第12章 最值问题之胡不归问题讲义2024年九年级中考数学复习

第十二章 最值问题之胡不归问题 【问题背景】 有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。 但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点D，小伙子从A走到D，然后从D折往B，可望最早到达B。用现代的科学语言表达，就是： 若在驿道上行走的速度为V，在沙地上行走的速度为V，即求的最小值。 例题1、如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为（ ） A. B. C.4 D. 【方法一】 正方形ABCD为轴对称图形，AP=PC AP+BP+CP=2AP+BP=2（AP+BP） 即求AP+-BP的最小值 连接AE，作∠DBE=30°，交AC于E，过A作AFBE，垂足为F 在Rt△PBF中，∠PBF=30°，PF=BP AP+BP的最小值即为AF线段的长 ∠BAE=45°，∠AEB=60° 解直角△ABE，得AO=BO=，OE=，OB= 根据等积法，AE·BO=BE·AF 解得 AF=， AP+BP+CP=2AP+BP=2（AP+BP）= 故选B. 【方法总结】 第一步：将所求线段和改写为PA+PB的形式（<1） 第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度，使得sin= 第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值 第四步：计算 【方法二】 如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小 AP=AF，∠PAF=60°，△PAF是等边三角形， PA=PF=AF，EF=PB， PA+PB+PC=EF+PF+PC， 当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，作EMDA的延长线于M，ME的延长线交CB的延长线于N，则四边形ABNM是矩形. 在Rt△AME中，∠M=90°，∠MAE=30°，AE=2， ME=1，AM=BN=，MN=AB=2，EN=1， EC= PA+PB+PC的最小值为 故选B. 【课外拓展】 本题考查的知识点是“费马点”，费马点有以下两个特点： ①点P到△ABC三点距离之和最短； ②∠APB=∠BPC=∠APC=120 巩固练习 1、如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米。一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经____________小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.） 解：如图所示，公路上行驶的路线是AP，草地上行驶的路线是PB，以A为原点构建如图平面直角坐标系．作射线AM，使得∠CAM＝30°，作PE⊥AM于E，BF⊥AM于F． 由已知条件AB＝13千米，BC＝5千米，BC⊥AC，知 AC＝＝12千米． ∵时间t＝+＝（PA+PB）＝（PB+PE）， 根据垂线段最短可知，当B，P，E共线且与BF共线时，时间最小， ∵直线AM的解析式为y＝﹣x，BF⊥AM，B（12，5）， ∴直线BF的解析式为y＝x+5﹣12， 由，解得， ∴F（，）， ∴BF＝＝， ∴时间t＝， 故答案为． 2、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为________. 解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD， ∵∠BAD＝30°，∠DAD′＝60°， ∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′， ∴BD′＝＝6， ∠ABP＝45°，又∠BAP＝15°， ∴∠APE＝∠PAE＝60°， ∴△EAP为等边三角形， ∴PA＝PE， 又∵△APD≌△AED′， ∴PD＝ED′， 根据两点之间线段最短， ∴AP+BP+PD的最小值＝PB+PE+ED′＝6， 故答案为：6． 3、等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为_____________. 解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v， 电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG）， 在Rt△AMG中，GM＝AG， ∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG）， 当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短， 此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝ 所以点G的坐标为（0，﹣）． 故答案为：（0，﹣）． 4、如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为______________. 解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1， 设D坐标为（0，y），则AD＝2﹣y，CD＝＝， ∴设t＝+， 等式变形为：t+y﹣＝，则t的最小值时考虑y的取值即可， ∴t2+（y﹣）t+（y﹣）2＝y2+1， ∴y2+（﹣t）y﹣t2+t+1＝0， △＝（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥0， ∴t的最小值为， ∴y＝， ∴点D的坐标为（0，）， 5、如图，等边△ABC中，AB=4，P是△ABC中的任意一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值为___________________. 解：如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AEF，连接EB，则△AEB、△APF是等边三角形， 此时PA+PB+PC＝PC+PF+EF，所以当E、F、P、C共线时，PA+PB+PC最小，这个最小值就是EC的长． 设EC交AB于点O，∵△AEB，△ABC都是边长为4的等边三角形， ∴EC＝2EO＝2××4＝4． 故答案为4． 6、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，过点B的直线交抛物线与E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是______________s. 解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图， ∵EH∥AB， ∴∠HEB＝∠ABE， ∴tan∠HED＝tan∠EBA＝＝， 设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m， ∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4（s） 若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s）， ∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等， ∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间， 作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG， ∴AD+DH的最小值为AQ的长， 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0）， 直线BE交y轴于C点，如图， 在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝＝， ∴OC＝4，则C（0，4）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，4）代入得，解得， ∴直线BE的解析式为y＝﹣x+4， 解方程组得或，则E点坐标为（﹣，）， ∴AG＝， ∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝＝（s）， 即蚂蚁从A到E的最短时间为s． 故答案为． 7、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（-1，0），B（0，）、 C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。 （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为_____________. 解：（1）由题意解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣， ∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣， ∴顶点坐标（，﹣）． （2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P， 此时PB+PD最小． 理由：∵OA＝1，OB＝， ∴tan∠ABO＝＝， ∴∠ABO＝30°， ∴PH＝PB， ∴PB+PD＝PH+PD＝DH， ∴此时PB+PD最短（垂线段最短）． 在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°， ∴sin60°＝， ∴DH＝， ∴PB+PD的最小值为． 故答案为． 8、如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙0经过点C，且圆的直径AB在线段AE上. （1）试说明CE是⊙0的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长. 解：（1）连接OC，如图1， ∵CA＝CE，∠CAE＝30°， ∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2， 由题可得CH＝h． 在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH， ∴h＝OC•sin60°＝OC， ∴OC＝＝h， ∴AB＝2OC＝h； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3， 则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°． ∵OA＝OF＝OC， ∴△AOF、△COF是等边三角形， ∴AF＝AO＝OC＝FC， ∴四边形AOCF是菱形， ∴根据对称性可得DF＝DO． 过点D作DH⊥OC于H， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°， ∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝DC， ∴CD+OD＝DH+FD． 根据垂线段最短可得： 当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小， 此时FH＝OF•sin∠FOH＝OF＝6， 则OF＝4，AB＝2OF＝8． ∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8． 9、如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AMBC于点M交y轴于点N，满足4CN=50N.已知抛物线经过点A、B、C. （1）求抛物线的函数关系式； （2）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF.一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标. 解：（1）∵C（0，3）， ∴OC＝3， ∵4CN＝5ON， ∴ON＝， ∵∠OAN＝∠NCM， ∴△AON∽△COB， ∴＝，即＝，解得OA＝1， ∴A（﹣1，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得a•1•（﹣4）＝3，解得a＝﹣， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+3； （2）设F（m，﹣x+3），则EF＝＝，CF＝＝x， 点P在整个运动过程中所用时间t＝EF+＝EF+CF≥2，当EF＝CF时，取等号，此时t最小， 即x2﹣x+13＝（•x）2， 整理得2x2﹣17x+26，解得x1＝2，x2＝（舍去）， ∴点P在整个运动过程中所用的最少时间2××2＝3秒，此时点F的坐标为（2，）． 10、如图，抛物线与直线y=x+3交于A、B两点，交x轴与D、C两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）. （1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值； （2）在（1）条件下，设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？（直接写出答案） 解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得 ， 解得：． ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为（4，1）． 如图1． ∵C（3，0），B（4，1），A（0，3）， ∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴tan∠BAC＝＝＝； （2） 点E的坐标为（2，1）． 11、【问题提出】如图1，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？ 【特例分析】若n=2，则时间t=以，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得AD+CD的值最小.如图2，过点C做射线CM，使得∠BCM=30°. （1）过点D作DECM，垂足为E，试说明：DE=CD； （2）请在图2中画出所用时间最短的登陆点D，并说明理由. 【问题解决】 （3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图1中的问题（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）. 【模型运用】 （4）如图3，海面上一标志A到海岸BC的距离AB=300m，BC=300m.救生员在C点处发现标志A处有人求救，立刻前去营救，若救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生员从C点出发到达A处的最短时间. 解：（1）如图①， ∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°， ∴在Rt△BCM中，DE＝CD•sin30°， ∴DE＝． （2）如图①过点A作AE⊥CM交CB于点D'，则D'点即为所用时间最短的登陆点． 理由如下：由第（1）问可知，D'E'＝． AD'+最短，即为AD'+D'E′最短． 由直线外一点与这条直线上点的所有连线段中，垂线段最短． 可知此时D'点即为所求． （3）如图②， 过点C做射线CM，使得sin∠BCM＝， 过点A作AE⊥CM，垂足为E，交CB于点D，则D即为所用时间最短的登陆点． （4）∵救生员在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s， ∴此时sin∠BCM＝，可得sin∠DAB＝， ∴在Rt△ADB中，AB＝300， AD＝225，DB＝75，CD＝300﹣75． ∴时间为 +＝（50+100）s． 学科网（北京）股份有限公司 $$