上的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ． 【变式4-3】如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ； 【考点题型五】已知概率求数量 【例5】盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【变式5-1】在超市的一次抽奖活动中，规定：从一个不透明的纸箱中任意摸出一个球为红球即获得一等奖．已知不透明的纸箱中装有黑球10个，白球6个，红球2个，这些球颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出1个球，要使中一等奖的概率为，则需要往这个纸箱再放入同种红球 个． 【变式5-2】一个不透明的袋中装有18个白球和若干个红球，它们除颜色外其他均相同．已知将袋中球摇匀后，从中任意摸出一个球是白球的概率是． (1)求袋中总共有多少个球？ (2)从袋中取走10个球（其中没有红球）并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是红球的概率． 【变式5-3】一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【考点题型六】列表法或树状图求概率 【例6】湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南游玩并品尝湖南美食，小明对以下特色美食很有兴趣，它们是“臭豆腐”、“口味虾”、“酱板鸭”、“茶颜悦色”，若小明想先随机选择其中两种美食进行尝试，则选中“臭豆腐”和“茶颜悦色”这个组合的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】某超市抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖 (1)请用列表或树状图的方法，把抽奖一次可能出现的结果表示出来； (2)假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P． 【变式6-2】李明同学的不透明袋子中有四张除数字外完全相同的卡片，四张卡片上分别标有数字，，，，王华同学的不透明袋子中有三张除数字外完全相同的卡片，三张卡片上分别标有数字，，．张老师先从李明同学的袋子中随机取出一张卡片，再从王华同学的袋子中随机取出一张卡片，分别用、表示张老师从李明、王华袋子中抽出的卡片上标有的数字． (1)请用画树状图法或列表法写出所有等可能的结果； (2)求抽出的能使关于的一元二次方程有实数根的概率． 【变式6-3】为了提升新教材的应用效果，教育主管部门开展了新教材培训活动，在如图所示的场地里摆放了16把椅子，每个方框代表一把椅子，横为排，竖为列，其中圆点表示已有10位老师入座，又有杨老师和梁老师两位老师随机入座．根据会议安排，杨老师需要坐第二排，梁老师需要坐第三排，假设这两位老师在每一排选择座位的可能性相同． (1)杨老师选择座位的可能性为______． (2)请用画树状图或列表的方法求两位老师刚好坐同一列的概率． 【考点题型七】频率与概率的关系 【例7】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率． 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ． 【变式7-1】如图是一个正六边形转盘被分成个全等的正三角形，指针位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个三角形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个三角形的公共边时，当作指向右边的三角形），这时称转动了转盘次．下列说法不正确的是（   ） A．出现的概率等于出现的概率 B．转动转盘次，6一定会出现次 C．转动转盘次，出现的个数之和等于这是一个不可能发生的事件 D．当转动转盘次时，出现这个数大约有次 【变式7-2】下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【考点题型八】求频率 【例8】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式8-1】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式8-2】八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【考点题型九】用频率估计概率 【例9】某班学生做“用频率估计概率”的试验时，给出的某一结果出现下图所示的统计图，则符合这一结果的试验可能是（   ） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 C．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 【变式9-1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 80 100 200 400 1000 射中九环以上次数 18 68 86 168 332 831 射中九环以上频率（保留两位小数） 0.90 0.85 0.86 0.84 0.83 0.83 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（    ） A．0.83 B．0.85 C．0.86 D．0.90 【变式9-2】在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共8个，这些球除颜色外其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，下表是试验中的统计数据． 摸球的次数 100 150 300 500 800 1100 摸到白球的次数 48 78 153 251 401 550 摸到白球的频率 (1)估计摸到白球的概率为______（精确到）； (2)试估计口袋中白球的个数． 【变式9-3】某公园游戏场举行一场活动，有一种游戏的规则是：在一个装有8张红色卡片和若干张白色卡片（每张卡片除颜色外，其他都相同）的箱子中随机摸出一张卡片，摸到白色卡片就得到一个海宝玩具，现将箱子摇匀，随机摸出一张卡片，记下颜色后放回摇匀，记为一次试验，经过多次重复试验后发现，摸到白色卡片的频率稳定在，估计箱子中白色卡片的数量． 【考点题型十】游戏的公平性 【例10】顺德区某校开设的研学课程受到了来自各年级同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的广绣研学课程更是异常火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级一班的小明、小红和小亮都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜：若和等于4，则小亮获胜． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明小明参加广绣研学课程的概率是多少？ (3)你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【变式10-1】在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 【变式10-2】为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【变式10-3】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜． (1)小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．） (2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由． 1．下列事件中是必然事件的是（    ） A．在十字交叉路口，遇到红灯亮起． B．射击运动员在进行一次射击时，能够精准地将子弹命中靶心． C．在平面内任意绘制一个三角形，其结构表现出稳定性． D．掷一枚硬币，国徽面朝上． 2．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 3．下列说法不正确的是（   ） A．“在标准大气压下，当温度降到时，水结成冰”属于随机事件 B．“13名同学至少有两名同学的出生月份相同”属于必然事件 C．“某射击运动员射击一次，正中靶心”属于随机事件 D．“某袋中只有5个球，且都是黄球，任意摸出一球是白球”属于不可能事件 4．下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 5．某随机事件发生的概率的值不可能是（   ） A．0.001 B．0.5 C．0.999 D．1 6．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 7．从2，，三个数中任选一个作为二次函数 中的b的值，则所得的抛物线不经过第四象限的概率是（    ） A． B． C． D．1 8．甲、乙、丙、丁4名同学参加中学生天文知识竞赛，成绩各不相同，根据成绩决出第1名到第4名的名次．甲和乙去询问名次，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第1名．”对乙说：“你不是第4名．”从这两个回答分析，4个人的名次排列可能有 种不同情况，其中甲是第4名有 种可能情况． 9．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ． 10．一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为 ． 11．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为 ． 12．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中大约共有 个球． 13．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 14．甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 15．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 16．如图，一个可以自由转动的转盘，被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次） (1)转动转盘一次，转出的数字是的概率是________； (2)转动转盘两次，用列表或画树状图的方法，求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． 17．游戏者用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．让两个转盘分别自由转动一次． (1)求两次数字之和为4的概率； (2)若两次数字之积大于2，则游戏者获胜，请求出游戏者获胜的概率． 18．在一个不透明的口袋里装有分别标注，，的个小球（小球除数字外，其余都相同），另有张背面完全一样、正面分别写有数字，，的卡片．现从口袋中任意摸出一个小球，再从这张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片． (1)请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； (2)求这两次摸出的数字，至多有一次是“”的概率； (3)小红和小莉做游戏，制定了游戏规则：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢这个游戏规则公平吗？请说明理由． 19．2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$