第7章 巧用旋转解题讲义2024年九年级中考数学复习

第七章 巧用旋转解题 在上一章“正方形与45°”中，我们在证明中用到了“旋转”这个方法那么不禁要问，在遇到什么条件时，我们会用旋转来解题呢？ 例题讲解 一、当条件中出现“邻边相等＋对角互补＋半角” 例题1、如图，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连结EF，试猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的结论. 【解析】如图，延长CB到Q，使BQ＝DF，连接AQ， ∵△ABC与△ADC关于AC对称， ∴△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D. ∵∠ABC＝90°，∴∠ABQ＝∠D＝90°. 易证△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ＝AF，∠QAB＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF＋∠BAE＝∠EAF，∴∠BAQ＋∠BAE＝∠EAF， 即∠EAQ＝∠EAF， 易证△EAQ≌△EAF（SAS）， ∴EF＝EQ＝BE＋BQ＝BE＋DF. 二、当条件中出现“邻边相等＋半角” 例题2、如图，等边△ABC中，点P，Q在边BC上，且∠PAQ＝30°.若BP＝2，QC＝3，则△ABC的边长为 . 【解析】将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到△ACP＇，连接QP＇， 易证△AQP≌△AQP＇， ∴∠P＇CD＝60°， 过P＇D作P＇D⊥BC，交BC延长线于点D， 在Rt△P＇CD中，可得CD＝1，P＇D＝， 在Rt△P＇QD中，可计算出QP＇＝， ∴PQ＝，∴边长为5＋. 三、当条件中出现“邻边相等＋对角互补” 例题3、如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 . 【解析】由点C为弧BD中点，可得BC＝CD，∠BAC＝∠CAD，即出现“邻边相等”，所以将△ABC绕点C旋转至BC与CD重合，如图可得△ACE为等腰三角形，顶角∠ACE＝∠BCD＝120°，底边长AE＝AD＋DE＝AD＋AB＝3＋5＝8，所以在底角为30°的等腰△ACE中即可求出AC＝. 四、仅有“邻边相等” 例题4、如图，在等边△ABC中有一点P，PA＝2，PB＝4，PC＝2. （1）求∠APB的度数； （2）求△ABP的面积； （3）求△APC的面积； （4）求△ABC的面积. 【解析】 （1）如图，△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°； 将△ABP绕点A逆时针旋转60°，到△ACQ的位置，连接PQ； 则AQ＝AP＝2，CQ＝BP＝4； ∵∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQ＝PA＝2，∠AQP＝60°； 在△PQC中，满足PC2＝PQ2＋CQ2， ∴∠PQC＝90°，∠AQC＝150°， ∴∠APB＝∠AQC＝150°， 故答案为150. （2）由（1）可知∠APB＝150°，如图，延长BP，过点A作AD⊥BD，交BP延长线于点D. ∴∠APD＝30°，AD＝AP＝， ∵S△APB＝BPAD＝×4×＝2. （3）可知S△ABP＋S△APC＝S四边形APCQ. ∵S四边形APCQ＝S△APQ＋S△PQC， ∴S△ABP＋S△APC＝S△APQ＋S△PQC， ∴2＋S△APC＝（2）2＋×4×2＝7. ∴S△APC＝5， （4）在Rt△ABD中，AD＝，BD＝4＋3＝7， ∴AB＝＝2. 由等边三角形面积公式可得S△ABC＝×（2）2＝13. 巩固练习 1、如图△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交AB、AC边于M、N，连接MN，则△AMN的周长为 . 解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120° ∴∠BCD＝∠DBC＝30° ∵△ABC是边长为3的等边三角形 ∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60° ∴∠DBA＝∠DCA＝90° 延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC ∴△BDF≌△CDN， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN ∵∠MDN＝60° ∴∠BDM＋∠CDN＝60° ∴∠BDM＋∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边 ∴△DMN≌△DMF， ∴MN＝MF ∴△AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6． 2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E.若AE＝18，BC＝10，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 . 如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC， 则∠ADF＋∠ADC＝180°， ∵∠ABC＋∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADF， 易证△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AF＝AE＝19， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝BC•AE＋CD•AF＝×10×19＋×6×19＝95＋57＝152. 故答案为：152． 3、已知点P为等边△ABC内一点，∠APB＝112°，∠APC＝122°，若以AP、BP、CP为边长可以构成一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是 . 解：如图，将△APC绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接PE． ∵AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°， ∴△EAP是等边三角形，∠EAB＝∠PAC， ∴∠AEP＝∠APE＝60°，PA＝PE， 易证△EAP≌△PAC， ∴EB＝PC， ∴PA、PB、PC组成的三角形就是△PEB， ∵∠APB＝112°，∠APE＝60°， ∴∠EPB＝52， ∵∠AEB＝∠APC＝122°，∠AEP＝62°， ∴∠PEB＝66°， ∴∠EBP＝180°－∠BEP－∠EPB＝66°． 故答案为52°、62°、66°． 4、如图，P为正方形ABCD内一点，且PC＝3，∠APB＝135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP＇B，连接PP＇.若BP的长为整数，则AP＝ . 解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到， ∴∠APB＝∠CP'B＝135°，∠ABP＝∠CBP'，BP＝BP'，AP＝CP'， ∵∠ABP＋∠PBC＝90°， ∴∠CBP'＋∠PBC＝90°，即∠PBP'＝90°， ∴△BPP'是等腰直角三角形， ∴∠BP'P＝45°， ∵∠APB＝∠CP'B＝135°， ∴∠PP'C＝90°， 设BP＝BP'＝a，AP＝CP'＝b， 则PP'＝a， 在Rt△PP'C中，∵PP'2＋P'C2＝PC2，且PC＝3， ∴CP′＝＝， ∵BP的长a为整数， ∴满足上式的a为1或2， 当a＝1时，AP＝CP＇＝， 当a＝2时，AP＝CP＇＝1， 故答案为：或1. 5、如图，E是正方形ABCD内一点，E到点A、D、B的距离EA、ED、EB分别为1、3、2，延长AE交CD于点F，则四边形BCFE的面积为 . 解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，作DN⊥AF垂足为N， ∵AM＝AE＝1，∠MAE＝90°， ∴ME＝＝＝， ∵BM2＋ME2＝（3）2＋（）2＝20，BE2＝（2）2＝20， ∴BM2＋ME2＝BE2， ∴∠BME＝90°，∵∠AME＝∠AEM＝45°， ∴AMB＝∠AED＝135° 在RT△DEN中，∵DE＝3，∠DEN＝45°， ∴DN＝EN＝3，AN＝4， ∴AD＝＝＝5， ∵∠DAN＝∠DAF，∠AND＝∠ADF＝90°， ∴△ADN∽△AFD， ∴＝， ∴＝， ∴AF＝，NF＝， ∵S△ABE＋S△ADE＝S△ABM＋S△ABE＝S△AME＋S△BME＝×1×1＋××3＝， S△EDF＝×（3＋）×3＝， ∴S四边形BCFE＝S正方形ABCD－（S△ABE＋S△AED）－S△EFD＝25－－＝. 故答案为. 6、如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值.其中正确的结论是 . 解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD， ∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形， ∴∠A＝∠BDF＝60°， 又∵AE＝DF，AD＝BD， ∴△AED≌△DFB，故本选项正确； ②∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°＝∠BCD， 即∠BGD＋∠BCD＝180°， ∴点B、C、D、G四点共圆， ∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°， ∴∠BGC＝∠DGC＝60°， 过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1）， 则△CBM≌△CDN（AAS）， ∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN S四边形CMGN＝2S△CMG， ∵∠CGM＝60°， ∴GM＝CG，CM＝CG， ∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2，故本选项错误； ③过点F作FP∥AE交DE于P点（如图2）， ∵AF＝2FD， ∴FP：AE＝DF：DA＝1：3， ∵AE＝DF，AB＝AD， ∴BE＝2AE， ∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6， ∵FP∥AE， ∴PF∥BE， ∴FG：BG＝FP：BE＝1：6， 即BG＝6GF，故本选项正确， ④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3）， 由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形， ∵点E， F分别是AB，AD中点， ∴∠BDE＝∠DBG＝30°， ∴DG＝BG， 易证△GDC≌△BGC， ∴∠DCG＝∠BCG， ∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误； ⑤∵∠BGE＝∠BDG＋∠DBF＝∠BDG＋∠GDF＝60°，为定值， 故本选项正确； 综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个， 故选：B． 7、五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°，求证：AD平分∠CDE. 证明：如图，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF， ∵AB＝AE，∠BAE＝120°， ∴AB与AE重合，并且AC＝AF， 又∵∠ABC＋∠AED＝180°， 而∠ABC＝∠AEF， ∵∠AEF＋∠AED＝180°， ∴D，E，F在一条直线上， 而BC＝EF，BC＋DE＝CD， ∴CD＝DF， 又∵AC＝AF， ∴△ACD≌△AFD， ∴∠ADC＝∠ADF， 即AD平分∠CDE． 8.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC和BC，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求证：AC＋BC＝CD. 证明：过点D作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB． ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴DF＝DG，＝， ∴DA＝DB. ∵∠AFD＝∠BGD＝90°， 易证Rt△AFD≌Rt△BGD（HL）， ∴AF＝BG， 同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL）， ∴CF＝CG。 ∴AC＋BC＝CF－AF＋AG＋BG＝CF＋CG＝2CF， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝45°， ∵△CDF是等腰直角三角形， ∴CF＝CD， ∴AC＋BC＝2CF＝CD； 9、正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点. （1）如图1，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，DF＝BE.求证：△ADF≌△ABE； （2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE－BE＝AE. 请你说明理由； （3）如图2，若点E在弧AD上.写出线段DE、BE、AE之间的等量关系.（不必证明）. 答案：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD， ∵∠1和∠2都对， ∴∠1＝∠2， 易证△ADF≌△ABE（SAS）； （2）由（1）有△ADF≌△ABE， ∴AF＝AE，∠3＝∠4. 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°. ∴∠BAF＋∠3＝90°. ∴∠BAF＋∠4＝90°. ∴∠EAF＝90°. ∴△EAF是等腰直角三角形. ∴EF2＝AE2＋AF2. ∴EF2＝2AE2. ∴EF＝AE. 即DE－DF＝AE. ∴DE－BE＝AE. （3）BE－DE＝AE．理由如下： 在BE上取点F，使BF＝DE，连接AF. 易证△ADE≌△ABF， ∴AF＝AE，∠DAE＝∠BAF. 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°. ∴∠BAF＋∠DAF＝90°. ∴∠DAE＋∠DAF＝90°. ∴∠EAF＝90°. ∴△EAF是等腰直角三角形． ∴EF2＝AE2＋AF2. ∴EF2＝2AE2. ∴EF＝AE. 即BE－BF＝AE. ∴BE－DE＝AE. 10、问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离. 答案： 问题背景：EF=BE+FD. 探索眼神：成立，提示，在CD的延长线上截取DG=BE，如图， 先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论. 实际应用：连接EF，延长AE、BF交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB， ∵OA=OB， ∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF=AE+BF成立， 即EF=1.5×（60+80）=210海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 11、如图，己知直线l1∥l2，一个45°角的顶点A在l1上，过A作AD⊥l2，垂足为D，AD＝6.将这个角绕顶点A旋转（角的两边足够长）. （1）如下图，旋转过程中，若角的两边与l2分别交于B、C，且AB＝AC，求BD的长.为了解决这个问题，下面提供一种解题思路：如图，作∠DAP＝45°，AP与l2相交于点P，过点C作CQ⊥AP于点Q.∠DAP＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠CAQ，请你接下去完成解答. （2）旋转过程中，若角的两边与l2，分别交于E、F（E在F左面），且AE＞AF，DF＝2，求DE的长.请你借鉴（1）的做法在备用图中画图并解答这个问题. 解：（1）∵AD⊥l2，CQ⊥AP， ∴∠ADB＝∠AQC＝90°， 又∵AB＝AC， 易证△ABD≌△ACQ（AAS）， ∴BD＝CQ，AQ＝AD＝6， ∵∠DAP＝∠BAC＝45°， ∴△ADP、△CQP是等腰直角三角形， ∴AP＝6， ∴QP＝6−6， ∴BD＝CQ＝QP＝6−6. （2）①如图1： 作∠DAP＝45°，AP与l2相交于点P，过点F作FQ⊥AP于点Q. ∵∠DAP＝∠EAF＝45°， ∴∠EAD＝∠FAQ， ∵AD⊥l2，FQ⊥AP， ∴∠ADE＝∠AQF＝90°， ∴△AED∽△AFQ， ∴＝ ∴△ADP、△FQP是等腰直角三角形， ∴DP＝AD＝6，AP＝6， ∵DF＝2， ∴FP＝DP－DF＝4， ∴FQ＝QP＝2， ∴AQ＝6−2＝4， ∴＝， ∴DE＝3. ②如图2： 作∠DAP＝45°，AP与l2相交于点P，过点F作FQ⊥AP于点Q． ∵∠DAP＝∠EAF＝45°， ∴∠EAD＝∠FAQ， ∵AD⊥l2，FQ⊥AP， ∴∠ADE＝∠AQF＝90° ∴△AED∽△AFQ， ∴＝. ∴△ADP、△FQP是等腰直角三角形， ∴DP＝AD＝6，AP＝6， ∵DF＝2， ∴FP＝DP＋DF＝8， ∴FQ＝QP＝4， ∴AQ＝6−4＝2， ∴＝， ∴DE＝12． 学科网（北京）股份有限公司 $$