专题5.5 二元一次方程与一次函数（2大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.5 二元一次方程与一次函数（2大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.一次函数图像的平移与应用 （1）一次函数直线的平移规律：系数不变，上加下减，左加右减， （2）一次函数直线平行（k值相等）两直线解析式联立方程组无解。 3.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 【知识点2】用二元一次方程确定一次函数的表达式 1.待定系数法 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法， 叫做待定系数法. 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程（组）与一次函数 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解.................................2 【题型2】图象法解二元一次方程组...........................................3 【考点二】直线围成的图形面积 【题型3】求直线围成的图形面积.............................................4 【题型4】利用直线围成的面积求点的坐标.....................................5 【题型5】利用直线围成的面积求点的存在性...................................6 【考点三】确定一次函数的表达式 【题型6】确定一次函数的表达式.............................................7 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型7】直通中考.........................................................7 【题型8】拓展延伸........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B．3 C．5 D． 【变式2】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【题型2】图象法解二元一次方程组 【例2】（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【题型3】求直线围成的图形面积 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)过点B作直线交x轴于点C，若，求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 【题型4】利用直线围成的面积求点的坐标 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 【变式1】（2021九年级·北京·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（   ） A． B． C． D．， 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【题型5】利用直线围成的面积求点的存在性 【例5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【题型6】确定一次函数的表达式 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，已知直线经过点与点，另一条直线经过点，且与轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)若的面积为3，求的解析式． 【变式1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）某一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则该一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．     (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【例2】（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 【例2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.5 二元一次方程与一次函数（2大知识点4大考点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.一次函数图像的平移与应用 （1）一次函数直线的平移规律：系数不变，上加下减，左加右减， （2）一次函数直线平行（k值相等）两直线解析式联立方程组无解。 3.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 【知识点2】用二元一次方程确定一次函数的表达式 1.待定系数法 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法， 叫做待定系数法. 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 考点与题型目录 【考点一】二元一次方程（组）与一次函数 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解.................................2 【题型2】图象法解二元一次方程组...........................................5 【考点二】直线围成的图形面积 【题型3】求直线围成的图形面积.............................................7 【题型4】利用直线围成的面积求点的坐标....................................10 【题型5】利用直线围成的面积求点的存在性..................................13 【考点三】确定一次函数的表达式 【题型6】确定一次函数的表达式............................................18 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型7】直通中考........................................................20 【题型8】拓展延伸........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】（2024八年级上·全国·专题练习）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为___________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两直线交点问题．理解题意，熟练掌握两直线交点是解题的关键． （1 ）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2 ）将“亮点”为，代入求得q，进而代入求得p即可． 解：（1）由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 即， 解得，， 一次函数的“亮点”为； （2）根据定义可得，点在上， ∴， 解得， ∵点又在上， ， 又∵， ∴， 解得， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为（　　） A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到方程组的解，然后把方程组的解代入方程组，求出a、b的值，最后把a、b的值代入计算即可． 解：根据图象得：方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 【变式2】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解． 解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是， 交点的纵坐标为． 方程组的解为． 故答案为：． 【题型2】图象法解二元一次方程组 【例2】（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 解：（1）列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… 画出函数图形如下： （2）∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为 ， ． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【题型3】求直线围成的图形面积 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，点B． (1)求A，B两点的坐标． (2)过点B作直线交x轴于点C，若，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，一次函数与坐标轴的交点问题，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）把，分别代入函数解析式，求出点A、B的坐标即可； （2）先根据，得出，分两种情况讨论：当点C在点A左侧时，当点C在点A右侧时，分别求出的面积即可． 解：（1）把代入得， ∴点B的坐标为； 把代入得， 解得：， ∴点A的坐标为． （2）∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 当点C在点A左侧时，， ∴； 当点C在点A右侧时，， ∴； 综上分析可知：的面积为或． 【变式1】（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，与直线的交点C的纵坐标是，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出的值，从而得到点的坐标，再根据点的纵坐标得到点到轴的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：令，则， 解得， 所以，点的坐标为， ∵点的纵坐标是， ∴点C到轴的距离为， ∴的面积． 故选：B． 【点拨】本题考查了两条直线相交的问题，根据直线解析式求出点的坐标是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）设直线和直线（是正整数）与轴围成的三角形面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4】利用直线围成的面积求点的坐标 【例4】（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)在x轴上存在一点P，使得的面积为10，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了求出一次函数图象与x轴和y轴的交点，直线围成的三角形面积，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据一次函数解析式分别求出点A、B的坐标即可； （2）根据的面积为10，得出，求出，根据A点坐标为，求出点P的坐标即可． 解：（1）把代入得：， 解得：， ∴； 把代入得：， ∴； （2）∵的面积为10， ∴， 又∵， ∴． ∵A点坐标为， ∴点P的坐标为或． 【变式1】（2021九年级·北京·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，点，直线分别与轴，轴交于点，点．直线与相交于点，已知，则点的坐标是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【分析】由直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，即可求得点A与B的坐标，又由S△ABD=4，即可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后由直线AB与CD相交于点P，可得方程组：，解此方程即可求得答案． 解：∵直线AB：y=x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B， 令，则；令，则， ∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA=2，OB=1， ∵S△ABD=BD•OA=×BD×2=4， ∴BD=4， ∴OD=BD-OB=4-1=3， ∴点D的坐标为（0，-3）， ∵点D在直线y=x+b上， ∴b=-3， ∴直线CD的解析式为：y=x-3， ∵直线AB与CD相交于点P， 联立可得：， 解得， 即的坐标是． 故选：． 【点拨】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、点与一次函数的性质以及三角形的面积问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线与x轴交于点A，直线m是过点且与x轴垂直的直线，直线l与直线m相交于点C，点P是y轴上一点，若，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键，根据三角形的面积公式求解，进行分类讨论． 解：设， 当时，， 解得：， 当时，， ，， ， 当时，， 解得：， 当时，， 故答案为：或． 【题型5】利用直线围成的面积求点的存在性 【例5】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点． (1)直接写出点B的坐标为 ； (2)求出的面积； (3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得的坐标； （2）根据题意得出的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据已知求得的横坐标为为或，通过直线的解析式即可求得的坐标． 解：（1）由直线可知：令，则， ∴； （2）， ∴点与轴的距离是2， ∵， 的面积； （3）存在； 由（2）知的面积为， ， 设， ， ， 或， 代入直线得，或， 综上所述：的坐标为或． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点，坐标与图形以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 【变式1】（22-23七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，，，，则三角形的面积为 ，如果在y轴上存在一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为 ． 【答案】 6 或/或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．设点，根据的面积与的面积相等，先计算的面积，然后列出等式计算y即可解答． 解：如图， ∵， ∴， ∴的面积为：； 设点， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：6；或． 【变式2】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数解析式； (2)一次函数的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)如果在一次函数的图象存在一点Q，使是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)P点的坐标或；(3)或或或 【分析】（1）先将代入，求出点A的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）先求出点D的坐标，得出，再由，即可求解； （3）设点，得出，，，分三种情况：当时，当时， 当时，分别列出方程，求出结果即可． 解：（1）∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴可有， 解得， ∴A点的坐标； ∵一次函数的图象过点和点， 则有， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）存在，理由如下： 对于一次函数，令， 则有， 解得， ∴点， ∴， 设点， 根据题意可知：， 解得， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴P点的坐标或； （3）设点， 则， ， ， 当时，，则： ， 解得：或（舍去）， 此时点Q的坐标为； 当时，，则： ， 解得：或， 此时点Q的坐标为或； 当时，，则： ， 解得：， 此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或或． 【点拨】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴交点，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握相关知识，并运用数形结合的思想分析问题，注意进行分类讨论． 【题型6】确定一次函数的表达式 【例6】（24-25八年级上·四川眉山·期中）如图，已知直线经过点与点，另一条直线经过点，且与轴相交于点． (1)求直线的解析式． (2)若的面积为3，求的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与几何的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据的面积求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可． 解：（1）直线经过点与点， ，解得：． 直线的解析式为． （2）点，另一条直线经过点，且与轴交于点，并且的面积为3， ， ， ∵， 的坐标为或， 或 解得：或 直线所对应的函数表达式为或． 【变式1】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）某一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则该一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，根据两直线平行时k的值相等，设所求解析式，把已知的点坐标代入计算即可． 解：根据题意，设直线解析式为， 把代入得， 解得， 则直线解析式为， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二元一次方程组的解法； （1）把点代入，再解方程组即可； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大；当时，函数有最大值为2，当时，随的增大而减小；当时，函数有最大值为2，再进一步求解即可． 解：（1）∵点都在该一次函数的图象上， ∴， 解得：； 故答案为： （2）当时，随的增大而增大； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 当时，随的增大而减小； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 故答案为：或． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．     (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 解：（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点拨】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 【例2】（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究的值，其中． 例求的值． 方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知 的结果等于该正方形的面积， 即． 方法2：借助函数和的图象，观察图②可知 的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为1， 所以，．    【实践应用】 任务一   完善的求值过程．    方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，______． 任务二   参照上面的过程，选择合适的方法，求的值． 任务三   用方法2，求的值（结果用表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出的值．    【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展] 【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可； 任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果； 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解； [迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解． 解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 故答案为：． 方法2：借助函数和的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为， 所以，． 故答案为：，． 任务二：参照方法2，借助函数和的图象，， 解得： ∴两个函数图象的交点的坐标为， ． 任务三  参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为， ∴ [迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，…… 则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积， 即 【点拨】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题； （1）将代入得出，，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出过定点，则点到轴的距离为,根据，结合题意，得出和时的值，结合图象即可求解． 解：（1）当时，， 如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则 ∴，解得：，则， 当时，，∴， ∴， ∴ （2）∵， ∴过定点，则点到轴的距离为, 设与轴交于点，则,则 ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 ∵ ∴或 故答案为：或． 【例2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，满足，，当点A从原点O开始沿x轴的正方向运动时，点B始终在第一象限运动． (1)当轴时，求B点坐标； (2)随着A、C的运动，当点B落在直线上时，求此时A点的坐标； (3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16？如果存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据勾股定理，可得的长，根据勾股定理，可得的长，可得B点坐标； （2）过点B作轴，垂足为点E，设，先证明，可得，，根据勾股定理，可得x的长，可得A点坐标； （3）分类讨论：①D在y轴的正半轴上；②D在y轴的负半轴上，根据面积的和差，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案． 解：（1）∵，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B坐标为； （2）如图，过点B作轴，垂足为点E， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵点B落在直线上， ∴设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴点； （3）设点，由（2）得， 当点D在y轴正半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点； 若点D在y轴负半轴上，如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点D坐标为． 综上，存在点D，使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是16，点D的坐标为或． 【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用面积的和差得出关于y的方程是解题关键，注意分类讨论，以防遗漏． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$