专题03 实数（考点清单，6考点&16题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版2024）

清单03 实数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义 【例1】“的平方根是”的表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【考点题型二】平方根的计算 【例2】9的平方根是（ ） A． B．3 C． D．9 【变式2-1】16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 【变式2-2】9的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D． 【变式2-3】的平方根是 ． 【考点题型三】算数平方根的非负性 【例3】若，则 ． 【变式3-1】若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【变式3-2】若，为实数，且，则的值为 ． 【考点题型四】平方根的应用 【例4】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 【变式4-2】若和是实数的两个不同的平方根，则的值为 ． 【变式4-3】一个正数的平方根是和，那么这个数是 ． 【考点题型五】平方根的实际问题应用 【例5】小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【变式5-1】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【变式5-2】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【考点题型六】立方根的概念 【例6】下列说法正确的是（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．算术平方根是它本身的数是0和1 C．负数不能开立方 D．的平方根是 【变式6-1】一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是 ． 【变式6-2】下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【考点题型七】立方根的计算 【例7】的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 【变式7-1】的立方根是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】化简： ． 【考点题型八】立方根的应用 【例8】一个正方体铁块的体积为，则该正方体铁块的棱长为（　　） A．9cm B．8cm C．6cm D．4cm 【变式8-1】一个正方体的体积是，另一个大正方体的体积是这个正方体的4倍，则另一个大正方体的表面积为 ． 【变式8-2】张师傅将一个体积为的铁块和一个体积为的铁块熔铸成一个大的正方体铁块，熔铸成的大正方体铁块的棱长是 ． 【考点题型九】无理数与实数的概念 【例9】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【变式9-1】下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 【变式9-2】下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点题型十】实数的分类 【例10】在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】把下列各数的序号填在相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）． 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【变式10-2】把下列各数的序号填入相应的横线内． ①，②，③，④6，⑤，⑥（两个“7”之间依次多一个“2”）． (1)整数：______________； (2)正分数：______________； (3)无理数：______________． 【考点题型十一】实数与数轴上点一一对应 【例11】如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式11-1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】实数的大小估算与比较 【例12】若，则估计的值所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】在实数0，，，中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【变式12-2】比较大小：3 （填写“”或“”）； 【变式12-3】比较大小： 1（填写“>”或“<”）． 【考点题型十三】实数的整数部分与小数部分 【例13】估计的值在（      ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式13-1】设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【变式13-2】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【考点题型十四】实数的混合运算 【例14】计算： 【变式14-1】计算 (1) (2) 【变式14-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【考点题型十五】实数的定义新运算 【例15】对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【变式15-1】对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式15-2】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 【考点题型十六】实数的程序性计算 【例16】有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【变式16-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 3．若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 4．有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，的绝对值相等，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在实数，，，，，中，无理数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．一个立方体的体积为125，则这个立方体的棱长的算术平方根为（     ） A． B．5 C． D． 8．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 9．对于任意整数，，定义且，均为正数，若，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 10．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 11．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 12．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 13．计算的结果等于 ． 14．若是的平方根，为的立方根，则 ． 15．将实数，，，，0，，中的无理数用“”连接起来 ． 16．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 17．计算： (1) (2) (3) 18．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，，． (1)负数集合： ； (2)整数集合： ； (3)有理数集合： ； (4)无理数集合： ． 19．已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 20．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 实数（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【清单02】平方根 （1）定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【清单03】开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【清单04】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【清单05】实数 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【清单06】 实数的运算 1．注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 2．运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】平方根的定义 【例1】“的平方根是”的表达式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的概念，根据“一般地，如果一个x的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或者二次方根，记作”，即可得出答案． 【详解】解：“的平方根是”的表达式是， 故选：A． 【变式1-1】一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根定义，熟记的平方根是是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根只有， 一个数的平方根与它本身相等，这个数是， 故选：B． 【变式1-2】下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【考点题型二】平方根的计算 【例2】9的平方根是（ ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：9的平方根是． 故选C． 【变式2-1】16的平方根是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的平方根是：， 故选：A． 【变式2-2】9的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根：“一般地，如果一个正数的平方等于，那么这个正数叫做的算术平方根”，根据算术平方根的定义求解即可得． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：C． 【变式2-3】的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 先求出的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴3的平方根是， 故答案为：． 【考点题型三】算数平方根的非负性 【例3】若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． 根据算术平方根和绝对值的非负性，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：9． 【变式3-1】若，为两个有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的性质．根据题意得到，，求出，代入求出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式3-2】若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质算术平方根、偶次方，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据非负数的性质求出、的值，再根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解： ， 又，， ，， ，， ， 故答案为：1． 【考点题型四】平方根的应用 【例4】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 【变式4-1】如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，根据正数的两个平方根有两个，互为相反数，据此即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】若和是实数的两个不同的平方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根，以及平方根根据正数有两个平方根，且互为相反数，求出m的值，即可求出所求． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 则， 故答案为：． 【变式4-3】一个正数的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，根据题意可得，求出a的值，即可得出这个数的一个平方根，进而求出这个数即可． 【详解】解：一个正数的平方根是和， ， 解得：， ， 那么这个数是， 故答案为：49． 【考点题型五】平方根的实际问题应用 【例5】小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面积为，计划用400块．求每块地板砖的边长． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为得出方程求解即可． 【详解】解：设需要的地板砖的边长是，根据题意可得： ， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：需要的地板砖的边长是． 【变式5-1】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【变式5-2】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 【详解】解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 【考点题型六】立方根的概念 【例6】下列说法正确的是（   ） A．有理数与数轴上的点一一对应 B．算术平方根是它本身的数是0和1 C．负数不能开立方 D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的概念，实数与数轴的关系，熟练掌握算术平方根，立方根的概念，实数与数轴的关系是解题的关键．根据立方根，算术平方根的定义，实数与数轴的对应关系即可判断． 【详解】解：A、实数与数轴上的点是一一对应的，故此选项不符合题意； B、算术平方根等于它本身的数是1和0，故此选项符合题意； C、负数能开立方，故此选项不符合题意； D、，4的平方根是，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】一个数的算术平方根等于这个数的立方根，则这个数是 ． 【答案】1或0 【分析】本题考查算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的性质，进行求解即可． 【详解】解：算术平方根等于本身的数有，立方根等于本身的有 ∴的算术平方根等于它的立方根， 故答案为：1或0． 【变式6-2】下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，此选项错误，不符合题意； C、是的立方根，此选项正确，符合题意； D、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【考点题型七】立方根的计算 【例7】的立方根是（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，然后再计算立方根即可． 【详解】解： 8的立方根是2 故选：A． 【变式7-1】的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根．如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 【变式7-2】化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型八】立方根的应用 【例8】一个正方体铁块的体积为，则该正方体铁块的棱长为（　　） A．9cm B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】D 【分析】本题考查立方根的应用．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正方体的体积为，则这个正方体的棱长为， 故选：D． 【变式8-1】一个正方体的体积是，另一个大正方体的体积是这个正方体的4倍，则另一个大正方体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算以及立方根的知识，掌握正方体的体积公式和表面积公式是解题的关键． 根据题意知大正方体的体积为64，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积． 【详解】解：根据题意另一个大正方体的体积为， 另一个大正方体的棱长为：， 另一个正方体的表面积为：， 故答案为：． 【变式8-2】张师傅将一个体积为的铁块和一个体积为的铁块熔铸成一个大的正方体铁块，熔铸成的大正方体铁块的棱长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查立方根的定义．解题的关键是列出方程，这类问题的等量关系是体积不变．设立方体的棱长为，根据体积不变，列出方程求解即可． 【详解】解：设立方体的棱长为， 由题意， 即， 解得：． 故答案为：4． 【考点题型九】无理数与实数的概念 【例9】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 【变式9-1】下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决. 【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误； B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误； D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确； 故选：D 【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 【变式9-2】下列各数是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义．根据无理数的定义解答即可． 【详解】是分数，为有理数，不是无理数，故A不正确； 是循环小数，为有理数，不是无理数，故B不正确； 是无理数，故C正确； 为有理数，不是无理数，故D不正确； 故选：C． 【变式9-3】下列说法中，正确的有（    ） ①0是最小的实数；②无理数就是带根号的数；③不带根号的数是有理数；④无限小数不能化成分数；⑤无限不循环小数就是无理数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，①根据实数的定义即可判定；②根据无理数的定义即可判定；③根据无理数、有理数的定义即可判定；④根据分数和无限小数的关系即可判定；⑤根据无理数的概念即可解答． 【详解】解：①没有最小的实数，故说法错误； ②无理数就是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，故说法错误； ③不带根号的数不一定是有理数，例π就不带根号但它是无理数，故说法错误； ④无限循环小数能化成分数，故说法错误； ⑤无限不循环小数是无理数，故说法正确． 故选：B． 【考点题型十】实数的分类 【例10】在，3.14，，，，，中无理数的个数有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答． 【详解】， 在，3.14，，，，，中 无理数有：，，，共3个， 故选择：C 【变式10-1】把下列各数的序号填在相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）． 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【答案】①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨ 【分析】本题考查了实数的概念与分类，熟练掌握整数，负分数和无理数的定义是解题的关键．根据整数，负分数和无理数的定义判断即可． 【详解】解： 整数：①⑤⑧； 负分数：③⑥； 无理数：②⑦⑨． 故答案为：①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨． 【变式10-2】把下列各数的序号填入相应的横线内． ①，②，③，④6，⑤，⑥（两个“7”之间依次多一个“2”）． (1)整数：______________； (2)正分数：______________； (3)无理数：______________． 【答案】(1)②④； (2)①③； (3)⑤⑥． 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根，熟练掌握实数的分类是解此题的关键． （1）根据整数包括正整数、负整数、0即可得解； （2）根据正分数的定义即可得解； （3）根据无理数的定义即可得解． 【详解】（1）解：， 整数：②④； （2）解：正分数：①③； （3）解：无理数：⑤⑥． 【考点题型十一】实数与数轴上点一一对应 【例11】如图所示的数轴上，数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，即可求解． 【详解】到点的距离为1的数分别位于点的左侧或右侧，比点表示的数大1或小1， 点所表示的数为或. 故选：C． 【变式11-1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的特点，由数轴可得，再逐项判断即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：B． 【变式11-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，根据实数，，在数轴上的位置，确定，，和0的大小关系，进而可知，掌握二次根式性质是求解本题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【考点题型十二】实数的大小估算与比较 【例12】若，则估计的值所在的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，再估算的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． 故选D． 【变式12-1】在实数0，，，中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据“正数大于零；零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小”，比较大小，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴在实数，，，中，最小的数是， 故选：A． 【变式12-2】比较大小：3 （填写“”或“”）； 【答案】 【分析】此题考查实数大小的比较．根据实数的大小比较方法解答，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式12-3】比较大小： 1（填写“>”或“<”）． 【答案】 【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】解：， 故答案为：． 【考点题型十三】实数的整数部分与小数部分 【例13】估计的值在（      ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数大小的知识，由，由此可得出正确答案． 【详解】解：， 在5和6之间． 故选：D． 【变式13-1】设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式13-2】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的混合运算，找到无理数的整数部分是解题的关键． （1）因为，从而知道的整数部分为，用减去得到其小数部分； （2）先求得的小数部分，的整数部分，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵，则， ∵，则， ∴． 【考点题型十四】实数的混合运算 【例14】计算： 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解题关键是正确理解绝对值的非负性是解答问题的关键． 先去绝对值和计算立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式14-1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）去绝对值符号，再根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算乘方，算术平方根与立方根，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式14-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减法即可； （2）将除法化为乘法计算即可； （3）根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先计算平方、算术平方根、立方根，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型十五】实数的定义新运算 【例15】对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如： ．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 【变式15-1】对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，．对数99进行如下操作：，这样对数99只需进行3次操作后变成1，类似地，使数2024变为1需要进行操作的次数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据表 示不大于x的最大整数，结合定义的新运算和无理数的估算进行求解． 【详解】解：． ∴对只需进行4次操作后变为1． 故选：B． 【变式15-2】高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，根据新定义和无理数的估算方法分别求出的值，再根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【考点题型十六】实数的程序性计算 【例16】有一个数值转换器，程序如下： 当输入时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数值转换器，先取的算术平方根，即求的算术平方根；再判断的算术平方根是无理数还是有理数，如果是无理数，直接输出即可，如果是有理数，继续求算术平方根，据此解答即可．解题的关键是正确理解数值转换器的原理 【详解】解：∵，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，，为有理数， ∴把输入，的算术平方根为，是无理数， ∴输出的的值是． 故选：D． 【变式16-1】有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序设计与实数运算，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，先根据程序得出，再求它的算术平方根，接着判断是否为无理数，是就输出结果，否则就继续算它的算术平方根，即可作答． 【详解】解：∵输入的x为64， ∴， ∴， ∵2是有理数， ∴2的算术平方根是，是无理数， 则输出的y是， 故选：C． 【变式16-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数、平方根与立方根的应用，解题的关键是熟练掌握运算程序；根据题中所给的运算程序可直接进行求解． 【详解】解：由题可得： 64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是； 故答案为． 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．4的平方根是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据平方根的性质，即可求解．熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根等于0；负数没有平方根是解题的关键． 【详解】解：4的平方根是． 故选：C． 3．若与是同一个正数的平方根，则这个正数为（　　） A．4 B．4或100 C．100 D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质即可求出答案．本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解平方根的性质，本题属于基础题型． 【详解】解：∵与是同一个正数的平方根， 当， ， ， 这个正数为4， 当 ∴ ∴ ∴一个正数是 故选：B． 4．有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的意义，熟练掌握概念是解题关键.根据平方根和算术平方根的意义，逐一判断即可. 【详解】①49的算术平方根是7，选项正确； ②负数没有平方根，选项错误； ③的平方根是，，选项错误； ④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确. 故选：B. 5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，如果，的绝对值相等，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是绝对值、实数的性质、实数与数轴，解题关键是找到数轴上原点的位置． 根据题意推得、、、后，对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：依图得：，且， 又， ，，，， ，选项错误； ，选项错误； ，选项正确； ，选项错误． 故选：． 6．在实数，，，，，中，无理数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查无理数的定义及判定方法：无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：①，等；②开方开不尽的数；③以及，等有这样规律的数． 根据无理数的定义分析已知数据即可判定选择项． 【详解】解：无理数有、、，共3个， 故选：D． 7．一个立方体的体积为125，则这个立方体的棱长的算术平方根为（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根及算术平方根的定义，注意掌握一个正数的平方根为正数． 先求出棱长，然后根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：棱长，5的算术平方根为． 故选：C． 8．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的混合运算，先化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 9．对于任意整数，，定义且，均为正数，若，则下列说法中正确的个数为（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了实数的新定义运算及数列运算，解决本题的关键是熟练掌握新定义：，根据新定义对各项进行一一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； 由题意得：， ， ， 故②正确； 由②得 ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 故④错误； 所以正确的有3个， 故选：C 10．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 11．如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，且和互为相反数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根是：， 故答案为：． 12．已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 13．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的求法，根据立方根定义求值， 理解立方根的定义是求解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．若是的平方根，为的立方根，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根，先求出立方根、平方根，再求出计算结果．根据平方与开平方互为逆运算，可得平方根，根据立方与开立方互为逆运算，可得一个数的立方根，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：是4的平方根，的立方根为， ，， 或，， 或． 故答案为：或． 15．将实数，，，，0，，中的无理数用“”连接起来 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数，实数比较大小，先根据无理数是无限不循环小数，判断出无理数，再根据负数小于0，0小于正数，判断大小即可． 【详解】解：实数，，，，0，，中无理数有，，， ∵， ∴． 故答案为：． 16．将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 17．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)4 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，实数的混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据加减混合运算法则计算即可； （2）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再加减即可； （3）直接用含乘方的有理数的混合运算法则解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．把下列各数分别填入相应的集合里． ，，，，，，，，，． (1)负数集合： ； (2)整数集合： ； (3)有理数集合： ； (4)无理数集合： ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类．熟练掌握整数、非负数、分数及无理数的定义是解答此题的关键． （1）根据小于零的数为负数解答即可； （2）根据整数的定义解答即可； （3）根据有理数的定义解答即可； （4）根据无理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， ∴负数集合： （2）解：整数集合： （3）解：有理数集合： （4）解：无理数集合： 19．已知下列各数：，，，，0． (1)将上述各数表示在数轴上． (2)将上述各数按从小到大的顺序用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，准确熟练在数轴上找到各数对应的点是解题的关键． （1）在数轴上找到各数对应的点，即可解答； （2）根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，即可解答． 【详解】（1）解：，， 如图， （2）解：． 20．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．    (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积， 大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$