5.6二元一次方程与一次函数 课时作业2024-2025学年北师大版数学 八年级上册

北师大版八年级上册数学5.6二元一次方程与一次函数 课时作业 一、单选题 1．已知直线与直线都经过点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 3．下列直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程2x﹣y=2的解的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 5．关于一次函数与，下列说法： ①两函数的图象关于轴对称； ②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24； ③函数（是常数，且）的图象一定过点． 其中正确的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上，则常数的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于，的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．定义：一次函数和一次函数互为 “相反函数”，如和互为“相反函数”．若点既是图像上的点，又是它的“相反函数”图像上的点，则点的坐标为 ． 10．若直线l1：与直线l2：交于点（3，），则方程组的解是 ． 11．若关于 的二元一次方程组 的解是 ，则直线与 的交点坐标是 ． 12．如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ．    13．下表分别是一次函数和的图象上一部分点的坐标： …. 0 1 2 3 …. ….. -4 -1 2 5 …. … ﹣4 1 2 3 … … 4 ﹣1 ﹣2 ﹣3 … 则方程组的解为 ． 三、解答题 14．为奖励在学校体育艺术节中表现突出的25名同学，派李老师为这些同学购买奖品，要求每人一件．李老师到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4个笔记本和2支钢笔，则需86元；如果买3个笔记本和1支钢笔，则需57元． （1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？ （2）售货员提示，购买笔记本没有优惠；买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8折优惠，若买x（x＞10）支钢笔，所需总费用为y元，请你求出y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，如果买同一种奖品，请你帮忙计算说明，买哪种奖品费用更低． 15．学校准备假期组织学生去北京研学，现有甲、乙两家旅行社表示对学生研学团队优惠.设参加研学的学生有x人，甲、乙两家旅行社实际收费分别为元，元，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题： （1）根据图象直接写出当参加研学的学生人数为多少时，两家旅行社收费相同？ （2）当参加学生的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？ （3）如果共有50人参加时，通过计算说明选择哪家旅行社合算？ 16．计算：； 如图，已知直线的解析式为，直的解析式为：，与x轴交于点C，与x轴交于点B，与交于点． 求k，b的值；求三角形ABC的面积． 17．计算：（1）； （2）已知如图在平面直角坐标系中两直线相交于点P，求交点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A B D B B 1．D 【分析】根据方程组的解即为直线与直线的交点坐标进行求解即可． 【详解】解：∵直线与直线都经过点 ∴方程组的解是：． 故选：D 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，但是比较容易出错，正确理解“方程组的解即为直线与直线的交点坐标”是解题的关键． 2．B 【详解】试题分析：由题意，两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），所以x=﹣2、y=3就是方程组的解． 解：∵两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3）， ∴x=﹣2、y=3就是方程组的解． ∴方程组的解为：． 故选B． 点评：本题主要考查了二元一次方程（组）和一次函数的综合问题，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解，认真体会一次函数与一元一次方程之间的内在联系． 3．C 【详解】分析：根据两点确定一条直线，当x=0，求出y的值，再利用y=0，求出x的值，即可得出一次函数图象与坐标轴交点，过两点作直线即是函数的图象． 详解： ∵2x-y=2， ∴y=2x-2， ∴当x=0，y=-2；当y=0，x=1， ∴一次函数y=2x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（1，0）， 即可得出选项C符合要求， 故选C． 点睛：考查了一次函数与二元一次方程的关系，将方程转化为函数关系进而得出与坐标轴交点坐标是解题关键． 4．A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 5．B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两个一次函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数与方程间的关系是解题的关键． 首先画出两个一次函数的图象，然后根据图象即可判断①；然后利用三角形面积公式即可判断②；首先得到，然后将代入求解即可判断③． 【详解】一次函数与的图象如图所示， 由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确； 的面积，故②错误； 函数 当时， ∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确． 综上所述，其中正确的个数是2个． 故选：B． 6．D 【分析】将一次函数变形得，再根据二元一次方程，即可求解． 【详解】解：一次函数变形得，， ∵二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图像上， ∴整理得，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程的综合，理解题意，掌握一次函数与二元一次方程的相互转换是解题的关键． 7．B 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， 点在直线上， ， ， 点的坐标为， 一次函数的图象与的图象相交于点A， 方程组的解是， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解． 【详解】解：关于，的方程组可化为： 故一次函数的图像与的图像的交点坐标即为方程组的解， 将代入得：， ∴ 故关于，的方程组的解是 故选：B 9． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、新定义函数等知识点，掌握“相反函数”的定义是解题的关键． 根据“相反函数”的定义写出的“相反函数”，然后与联立即可解答． 【详解】解：由“相反函数”可得函数的“相反函数”为， 则有：，解得：， 所以点的坐标为． 故答案为． 10． 【分析】将方程组化简得，根据一次函数与方程组的关系判断即可． 【详解】∵ ， ∴变形得． ∵直线l1：与直线l2：交于点（3，）， ∴的解为， ∴的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数解析式的交点就是对应解析式构成方程组的解是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，熟知两直线的交点的横纵坐标即为两直线对应的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵二元一次方程组 的解是 ， ∴直线与 的交点坐标是， 故答案为：． 12． 【分析】先将代入中，求出P点坐标，则可得方程组的解． 本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握“两条直线的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解”是解题的关键． 【详解】解：∵直线：经过， ∴， ∴， ， ∴方程组的解是． 故答案为：． 13．. 【分析】根据待定系数法确定函数解析式后解答即可． 【详解】把（0，-4）和（1，-1）代入y1=k1x+b， 可得：， 解得：， 所以y1=3x-4； 把（1，-1）代入y2=k2x，可得：k2=-1， 解得：k2=-1， 所以y2=-x， 联立两个方程可得： 解得：， 故答案为：. 【点睛】此题考查函数与方程组的关系，关键是根据两个函数的交点即为方程组的解集． 14．（1）笔记本，钢笔单价分别为14元，15元；（2）y＝﹣2x+380；（3）买钢笔费用低． 【分析】（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，建立一个二元一次方程组求解即可得； （2）先根据前10支钢笔按原价、支钢笔按8折优惠价购买，求出购买钢笔所需费用，再根据学生人数和笔记本的价格求出购买笔记本的费用，两者求和即可得； （3）分别计算出只购买笔记本和只购买钢笔的费用，再比较大小即可得． 【详解】（1）设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元 由题意得 解得 答：设笔记本的单价为14元，钢笔的单价为15元； （2）由题意和（1）的结论得：购买钢笔的费用为（元）；购买笔记本的费用为（元） 则所需总费用为 故y与x之间的函数关系式为； （3）买25本笔记本费用为（元） 买25支钢笔费用：（元） 购买钢笔费用低 答：如果买同一种奖品，则买钢笔费用更低． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一次函数的实际应用等知识点，理解题意，正确建立方程组是解题关键． 15．（1）30人；（2）当有30人以下时,y <y ，所以选择甲旅行社合算；；（3）当人时，乙旅行社合算. 【分析】（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象即可得出答案． （2）由图象比较收费y、y，即可得出答案． （3）结合图形进行解答，当有50人时，比较收费y、y，即可得出答案． 【详解】(1)当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人； (2)由图象知：当有30人以下时,y <y ，所以选择甲旅行社合算； (3) 观察图象,当x＞30时,y的图象在y的下方,即y＜y， ∴ 当一共有50人参加时,应选择乙旅行社合算.； 【点睛】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于结合函数图象进行解答. 16．（1）3；（2），；的面积． 【分析】先乘方再乘除，最后加减，有括号和绝对值的先算括号和绝对值里面的． 利用待定系数法求出k，b的值； 首先根据两个函数解析式计算出B、C两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】解： = ； 与交于点， ，， 解得，； 当时，， 解得， 则， 当时，， 解得， 则， 的面积：． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.同时考查了二次根式的混合运算． 17．（1）；（2）点P的坐标为． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组． （1）先整理方程组，再利用加减消元法即可求出本题； （2）由两个一次函数表达式组成的方程组的解就是两条直线的交点的坐标． 【详解】解：（1）方程组整理得：， ①-②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故方程组的解为：； （2）解方程组，可得， 所以交点P的坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$