2024年中考数学七步直通中考复习讲义第一步期中准备篇第1节二次函数(学生版+教师版)

2024年中考数学七步直通中考复习讲义(学生版) 第一步 期中准备篇 第1节 二次函数 一、方法技巧 （一） 考点一：二次函数的基础知识 ．二次函数的图象与系数的关系 的符号决定抛物线的开口方向： 当时，抛物线开口向上； 当时，抛物线开口向下． 决定抛物线的开口大小： 越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大． 和共同决定抛物线对称轴的位置(抛物线的对称轴：)： 当时，抛物线的对称轴为轴； 当，同号时，对称轴在轴的左侧； 当，异号时，对称轴在轴的右侧． 简要概括为“左同右异” 的大小决定抛物线与轴交点的位置(抛物线与轴的交点坐标为)： 当时，抛物线与轴的交点为原点； 当时，交点在轴的正半轴； 当时，交点在轴的负半轴． ．根据二次函数的图象判断代数式符号 决定了函数图象与轴的交点情况： 当，有两个交点； 当，有一个交点； 当，没有交点． 当时，可以得到的值； 当时，可以得到的值． ．二次函数的图象性质和性质 抛物线是以直线为对称轴的轴对称图形，可得到如下性质： 抛物线上关于对称轴对称的两点的纵坐标相等；抛物线上纵坐标相同的两点是对称点． 如果抛物线交轴于两点，那么这两点是对称点． 若设抛物线上对称两点的横坐标分别为，，则抛物线的对称轴为． 若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是，且其对称轴是，则另一个交点的坐标可以用表示出来． ．二次函数与区间最值问题 对于二次函数(表示的最大值，表示的最小值)： 若自变量的取值范围为全体实数，如图(甲)，函数在顶点处时，取到最小值． 若，如图(乙)，当，；当，． 若，如图(丙)，当，；当，． 若，且，，如图(丁)，当，；当，． 【注意】遇到二次函数求最值问题，要考虑分类讨论．  （二） 考点二：二次函数解析式的确定与应用 待定系数法 一般式：． 如果已知二次函数的图象上的三点坐标(或称函数的三对对应值)、、，那么方程组 （三） 考点三：二次函数的几何变换 ．平移变换 具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点坐标，然后作出二次函数的图象，将抛物线平移，使其顶点平移到．具体平移 方法为： 平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减” ．对称变换 关于轴对称：关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是． 关于轴对称：关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，在变换过程中，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变． ．旋转变换 在二次函数的旋转变换中，将抛物线绕顶点旋转，之后抛物线的开口大小不变，方向改变，但是顶点坐标不改变，这也是解题的关键． 关于原点旋转： 关于原点旋转后，得到的解析式是； 关于原点旋转后，得到的解析式是． 关于顶点旋转： 关于顶点旋转后，得到的解析式是； 关于顶点旋转后，得到的解析式是． 关于点旋转： 关于点旋转后得到的解析式是．  二、能力提升 （一） 考点一：二次函数的基础知识 1 .(单选)若函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围是（  ）． A. B. C. D. 2 .(单选)已知二次函数的图象开口向下，且经过点，则的值为（  ）． A.或 B. C. D.或 3 .(单选)在同一平面直角坐标系中画出，，的图象，正确的是（  ）． A. B. C. D. 4 .(单选)若二次函数的图象的顶点在轴下方，则的取值范围是（  ）． A. B. C. D. 5 .(单选)如图，从的图象上可看出，当时，函数的取值范围是（  ）． A. B. C. D. 6 .(单选)已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（  ）． A. B. C. D. 7 .(单选)关于二次函数的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（  ）． ①当时，函数的图象经过原点；②当时，函数的图象关于轴对称；③函数的图象最高点的纵坐标是；④当且函数的图象开口向下时，方程必有两个不相等的实数根． A.个 B.个 C.个 D.个 8 .(单选)如图，已知直线经过点，，点在抛物线的图象上，则使得的点有(    )个． A. B. C. D. 9 .若，则函数的取值范围为           ． 10 .已知二次函数． ( 1 )用配方法将化成的形式． ( 2 )在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象． ( 3 )当取何值时，随增大而减少？ ( 4 )当时，观察图象，写出函数值的取值范围． （二） 考点二：二次函数解析式的确定与应用 1 .(单选)若二次函数的与的部分对应值如下表： 则当时，的值为（  ）． A. B. C. D. 2 .(单选)抛物线与轴的两个交点为，，其形状及开口方向与抛物线相同，