专题03 实数（期末复习优选题集训 26个高频易错题型讲练 共52题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册培优讲练

该初中数学单元复习讲义通过表格对比、问题链梳理构建实数知识体系，涵盖算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念性质运算及应用，用思维导图呈现“概念-运算-应用”递进关系，突出非负性、估算等重难点内在联系，培养抽象能力与几何直观。 讲义亮点是26个高频易错题型分类设计，如用面积问题（例：小正方形拼大正方形求边长）强化应用意识，规律探索题（例：算术平方根小数点移动规律）培养推理意识，分层题组适配不同学生，配套易错点解析助教师精准教学，提升学生运算能力与自主复习效率。

专题03 实数 （22个高频易错题型讲练 共44题 新教材） 【解析版】 易错题型1 求一个数的算术平方根 2 易错题型2 利用算术平方根的非负性解题 3 易错题型3 估计算术平方根的取值范围 4 易错题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 6 易错题型5 算术平方根的实际应用 8 易错题型6 平方根概念理解 9 易错题型7 与算术平方根有关的规律探索题 12 易错题型8 求一个数的平方根 14 易错题型9 平方根的应用 15 易错题型10 已知一个数的平方根，求这个数 17 易错题型11 无理数 19 易错题型12 无理数的大小估算 20 易错题型13 无理数整数部分的有关计算 22 易错题型14 实数概念理解 25 易错题型15 实数的分类 27 易错题型16 实数的性质 28 易错题型17 实数与数轴 30 易错题型18 实数的大小比较 32 易错题型19 立方根概念理解 34 易错题型20 求一个数的立方根 36 易错题型21 已知一个数的立方根，求这个数 38 易错题型22 立方根的实际应用 39 易错题型23 与立方根有关的规律探索 41 易错题型24 算术平方根和立方根的综合应用 43 易错题型25 实数的混合运算 44 易错题型26 实数运算的实际应用 46 易错题型1 求一个数的算术平方根 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的面积为_________，它的边长为_________； (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】(1)10； (2) 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，实数的估算和求代数式的值，解题的关键是估算的范围． （1）用大正方形面积减去四个小三角形面积即可； （2）由，得出，，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， 阴影部分面积为10，它的边长为； （2）解：由（1）可知，阴影正方形的边长为， ∵， ∴， 阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为， ，， ． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，关键是熟练运用运算法则进行解题； （1）先计算括号内及算术平方根，最后算加减； （2）将除法转换成乘法，再利用乘法分配律进行计算． 【规范解答】（1）解：原式， ， ， ． （2）解：原式， ， ， ， ， ． 易错题型2 利用算术平方根的非负性解题 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴且， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 易错题型3 估计算术平方根的取值范围 5．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【规范解答】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 6．（22-23七年级下·河南·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【思路引导】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 易错题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 7．（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据下表回答下列问题： x (1)若介于与之间，则满足条件的整数n有 个； (2) ； (3)的平方根是 ； (4)若这个数的整数部分为m，则 ； 【答案】(1)4 (2)171 (3) (4) 【思路引导】本题考查了平方根、算术平方根的概念及无理数整数部分的确定，解题的关键是结合表格中的平方数信息进行对应运算． （1）求与，确定的范围后数整数个数； （2）将29241转化为表格中平方数的倍数形式，找到对应； （3）根据表格找316.84对应的，再写其平方根；（4）确定的整数部分，代入式子计算． 【规范解答】（1）解：由表得，， 则， 满足的整数为310、311、312、313，共4个． 故答案为：4． （2）解：， 则． 故答案为：171． （3）解：由表得， 则316.84的平方根是． 故答案为：． （4）解：由表得， 又∵， 则的整数部分，代入得． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）材料：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的．类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是2，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4； (2)的相反数为 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴的整数部分是，小数部分是， ∵是整数，且， ∴， ∴ ， ∴的相反数为． 易错题型5 算术平方根的实际应用 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 【答案】20 【思路引导】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和． 根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【规范解答】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：20． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 【答案】(1)10cm (2)不能，理由见解析 【思路引导】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键； （1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可； （2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成， ∴图2的大正方形的面积为 ∴图2中拼成的大正方形纸片的边长； （2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下： 若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm， 则， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴长方形的宽为6cm，长为12cm， ∵， ∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形． 易错题型6 平方根概念理解 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 【规范解答】解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． 12．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①；②；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）；（2） 【思路引导】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：（1）根据定义求一个数的四次方根； （2）通过将数进行四次方以后进行比较大小即可． 【规范解答】解：类比探索：（1），，； 表格中数据依次为：，，； 类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的四次方根； （2）①1的四次方根是：； ②16的四次方根：； ③0的四次方根是：0； ④没有四次方根； 类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 故答案为：①±1；②±2；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； 拓展应用：（1）， 故答案为：； （2）∵，，， ∴． 故答案为：． 易错题型7 与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·海南三亚·月考）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【思路引导】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【规范解答】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【思路引导】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【规范解答】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 易错题型8 求一个数的平方根 15．（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【思路引导】本题考查平方根，算术平方根的定义．熟练掌握其定义及性质是解题的关键． （1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得，的值，再求解的值即可； （2）将，，的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【规范解答】（1）解：∵一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，； ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 易错题型9 平方根的应用 17．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 【答案】(1)长方形封皮的长为，宽为 (2)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了算术平方根和平方根的应用，熟知求算术平方根和平方根的方法是解题的关键． （1）设长方形的宽为，则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，再与长方形的宽比较即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 依题意，得， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴， 答：长方形封皮的长为，宽为． （2）解；正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下： ∵正方形卡片的面积为， ∴正方形卡片的边长为． ∵， ∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见详解 【思路引导】本题主要考查图形的探究、算术平方根等知识，解题关键是正确理解题意，灵活运用相关知识． （1）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （3）设长方形的长宽分别为，，，则根据面积可求得的值，易得，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴即用2个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴即用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， ∴大正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为， 则有：，解得，， ∵为长方形的长， ∴， ∴， 则长为， ∵， ∴能沿着正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为． 易错题型10 已知一个数的平方根，求这个数 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求出n的值，进而求出m的值即可； （2）求出的值，进而根据平方根的定义作答即可． 【规范解答】（1）由题意可得，， 解得， 所以， 则； （2） 则的平方根为． 20．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平方根的定义，根据求平方根的方法解方程，正确理解平方根的定义是解题的关键． （1）根据一个正实数的两个平方根互为相反数，得到，由此即可得到答案； （2）根据平方根的定义得到，再由已知条件得到，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：正数x的平方根是a和， ， 当时，， ； （2）解：正数x的平方根是a和， ， ， ， 即， ， ， ． 易错题型11 无理数 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知实数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥0  ⑦  ⑧ ⑨（两个“5”之间依次多一个“0”） 其中（请填序号）： 负整数是________________________， 分数是________________________， 无理数是________________________． 【答案】 负整数是②④⑦，分数是③⑧，无理数是①⑤⑨ 【思路引导】本题考查了无理数，整数，分数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据无理数，整数，分数的定义判断即可． 【规范解答】解：， 负整数是②④⑦， 分数是③⑧， 无理数是①⑤⑨ 22．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在甲、乙两个的方格图中，每个小正方形的边长都为1． (1)求图甲中阴影正方形的面积和边长； (2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分． 【答案】(1)10；； (2)；2； 【思路引导】本题考查了作图，算术平方根的应用，无理数的应用． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积，进而根据算术平方根的意义，即可； （2）画出一个面积为的正方形，则边长为，进而求得整数部分与小数部分，即可求解． 【规范解答】（1）解：面积为， 边长为：； （2）解：正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 易错题型12 无理数的大小估算 23．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】(1)； (2)； (3)作图见解析 (4)作图见解析 【思路引导】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【规范解答】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【考点剖析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 24．（24-25八年级上·四川内江·月考）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，无理数的大小估计， 先估算出，然后根据数轴上点的位置即可得出答案． 【规范解答】解： ， ， ， 点代表数， 点代表数， 表示的点应在线段上， 故选：D． 易错题型13 无理数整数部分的有关计算 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 【答案】(1)4， (2) (3) 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到的大小，确定x、y的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：，而， ， 的整数部分是4，小数部分为， 故答案为：4，； （2）解：，而， ， 的整数部分，小数部分为， ； （3）解：， ， 又，其中x是整数，且， ， ， 故答案为：. 26．（25-26七年级上·浙江温州·期中）【阅读理解】同学们，我们来学习近似计算算术平方根的方法． 材料一：求无理数的整数部分和小数部分． 解：因为，所以，即，故的整数部分为10，小数部分为． 材料二：求无理数的近似值（保留两位小数）． 解：由正方形的面积为107，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图1），根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 【尝试探究】 (1)利用“材料一”中的方法，已知x是的整数部分，y是的小数部分，求代数式的值． (2)利用“材料二”中的方法，求的近似值（保留两位小数，将下面横线部分补充完整）． 解：由正方形的面积为 ，可得边长是． 因为 ，所以设 ，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图2），根据图中的面积，得 ． 当较小时，忽略的值，得 ，解得 ，所以 ． 【答案】(1) (2)，，，，，，． 【思路引导】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算． （1）先估算出的范围，再求出x、y的值，最后代入值计算即可； （2）根据材料二中的解题过程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴即， ∴的整数部分是3，的小数部分是， ∴，， ∴， 答：代数式的值为． （2）解：由正方形的面积为150，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形，如下图， 根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 故答案为：，，，，，，． 易错题型14 实数概念理解 27．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{________________…}； (2)负无理数集合：{______________…}； (3)正实数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，0，， (2)， (3)，， 【思路引导】（1）根据有理数的定义，即可求解； （2）根据负无理数的定义，即可求解； （3）根据正实数的定义，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 有理数集合：{，，0，，，……}； 故答案为：，，0，，； （2）解：负无理数集合：{，，……}； 故答案为：，； （3）解：正实数集合：{，，，……}． 故答案为：，，． 【考点剖析】本题考查了有理数及实数的定义及分类，有理数是整数和分数的统称，也可以说，可以化为整数、有限小数和无限不循环小数的数都是有理数；无限不循环小数是无理数；实数是有理数和无理数的总称；大于0的数叫做正数，在正数前面加上负号“﹣”的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数． 28．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）将下面的数填在相应的括号内： ，，0，，0.3，，，，，，，，3+． (1)有理数集合：｛ ｝； (2)无理数集合：｛ ｝； (3)正实数集合：｛ ｝； (4)负实数集合：｛ ｝． 【答案】(1)，0，0.3，，，，； (2)， ，， ，，3+； (3)， ，0.3，， ，， 3+； (4)，， ，，． 【思路引导】（1）根据有理数的概念进行判断即可； （2）根据无理数的概念进行判断即可； （3）根据正实数的概念进行判断即可； （4）根据负实数的概念进行判断即可． 【规范解答】（1）解：有理数集合：{，0，0.3，，，，}． （2）解：无理数集合：{， ，， ，，3+} （3）解：正实数集合：{， ，0.3，， ，， 3+} （4）解：负实数集合：{，， ，，} 【考点剖析】此题考查了有理数、无理数、正实数与负实数的概念，熟练掌握并运用这些概念是解决此题的关键． 易错题型15 实数的分类 29．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑨． 负分数：____________________； 整数：____________________； 无理数：____________________． 【答案】①⑤；⑥⑦⑨；②③⑧ 【思路引导】此题考查实数的分类，解答此题要从概念出发，并要深刻理解．有理数和无理数统称实数，分数和整数统称有理数，无限不循环小数是无理数． 根据负分数、整数、无理数的定义进行判断． 【规范解答】解：是有理数，是负分数， 是无理数， 是无理数， 0.618是有理数，是正分数 是有理数，是负分数， 0是有理数，是整数， 是有理数，是整数， 0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）是无理数， 是有理数，是整数， 负分数：①⑤； 整数：⑥⑦⑨； 无理数：②③⑧． 30．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①0  ②   ③  ④  ⑤  ⑥  ⑦ (1)非负整数：___________； (2)分数：___________； (3)正有理数：___________； (4)无理数：___________． 【答案】(1)①，⑤ (2)②，⑥ (3)②，⑤ (4)④，⑦ 【思路引导】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的概念是解题的关键． （1）根据非负数的定义解答即可； （2）根据分数的定义解答即可； （3）根据正有理数的定义解答即可； （4）根据无理数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：非负整数有：0，4 ， 故答案为：①，⑤； （2）解：分数有：，， 故答案为：②，⑥； （3）解：正有理数有：，， 故答案为：②，⑤； （4）解：无理数有：，， 故答案为：④，⑦． 易错题型16 实数的性质 31．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【规范解答】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 32．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案． 【规范解答】①负数有立方根，原说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确； ③，原说法错误； ④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确； ⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误； ⑥无理数都是无限小数，原说法正确， 故选：B． 易错题型17 实数与数轴 33．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的值为； (3)的算术平方根为． 【思路引导】（1）根据题意可知比小2，即可求解； （2）结合（1），把的值代入计算即可； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性，可得，，可得，即可得，求算术平方根即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， ∴实数的值是． 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ． ∴的值为． （3）解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为． 【考点剖析】本题考查实数与数轴，绝对值，代数式求值，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求算术平方根． 34．（25-26七年级上·浙江温州·期中）观察图形，以下每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，则阴影正方形的面积是________，阴影正方形的边长是________． (2)如图2，由题（1）的解题思路和方法，借助直尺和圆规工具在数轴上准确描出点P表示数，并保留作图痕迹． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了在网格中作图，实数与数轴，算术平方根的应用； （1）根据割补法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的结论，取格点，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴负半轴于点，则点即为所求． 【规范解答】（1）解：阴影正方形的面积 ∴阴影正方形的边长是， 故答案为：5，； （2）如图，取格点，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴负半轴于点，则点即为所求． 易错题型18 实数的大小比较 35．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）把实数，，，，，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】，数轴见解析 【思路引导】本题考查了实数与数轴，先将各数表示在数轴上，再根据数轴比较大小即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解： 根据数轴可得： 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)她的想法不可行，理由见解析 【思路引导】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【规范解答】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不可行． 易错题型19 立方根概念理解 37．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【思路引导】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 38．（23-24七年级下·广东江门·月考）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【思路引导】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【规范解答】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解： ，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 易错题型20 求一个数的立方根 39．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)27 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，涉及乘法运算律，乘方，算术平方根，立方根，绝对值，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用分配律进行计算即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 40．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20； (2)； (3)18； (4)． 【思路引导】本题考查了有理数混合运算，有理数的乘方，立方根等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先乘除，后加减； （3）先算立方根，算术平方根，有理数的乘方，再算乘法，最后算加法即可； （4）先算有理数的乘方及括号内减法，再算乘法，最后算加法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错题型21 已知一个数的立方根，求这个数 41．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求与的值． (2)已知的立方根为，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查平方根，立方根，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可以求得的值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中的结果可以求出，代入可以解答本题． 【规范解答】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：， ∴正数为； （2）解：∵的立方根是2， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根为． 42．（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 【答案】(1)， (2)；4 【思路引导】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于a，b的方程，解方程，即可求解； （2）将，代入和，再根据平方根和立方根的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：的平方根为，的立方根为2， ，， 解得，． （2）解：由（1）知，， ， 的平方根为4和， ， 的立方根为4． 易错题型22 立方根的实际应用 43．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 【答案】C 【思路引导】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． 仿照例题，进行推理得结论，通过比较立方数的大小范围确定立方根是两位数，再根据个位数字对应关系确定个位数字，最后通过估算十位数字的立方值确定十位数字． 【规范解答】解：且， 是两位数， ∵681472的个位数字是2，且（个位为2）， 的个位数字是8， 且， 的十位数字是8， ． 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． (3)把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 【答案】(1) (2)正方形的面积为，边长为 (3) 【思路引导】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴等，熟练掌握以上知识点是关键． （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用利用割补法求出正方形面积，再根据1算术平方根求出正方形的边长即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：， 组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：正方形的面积为，正方形的边长为，； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 易错题型23 与立方根有关的规律探索 45．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【思路引导】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【规范解答】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 46．（20-21七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【思路引导】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【规范解答】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 易错题型24 算术平方根和立方根的综合应用 47．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【思路引导】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【规范解答】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 48．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【规范解答】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 易错题型25 实数的混合运算 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）利用乘法分配律计算即可； （）先进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可； 本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 50．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1) 1 (2) 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定无理数的整数部分、小数部分是正确解答的关键． （1）估算无理数、的大小，确定、的值，再代入计算即可； （2）估算的大小，进而得出的大小，确定、的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1），， 的小数部分，的整数部分， ， 答：的值为1； （2）， ， 又，其中是整数，且， ，， ． 易错题型26 实数运算的实际应用 51．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【规范解答】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 52．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【思路引导】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【规范解答】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数 （26个高频易错题型讲练 共52题 新教材） 【原卷版】 易错题型1 求一个数的算术平方根 2 易错题型2 利用算术平方根的非负性解题 2 易错题型3 估计算术平方根的取值范围 3 易错题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 3 易错题型5 算术平方根的实际应用 4 易错题型6 平方根概念理解 5 易错题型7 与算术平方根有关的规律探索题 6 易错题型8 求一个数的平方根 7 易错题型9 平方根的应用 8 易错题型10 已知一个数的平方根，求这个数 9 易错题型11 无理数 10 易错题型12 无理数的大小估算 10 易错题型13 无理数整数部分的有关计算 11 易错题型14 实数概念理解 13 易错题型15 实数的分类 13 易错题型16 实数的性质 14 易错题型17 实数与数轴 14 易错题型18 实数的大小比较 15 易错题型19 立方根概念理解 16 易错题型20 求一个数的立方根 17 易错题型21 已知一个数的立方根，求这个数 18 易错题型22 立方根的实际应用 19 易错题型23 与立方根有关的规律探索 20 易错题型24 算术平方根和立方根的综合应用 21 易错题型25 实数的混合运算 21 易错题型26 实数运算的实际应用 22 易错题型1 求一个数的算术平方根 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的面积为_________，它的边长为_________； (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值． 2．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 易错题型2 利用算术平方根的非负性解题 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若a、b为实数，且与互为相反数，则 ． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若，求的平方根． 易错题型3 估计算术平方根的取值范围 5．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 6．（22-23七年级下·河南·期中）根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 易错题型4 求算术平方根的整数部分和小数部分 7．（25-26七年级上·浙江金华·期中）根据下表回答下列问题： x (1)若介于与之间，则满足条件的整数n有 个； (2) ； (3)的平方根是 ； (4)若这个数的整数部分为m，则 ； 8．（25-26八年级上·江西九江·月考）材料：的整数部分是2，小数部分是，小数部分可以看成是得来的．类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是2，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，解答下列问题． (1)的整数部分是_____，小数部分是_____． (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 易错题型5 算术平方根的实际应用 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长 ． 10．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形； (1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由． 易错题型6 平方根概念理解 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（22-23七年级下·河南省直辖县级单位·期中）本学期学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】（1）探索定义：填写下表 1 16 81 x 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：________． （2）探究性质：①1的四次方根是________；②16的四次方根是________；③0的四次方根是________；④________（填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：________； 【拓展应用】（1）________ （2）比较大小：________． 易错题型7 与算术平方根有关的规律探索题 13．（24-25七年级下·海南三亚·月考）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 14．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 易错题型8 求一个数的平方根 15．（25-26七年级上·山东威海·期中）（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 16．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个非负数的两个不同的平方根是与，的算术平方根是4． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 易错题型9 平方根的应用 17．（24-25七年级下·江西南昌·期中）为宣传南昌旅游资源，促进旅游业发展，南昌某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮．A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮．请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 课题 景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示                  相关数据及说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为． 计算结果 …… (1)长方形封皮的长和宽分别是多少？ (2)正方形卡片能否装进长方形封皮内？请说明理由． 18．（24-25七年级下·福建龙岩·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1，当时，拼成的大正方形的边长为___________； (2)如图2，当时，拼成的大正方形的边长为___________cm； (3)小李想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？他能裁出吗？请说明理由． 易错题型10 已知一个数的平方根，求这个数 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个正数m的两个平方根分别是和． (1)求m和n的值 (2)求的平方根． 20．（24-25七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）已知正数x的平方根是a和． (1)当时，求a的值； (2)若，求x的值． 易错题型11 无理数 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知实数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥0  ⑦  ⑧ ⑨（两个“5”之间依次多一个“0”） 其中（请填序号）： 负整数是________________________， 分数是________________________， 无理数是________________________． 22．（25-26七年级上·全国·期中）如图，在甲、乙两个的方格图中，每个小正方形的边长都为1． (1)求图甲中阴影正方形的面积和边长； (2)请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分． 易错题型12 无理数的大小估算 23．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 24．（24-25八年级上·四川内江·月考）如图，若数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应在线段（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 易错题型13 无理数整数部分的有关计算 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)，n分别是的整数部分和小数部分，求的值； (3)若，其中x是整数，且，则的值是______（直接写出）． 26．（25-26七年级上·浙江温州·期中）【阅读理解】同学们，我们来学习近似计算算术平方根的方法． 材料一：求无理数的整数部分和小数部分． 解：因为，所以，即，故的整数部分为10，小数部分为． 材料二：求无理数的近似值（保留两位小数）． 解：由正方形的面积为107，可得边长是． 因为，所以设，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图1），根据图中的面积，得，当较小时，忽略的值，得，解得，所以． 【尝试探究】 (1)利用“材料一”中的方法，已知x是的整数部分，y是的小数部分，求代数式的值． (2)利用“材料二”中的方法，求的近似值（保留两位小数，将下面横线部分补充完整）． 解：由正方形的面积为 ，可得边长是． 因为 ，所以设 ，其中． 再将该正方形分割成两个正方形和两个长方形（如图2），根据图中的面积，得 ． 当较小时，忽略的值，得 ，解得 ，所以 ． 易错题型14 实数概念理解 27．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里：，，，，0，，，． (1)有理数集合：{ }； (2)负无理数集合：{ }； (3)正实数集合：{ }； 28．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）将下面的数填在相应的括号内： ，，0，，0.3，，，，，，，，3+． (1)有理数集合：{ }； (2)无理数集合：{ }； (3)正实数集合：{ }； (4)负实数集合：{ }； 易错题型15 实数的分类 29．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把下列各数序号填入下面对应的横线上： ①，②，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦，⑧0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑨． 负分数：____________________； 整数：____________________； 无理数：____________________． 30．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①0  ②   ③  ④  ⑤  ⑥  ⑦ (1)非负整数：___________； (2)分数：___________； (3)正有理数：___________； (4)无理数：___________． 易错题型16 实数的性质 31．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 32．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错题型17 实数与数轴 33．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 34．（25-26七年级上·浙江温州·期中）观察图形，以下每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，则阴影正方形的面积是________，阴影正方形的边长是________． (2)如图2，由题（1）的解题思路和方法，借助直尺和圆规工具在数轴上准确描出点P表示数，并保留作图痕迹． 易错题型18 实数的大小比较 35．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）把实数，，，，，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）人教版七年级下册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 易错题型19 立方根概念理解 37．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 38．（23-24七年级下·广东江门·月考）我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 易错题型20 求一个数的立方根 39．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 40．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 易错题型21 已知一个数的立方根，求这个数 41．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是与． (1)求与的值． (2)已知的立方根为，求的平方根． 42．（25-26八年级上·广东佛山·月考）已知的平方根为，的立方根为2． (1)求，的值； (2)求的平方根及的立方根． 易错题型22 立方根的实际应用 43．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是50653，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？ 【发现与思考】，；， 是两位数． 50653的个位数字是3，的个位数字是7． ，；， 的十位数字是3．． 【运用并解决】 类比上述的发现与思考，推理求出681472的立方根是（    ） A．72 B．78 C．88 D．92 44．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）魔方，又叫魔术方块，也称鲁比克方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授在1974年发明的．魔方与中国人发明的“华容道”，法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图1是一个4阶魔方，又称“魔方的复仇”，由四层完全相同的64个小立方体组成，体积为． (1)求组成这个魔方的小立方体的棱长． (2)图中阴影部分是一个正方形，求出该正方形的面积和边长． (3)把正方形放在数轴上，如图2，使得点与1重合，那么点在数轴上表示的数是___________． 易错题型23 与立方根有关的规律探索 45．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 46．（20-21七年级下·河北沧州·期中）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 易错题型24 算术平方根和立方根的综合应用 47．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 48．（22-23七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 易错题型25 实数的混合运算 49．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 50．（25-26七年级上·浙江金华·期中）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出的近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答问题： (1)如果的小数部分为的整数部分为b，求的值； (2)已知：，其中x是整数，且，求的值． 易错题型26 实数运算的实际应用 51．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 52．（24-25七年级下·青海海东·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $