第4章 几何图形初步（复习课件）数学新教材沪科版七年级上册

沪科版（2024）七年级数学上册 单元考点串讲 第4章 几何图形初步 目录/CONTENTS 易混易错 考点整合 知识梳理 课本复习题 直线与角 几何图形 立体图形 平面图形 概念与性质 运算 直线、射线、线段 角 尺规作图 两点确定一条直线 两点之间线段最短 线段的中点 角平分线 互为余（补）角的概念与性质 线段(角)的和、差、倍、分 线段的和、差、倍、分计算 角的和、差、倍、分计算 度、分、秒的转化 知识梳理 一、几何图形 1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的. 2. 点、线、面、体之间的联系 (1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点； (2) 点动成线、线动成面、面动成体. (2)平面图形上的各点都在同一个平面内，如 3. 立体图形与平面图形 (1)立体图形上的点不都在同一个平面内，如 二、直线、射线、线段 1. 有关直线的基本事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 2. 直线、射线、线段的区别 类型 端点个数 延伸性 能否度量 线段 射线 直线 2 个 不能延伸 可度量 1 个 向一个方向 无限延伸 不可度量 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度量 4. 有关线段的基本事实 两点之间线段最短 3. 线段的中点 应用格式： A C B 因为 C 是线段 AB 的中点， 所以 AC ＝ BC ＝ AB， AB ＝ 2AC ＝ 2BC. 5. 线段长短的比较方法 度量法或叠合法 三、角 1. 角的定义 (1) 从一个点出发的两条射线组成的图形，叫做角. (2) 角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. 2. 角的度量 度、分、秒的互化 1°＝60′，1′＝60″， 3. 角的大小的比较方法 度量法或叠合法 1″＝ ′，1′＝ ° 4. 角的平分线 O B A C 应用格式： 5. 余角与补角的性质 同角(等角)的补角相等 同角(等角)的与角相等 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC. 　三组概念 概念1　立体图形与平面图形 1. 如下图形中哪些是立体图形，哪些是平面图形？ 【解】立体图形有①④⑤⑥⑦，平面图形有②③⑧. 考点整合 概念2　线段中点与角平分线 2. [2024·合肥庐阳区期末]如图，点 C 为线段 AB 上的一点， AC ∶ CB ＝5∶3， M ， N 两点分别为 AC ， AB 的中点，若线段 MN 为3 cm，则 AB 的 长为 cm. 16　 所以 AC ＝ AB ， 因为 M ， N 两点分别为 AC ， AB 的中点， 所以 AM ＝ AC ， AN ＝ AB ， 所以 MN ＝ AN － AM ＝ ( AB － AC )＝ ＝3 cm，所以 AB ＝16 cm. 【点拨】 因为 AC ∶ CB ＝5∶3， 3. 如图，射线 OQ 平分∠ POR ， OR 平分∠ QOS ，有以下结论： ①∠ POQ ＝∠ QOR ＝∠ ROS ； ②∠ POR ＝∠ QOS ； ③∠ POR ＝2∠ ROS ； ④∠ ROS ＝2∠ POQ . 其中正确的有 ⁠. ①②③　 概念3　余角与补角 4. [2024·黄山期末]将一副三角板按如图所示的位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是(　B　) B. ∠α与∠β互余，故本选项正确； C. ∠α与∠β不互余，故本选项错误； D. ∠α与∠β互补，不互余，故本选项错误. 【点拨】 A. ∠α与∠β不一定互余，故本选项错误； 【答案】 B 5. 如图，已知∠ AOB ＝180°，则下列语句中，描述错误的是(　C　) A. 点 O 在直线 AB 上 B. 直线 AB 与直线 OP 相交于点 O C. 点 P 在直线 AB 上 D. ∠ AOP 与∠ BOP 互为补角 C 　两个性质(基本事实) 性质1　直线的基本事实 6. [2024·合肥经济技术开发区期末]下列四个生活中的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线；③从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.其中可以用基 本事实“两点确定一条直线”来解释的有(　A　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【点拨】 ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ③从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 方向架设，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意. 综上，符合题意的是①②. 故选A. 【答案】 A 性质2　线段的基本事实 7. 下列现象中，可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是(　B　) B A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上 B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程 C. 利用圆规可以比较两条线段的长短关系 D. 植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线 　两种计算 计算1　线段的计算 8. 如图，已知 AB 和 CD 的公共部分 BD ＝ AB ＝ CD ，线段 AB ， CD 的中点分别为 E ， F ， EF ＝10 cm，则 AB ， CD 的长分别为 ⁠. 12 cm，16 cm　 【点拨】 因为 BD ＝ AB ＝ CD ，所以 CD ＝ AB . 因为 F 是 CD 的中点， 所以 DF ＝ CD ＝ × AB ＝ AB . 因为 E 是 AB 的中点， 所以 EB ＝ AB ， 所以 ED ＝ EB － DB ＝ AB － AB ＝ AB . 所以 EF ＝ ED ＋ DF ＝ AB ＋ AB ＝ AB ＝10 cm， 所以 AB ＝12 cm， 所以 CD ＝ AB ＝16 cm. 计算2　角的计算 9. 如图， O 是直线 AB 上一点， OC ， OD 是从 O 点引出的两条射线， OE 平分∠ AOC ，∠ BOC ∶∠ AOE ∶∠ AOD ＝2∶5∶8，则∠ BOD 的度数为 ⁠. 60°　 【点拨】 设∠ BOC ＝(2 x )°， 则∠ AOE ＝(5 x )°，∠ AOD ＝(8 x )°. 因为 O 是直线 AB 上一点， 所以∠ AOB ＝180°， 所以∠ COE ＝(180－7 x )°. 因为 OE 平分∠ AOC ， 所以∠ AOE ＝∠ COE ， 即5 x ＝180－7 x ， 解得 x ＝15， 所以∠ AOD ＝8×15°＝120°， 所以∠ BOD ＝60°. 　一种方法——计数方法 10. 如图，平面内有过公共端点 O 的六条射线 OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OF ，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写上数1，2，3，4，5，6，7，…. (1)数“17”在射线 上； OE 　 (2)请任意写出三条射线上数的排列规律； 【解】(任意写出三条射线上数的排列规律即可)射线 OA 上数的排列规律为6 n －5( n 为正整数).射线 OB 上数的排列规律为6 n －4( n 为正整数).射线 OC 上数 的排列规律为6 n －3( n 为正整数).射线 OD 上数的排列规律为6 n －2( n 为正整数).射线 OE 上数的排列规律为6 n －1( n 为正整数).射线 OF 上数的排列规律 为6 n ( n 为正整数). (3)数“2 024”在哪条射线上？ 【解】因为2 024÷6＝337……2，所以数“2 024”在射线 OB 上. 　四种思想 思想1　转化思想 11. 如图，点 C ， D ， E 将线段 AB 分成2∶3∶4∶5的四部分， M ， P ， Q ， N 分别是 AC ， CD ， DE ， EB 的中点，且 MN ＝21，则 PQ 的长为 ⁠. 7　 设 AC ＝2 x ，则 CD ＝3 x ， DE ＝4 x ， EB ＝5 x .由 M ， N 分别是 AC ， EB 的中点，得 MC ＝ x ， EN ＝2.5 x . 由题意得 MN ＝ MC ＋ CD ＋ DE ＋ EN ＝ x ＋3 x ＋4 x ＋2.5 x ＝21，即10.5 x ＝21， 所以 x ＝2. 又因为 P ， Q 分别是 CD ， DE 的中点， 所以 PQ ＝ CD ＋ DE ＝3.5 x ＝7. 【点拨】 思想2　分类讨论思想 12. 已知线段 AB ＝12 cm，直线 AB 上有一点 C ，且 BC ＝6 cm， M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长. 【解】当点 C 在线段 AB 上时，如图①.因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM ＝ AC . 又因为 AC ＝ AB － BC ， AB ＝12 cm， BC ＝6 cm，所以 AM ＝ AC ＝ ( AB － BC )＝ ×(12－6)＝3(cm). 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图②.因为 M 是线段 AC 的中点，所以 AM ＝ AC . 又因为 AC ＝ AB ＋ BC ， AB ＝12 cm， BC ＝6 cm，所以 AM ＝ AC ＝ ( AB ＋ BC )＝ ×(12＋6)＝9(cm). 综上所述，线段 AM 的长为3 cm或9 cm. 思想3　方程思想 13. [2024·合肥庐阳区期末]如图， O 是直线 AB 上一点，射线 OC 绕点 O 顺时针旋转，从 OA 出发，每秒旋转15°，射线 OD 绕点 O 逆时针旋转，从 OB 出发，每秒旋转30°，射线 OC 与 OD 同时旋转，设旋转的时间为 t 秒，当 OC 旋转到与 OB 重合时， OC ， OD 都停止运动. (1)当 t ＝2时，∠ COD ＝ °； (2)当 t ＝ 时， OC 与 OD 夹角为60°. 90　 或 或 　 　　(1)当 t ＝2时，∠ AOC ＝15°×2＝30°，∠ BOD ＝30°×2＝60°， 所以∠ COD ＝180°－∠ AOC －∠ BOD ＝90°. 【点拨】 (2)当 OC 与 OB 重合时， OC ， OD 都停止运动， 则 OC 旋转180°后停止运动. 180°÷15°＝12(秒)，则 t ＝12时， OC ， OD 都停止运动， 则有0＜ t ≤12， 所以 OD 旋转度数为12×30°＝360°，则停止运动时， OD 刚好旋转一周与 OB 重合. ①如图①， OC ， OD 相遇前， 因为∠ COD ＝180°－∠ AOC －∠ BOD ＝60°， 所以180－15 t －30 t ＝60， 解得 t ＝ ； ②如图②， OC ， OD 相遇后，第一次形成60°角， 由题意可知：∠ AOC ＝15°× t ＝(15 t )°，∠ BOD ＝30°× t ＝(30 t )°， 由题意可知：∠ AOC ＝15°× t ＝(15 t )°，∠ BOD ＝30°× t ＝(30 t )°， 因为∠ AOC ＋∠ BOD ＝∠ AOC ＋∠ BOC ＋∠ COD ＝180°＋∠ COD ， ③如图③， OC ， OD 相遇后，第二次形成60°角， 由题意可知：∠ AOC ＝15°× t ＝(15 t )°，∠ BOD ＝360°－30°× t ＝360°－(30 t )°， 则∠ BOC ＝180°－∠ AOC ＝180°－(15 t )°. 所以15 t ＋30 t ＝180＋60，解得 t ＝ ； 因为∠ COD ＝∠ BOC ＋∠ BOD ＝60°， 所以60＝(180－15 t )＋(360－30 t )， 解得 t ＝ . 思想4　数形结合思想 14. 两人开车从 A 市到 B 市，计划上午比下午多走100 km到 C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇汽车行驶了400 km，傍晚才停下休息.一人说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 A ， B 两市相距多少千米？ 【解】方法一　如图，设小镇为 D ，傍晚两人在 E 处休息，由题意可知 AD ＝ AC ＝ DC ， DE ＝400 km， BE ＝ CE . 因为 DE ＝ DC ＋ CE ， 所以 DE ＝2 AD ＋2 BE ＝2( AD ＋ BE )， 所以 AD ＋ BE ＝ DE ＝ ×400＝200(km). 所以 AB ＝ AD ＋ DE ＋ BE ＝200＋400＝600(km). 所以 A ， B 两市相距600 km. 方法二　如图，设小镇为 D ，傍晚两人在 E 处休息，原计划上午走的路程 AC ＝ x km， 则原计划下午走的路程 BC ＝( x －100)km. 实际上午走的路程 AD ＝ x km，所以 CD ＝ x km， 所以 CE ＝ km. 因为 BE ＝ CE ， BE ＋ CE ＝ BC ， 所以 CE ＝ BC ＝ ( x －100)km， 所以400－ x ＝ ( x －100)， 解得 x ＝350. 所以 AB ＝ AC ＋ BC ＝350＋(350－100)＝600(km). 所以 A ， B 两市相距600 km. 15. 如图，这是一个无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)，求这个盒子的容积. 【解】由题图易知，长方体盒子的长、宽、高分别是3，2，1，3×2×1＝6.所以这个盒子的容积为6. 易混易错 1.已知线段AB=2 cm，延长AB到C，使BC=2AB， D为AB的中点，求DC的长. 解：如图所示.因为D为AB的中点，BC=2AB， 所以DB= AB=1 cm，BC=4 cm. 所以DC=DB+BC=5 cm. A D B C 复习题4A组 2.把一条32 cm的线段分成三段，中间一段长为 8 cm，问第一段中点到第三段中点的距离等于多少？ 解：因为线段总长为32 cm，中间一段长为8 cm，所以第一段和第三段总长为24 cm，因为第一段中点到第三段中点的距离等于第一段和第三段总长的一半加上中间一段的长度，所以第一段中点到第三段中点的长度为12+8=20 (cm). = 3.如图，用“＞”“＜”“=”填空： （1）若BE是∠ABC的平分线， 则∠ABE ∠EBC； A B C D E ＜ （2）已知D是BC上一点， 则∠DAC ∠BAC. A B C D E 4.（1）作∠AOB=90°，在∠AOB的内部作 ∠BOC=30°，∠AOD=75°，∠AOE=30° D 解：如图所示. A E C B O （2）在上面所作的图中，∠COD= ， 射线OD是∠BOC的 ，OE是∠AOC 的 ，∠DOE= . 15° 平分线 平分线 45° D A E C B O 5.如图,∠AOB是一个平角,∠1=∠2,∠3=∠4,那么： （1）OD是 的角平分线； （2）∠AOC的补角是 ， ∠BOE的补角是 ， ∠AOD的补角是 ； （3）∠3的余角是 ，∠1的余角是 . ∠AOC ∠BOC ∠AOE ∠BOD ∠2或∠1 ∠3或∠4 A D C E B O 1 2 3 4 解：（1）∠EOA与∠AOB， ∠AOB与∠BOC. 6.如图，点O在直线AD上，∠BOE=∠COD=90°， 写出：（1）互为余角的角； B D E A C O （2）∠AOE与∠DOE，∠BOC与∠DOE， ∠EOB与∠COD，∠AOB与∠BOD， ∠AOC与∠COD，∠AOC与∠BOE. （3）∠BOE= ∠COD= ∠AOC=90°， ∠EOA=∠BOC. （2）互为补角的角；（3）相等的角. B D E A C O 7.根据下列条件，用量角器、刻度尺画出点的位置: （1）点A在北偏东30°方向上， 与点O相距2 cm； （2）点B在北偏西70°方向上， 与点O相距1 cm； 解：（1）（2）如图所示. •A B • 北 东 南 西 1 cm O 解：（3）（4）如图所示. （3）点C在西南方向上， 与点O相距1.5 cm； （4）点D在正东方向上， 与点O相距1.5 cm. •A B • C • • D 北 东 南 西 1 cm O 解：如图所示.由图易得AB，AC所成的最小的角的度数为30°+90°+55°=175°． 北 东 南 西 50 m A •B C • 30 ° 35 ° 8.已知甲从点A出发向北偏东30°方向走50 m到达点B，乙从点A出发向南偏西35°方向走了80 m， 到达点C，试求AB，AC所成的最小的角的度数. 解：当A，B，C，D四点中任意三点都不在同一条直线上时，以任意两点为端点的线段有6条． 1.已知A，B，C，D四点，任意三点都不在同一直 线上，以其中的任意两点为端点的线段有多少条？ 复习题4B组 2.线段AB=12 cm，点M是AB中点，点C在MB上且MC∶CB=1∶2，求线段AC的长. 解：如图所示.因为AB=12 cm，M为AB中点， 所以AM=MB=6 cm. 又因为MC∶CB=1∶2，所以MC=2 cm.所以AC=AM+MC=8 cm. 3.在平面内有∠AOB=50°，∠BOC=30°，OM是 ∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线. 求∠MON的度数. 解：若OC在∠AOB内部， 则∠MON= (∠AOB-∠BOC)=10°； 若OC在∠AOB外部， 则∠MON= (∠AOB+∠BOC)=40°. 1.设有两块三角尺，其中一块的三个角分别是90°，60°，30°，另一块的三个角分别是90°，45°， 45°.你用这两块三角尺能画出多少个小于平角的，度数确定且大小互不相等的角？ 复习题4C组 解：由这两块三角尺可以画出11个小于平角的角， 它们分别是15°，30°，45°，60°，75°，90°， 105°，120°，135°，150°，165°. 2.如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠AOM 内的一条射线. （1）若∠BON= 55°，∠AON= 15°，求∠MON的度数； （2）用等式表示∠MON与∠AON，∠BON的关系， 并说明你是如何得到的. O B M N A O B M N A 解：（1）因为∠BON=55°，∠AON= 15°， 所以∠AOB=∠BON+∠AON=70°. 因为OM为∠AOB的平分线， 所以∠AOM= ∠AOB=35°. 所以∠MON=∠AOM-∠AON= 20°. （2）∠MON= (∠BON-∠AON). 理由:因为OM为∠AOB的平分线， 所以∠AOM= ∠AOB. 所以∠MON=∠AOM-∠AON = ∠AOB-∠AON = (∠BON+∠AON)-∠AON = (∠BON-∠AON). 3.如图，给出一条线段AB，这时图中的线段条数为1，记作S0，即S0=1.如果在AB上任取一点C（不与原有端点重合），这时，共有S1条线段， 即： S1=1+2=3. A C B 如果在AB上任取两个不同点（不与原有各个点重合），这时，共有S2条线段，那么 S2=1+2+3=6. 如此类推：S3，S4各等于多少？ 如果在AB上任给n个不同点，那么Sn等于多少？ A C B 解：由S0=1，S1=1+2，S2=1+2+3， 类比得到S3=1+2+3+4=10，S4=1+2+3+4+5=15. 若线段AB上有任意n个不同点， 那么Sn=1+2+3+…+（n+1）= ． A C B $$