专题3 最值问题-【中考宝典】2024年中考数学(广东专用版)

新课标中考宝典·数学（广东专用版） 专题三 最值问题 一、将军饮马类求最值 1.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直 角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点，在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折，使 点A落在BC边上的点F处， (1)直接写出点E,F的坐标： 个 (2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E,F,P为顶点的三角形 是等腰三角形，求该抛物线的解析式： (3)在x轴，y轴上是否分别存在点M,N,使得四边形MNFE的周长最小？如 果存在，求出周长的最小值：如果不存在，请说明理由， ●308《● 第三部分广东中考专题训练 二、函数类求最值 2.(2023·香洲区一模如图，抛物线y=a.x十b.x十c与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与 y轴交于点C(0,3),其顶点D的坐标为（一1,4）. (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得|PA一PC的值最大，若存在，请直接写出点P的坐 标：若不存在，请说明理由 (3)作直线BC,M为BC上一点，连接AM,当△BOC∽△BMA时，求点M的坐标. ●309《● 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 三、构造辅助圆求最值 3.如图，等边△ABC中，AB=3,点D,点E分别是边BC,CA上的动点，且BD CE,连接AD,BE交于点F,当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的 长度为 B 4.(2020·泉州二模)如图，抛物线y=ax2一2a.x十c与x轴分别交于点A,点B(点B在点A的右 侧>，与y轴交于点C,连接BC,点（合-是a-3)在抛物线上. (1)求c的值； (2)已知点D与点C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E,若BD=DE, ①求抛物线所对应的函数表达式： ②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心，以、5的长为半径作⊙C,点T 为oC上的一个动点，求5TB+TF的最小值。 ●310《e 第三部分广东中考专题训练 四、胡不归（拓展） 5.(2021·罗湖区校级模拟)如图，□ABCD中，∠DAB=60°，AB=6, BC=2.P为边CD上的一动点，则PB+号PD的最小值等于( A.3 B.3 C.3v3 D.2+23 6.(2021·罗湖区校级模拟)如图，抛物线y=.x2+bx十c与x轴交于A,B两点，且点B的坐标为(2,0)， 与y轴交于C点，抛物线的对称轴为直线x=一1，点D为抛物线的顶点，连接AD,AC,∠DAO=45. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是抛物线上第三象限内的一个动点，当点P位于对称轴左侧时，过点P作x轴的垂线分别 交AD,AC于点E,F,过点P作AD的垂线交AD于点H,求EF+√2PH的最大值及此时点P 的坐标： (3)在(2)的情况下，连接OD,将抛物线沿直线OD平移，点D平移后的对应点为D',过点P作x 轴的垂线与平移后的抛物线交于点Q.在平移过程中，是否存在这样的点D',使得由点P,Q,D 构成的三角形为直角三角形？若存在，直接写出D点的坐标：若不存在，请说明理由. 图2 ●311《● 新课标中考宝典·数学（广东专用版） 五、瓜豆原理（拓展） 7.如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=6,⊙O与AB相切，分别交OA,OB于N,M,以PB 为直角边作等腰Rt△BPQ,点P在弧MN上由点M运动到点N,则点Q运动的路径长为() C.3π M 第7题图 第8题图 8.如图，已知线段AB=8,O为AB的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持OP=2不变，连 接BP,将PB绕点P逆时针旋转90°到PC,连接BC,AC,则线段AC长的最大值是 9.如图，正方形ABCD和正方形CEFG(其中BD>2CE),BG的延长线与直线DE交于点H. (I)如图1，当点G在CD上时，求证：BG=DE,BG⊥DE: (2)将正方形CEFG绕点C旋转一周. ①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH一DH √2CH: 图 ②当∠DEC=45时，若AB=3,CE=1,请直接写出线段DH的长. ●312《●数学参考答案 二、1.C2.C C(0,3),.4×1+4=3,a=-1, 3.解：(1)抛物线的对称轴r=3,AB=4, ,.抛物线的解析式为5y=一(r十1)2十4 A(1,0).B(5,0), =-2-2x+3: 将A(1,0)代人直线y=kr一1，得k一1 (2)如答图1，在抛物线的对称轴上存在 =0, 一点P,使得PA一PC的值最大，理由： 解得k=1, 令y=0,则-x2-2x+3=0,解得r=1 直线AD的解析式为y=r-1: 或一3.点A在点B的左侧， 将A(1,0),B(5,0)代入y=a2+bx+ ∴A(-3,0),B(1,0), 5,得 答图1 ∴.0A=3,0B=1.C(0,3),.0C=3, 1a+b+5=0, 125a+5h+5=0. 解得/口=1， ∴P(0,4)..4=a(0-1)+2,解得2 :点P在抛物线的对称轴上· b=-6, =2. PA=PB...IPA-PCI=IPB-PCI. ∴.抛物线的解析式为y=一6r十5： ,抛物线的解析式为y=2(x一1)十2， |PB-PC1≤BC. (2)存在点M ②如答图2，当EP=FP时，EP=FP, ,当P,B,C三点在-条直线上时，PA 点M的坐标为(4，一3)或(0,5)或(5， 一PC的值最大为BC的长， 0): 设直线BC的解析式为y=kx十n,由题 (3)如答图，在AB上取点F,使BF=1,连 按CF, 意得中0”解得大3 n=3, n=3. .直线BC的解析式为y=一3x+3. .抛物线的对称轴为直线x=一1， 答困2 .当r=一1时，y=-3×(-1)+3=6, ∴.(2一)十1=(1一n)十9，解得n= .P(-1,6), ,在抛物线的对称轴上存在一点P,使 多（合去 得|PA一PC的值最大，此时点P的坐 ③当EF=EP时，EP=5<3,这种情况 标为（一1.6）： 不存在 综上所述，符合条件的抛物线解析式是y 答图 =2(x-1)+2: (3)存在点M.N,使得四边形MNFE的 周长最小，如答图3，作点E关于x轴的 嚣隱 对称点E,作点F关于y轴的对称点 又：∠PBF=∠ABP, F:连接EF',分别与x轴，y轴交于点 答围1 答图2 ∴△PBF△ABP M,N,则点M,N就是所求点， (3)设AM交(OC于点V,如答图2. 既-器-即PF=PA △BOC∽△BMA. ∴.∠OCB=∠MAB. PC+PA-PC+PF>CF. :∠BOC=∠NOA=90, ∴.△OBC△ONA, “当点C.P,F三点共线时，PC+号PA g0-8器号%0N=1 的值最小，即为线段CF的长， .N(0.1),设直线AN的解析式为y= ,0C=5,0F=0B-1=5-1=4. 答图3 mr+d. .CF=√OC+OF=+=T, .E(3,-1),F(-1,2),NF=NF, 1-3m+d=0, :PC+子PA的最小值为V压. ME=ME', 解得 m3 .BF=4.BE=3...FN+NM+ME 1d=1, d1, 专题三最值问题 1,解：(1)E(3.1),F(1,2): F'N+NM+ME'=E'F'=V3+=5. 六直线AN的解析式为y=3+1 (2)在R1△EBF中，∠EBF=90'. 又：EF=5,.FN+MN+ME+EF= r= 3 ∴.EF=√EB+BF=√+2=√5. 5十5，此时四边形MNFE的周长最小 y1·解得 设点P的坐标为(0，n),其中>0， 值是5+5. y=-3x+3, y= :顶点F(1,2),∴设地物线解析式为y 2.解：(1D:抛物线y=ar十br十c的顶点 =a(r-1)2十2(a≠0)， 为（一1,4），.抛物线的解析式为y一a M(g号) ①如答图1，当EF=PF时，EF=PF, (x+1)+4. ∴.1十(-2)”=5.解得m=0(舍去)，m '抛物线y=a.r十ar十c与y轴交于点 3.2③ 3 27 新课标中考宝典·数学（广东专用版】 4解：)”点（受一是。一3）在抛物线 线时，号TB+TF的值最小，最小值为线 .∠BHE=90°，.BG⊥DE (2)①证明：如答图中，在线段G上截取 上- a-3=·() -2a× 段GF的长， BK=DH,连接CK, 在R1△GBF中，GB=4,BF=5,由勾股 由(1)可知，A 专+c=-3 定理得，GF=√+5=√④T ∠CBK (2)①如答图1，由题意得，C(0,一3)， 5.C ∠CDH,:BK= 6.解：(1)：点B的坐标为(2,0)，抛物线的 DH.BC-DC.. 对称轴为直线x=一1，.A(一4,0)又 △BCK≌△DCH 答图 :∠DAO=5,点D为抛物线的顶点， (SAS). .D(-1,-3), .CK=CH,∠BCK=∠DCH, 设抛物线的解析式为ya(r十1)一3，将 ∴.∠KCH=∠BCD=90,.△KCH是 B(2,0)代人，得0=u(2十1)产一3，解得d 等楼直角三角形，，，HK=√2CH =+1-3=号r+号 ..BH-DH-BH-BK-KH-/2CH: 答图1 :点D与点C关于原点O对称， 8 @DH的长为+发 2 3 ∴D(0,3), 1 专题四实际应用题 “抛物线的解析式为y= 2+ 2 :BD=DE,.点D为BE的中点，设点 一，类型1 B(m.0),则点E(一m.6), 1.解：(1)设冰墩嫩进价为x元个，雪容照 将点B(m,0),点E(一m,6)代人抛物线 进价为y元个， am-2am-3=0, (2)y= +号r号当x=0 1 8 y=u.r2-2u.r十c,得 得+y=136, 15.x十5y=1400 解得/=72 am+2am-3=6, y=64. am=受n=4,解得a=各 时y=-号C(0,-): 8 答：冰墩墩进价为72元/个，雪容融进价 又：A(一4,0)，∴直线AC的解析式为y 为64元/个 六抛物线所对应的函数表达式为y=骨 = 2 (2)设冰墩墩进货a个，雪容融进货(40 33 一a)个，利润为e元， 2-4-3: 则=28a+20(40-4)=8a+800, ②如答图2，抛物线的对称轴交？轴于点 :a>0,所以地随4的增大而增大，又因 m<-1.则F(m,-号m-号)小 为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量 Q,则BQ-2AB=3.BQ=0C, 的1.5倍， 得a≤1.5(40-c),解得a≤24， :PF⊥x轴，PHLAD,∠OAD=∠AEF ∴.当a=24时，e最大，此时40一a=16, =∠PEH=∠EPH=45,∴.PE=2PH, e=8×24+800=992(元). 答：冰嫩墩进货24个，雪容胞进货16个 aF+PH=PF=青时-言m= 时，获得最大利涧，最大利涧为992元. m+2+骨 2.解：(1D设A种纪念品单价为a元，B种 纪念品单价为b元，根据题意 答图2 -号<0-4m<-1当m=-2 10a+5b=1000. 得 :∠FBQ+∠OBC=∠OBC+∠OCB 54+3h=550. 90°，∴.∠CB=∠FBQ, 时，EF+②PH有最大值，最大值为号， 又：∠FQB=∠COB=90°，∴.△FQB≌ 常稀仁。 △BO(ASA),.BF=BC, 此时P(-2,-号)） 答：购进A,B两种纪念品的单价分别为 在Rt△BOC中，OB=4,OC=3..BF (3)点 D的坐 标 为 50元.100元： (8-号)减（日合） (2)设该商店购进A种纪念品x个，购进 BC=√OB+0=√/4+3=5， B种纪念品y个，根据题意，得50x+ 在CB上戴取CG=1.则GB=5-1=4. 7.D8.62 100y=10000, Cc=1=5CT=5,C℃CT 7店=写C写C70 9.(1)证明：如题图1中，在正方形ABCD 1 和正方形CEFG中，BC=CD,CG=CE, 变形得y=100-豆，由题意得 又∠GCT-∠TCB.∴.△GCTn△TCB. ∠B0G=∠DCE=90, r≥6(100- ÷晋哥%即心B, ∴.△BCG≌△DCE(SAS) 由①得x≥150， .BG=DE,∠CBG=∠CDE. 100-≥20… TB+TF-TG+TF. :∠CDE+∠DEC-90, 由②得x≤160， :F(1,4)为定点，∴当点F,T,G三点共 ∴.∠HBE+∠BEH=90”, .150≤r≤160， 28