第6章 几何模型之正方形与45°讲义2024年九年级中考数学复习

第六章 几何模型之正方形与45° 模型讲解 常用结论 ①BM＋DN＝MN； ②AM平分∠BMN，AN平分∠DNM； ③△CMN的周长为定值＝2AB； 常用证明方法：将△ADN绕点A逆时针旋转90°， 得到△ABN＇，证明△AMN≌△AMN＇． 常用结论：BP2＋QC2＝PQ2； 常用证明方法：将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△ACP＇，证明△AQP≌△AQP＇. 例题讲解 例题1、如图，在边长为3的正方形ABCD中，DF＝1，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则EF的长为 . 【解析】由结论EF＝DF＋BE，可设EF＝x，∴BE＝x－1，CE＝4－x，CF＝2， 在Rt△CEF中，22＋（4－x）2＝x²，解得x＝. 例题2、如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝3，CN＝4，则MN的长为 . 【解析】 根据模型，有MN2＝BM2＋NC2，所以MN＝＝5. 例题3、已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝3，求△ABC的面积. 【解析】 如图，将△ABD沿着AB翻折至△ABE，将△ACD翻折至△ACE，延长EB、FC交于点M. ∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，∠E＝∠F＝90°， ∴四边形AEMF为矩形，又∵AE＝AF＝AD，所以四边形AEMF为正方形， 设正方形AEMF的边长是x， ∴BM＝x－2，CM＝x－3， 在Rt△BMC中，BC2＝CM2＋BM2，即52＝（x－3）2＋（x－2）2，解得x＝6或x＝－1（含去）， ∴AE＝AD＝6，∴S△ABC＝BCAD＝×5×6＝15. 巩固练习 1、在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点。现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为 . 【分析】如图，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点， 则∠AOE＝45°－∠AOM，∠CON＝45°－∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME＝∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．易知，MN＝AM＋CN，可以推出△BMN的周长为BA＋BC是定值，为4. 2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（－6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为 . 解：设线段BA的中点为E， ∵点A（4，0）、B（－6，0），∴AB＝10，E（－1，0）. （1）如图，过点E在第二象限作EP⊥BA， 且EP＝AB＝5，则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5； 以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C， ∵∠BCA为⊙P的圆周角， ∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求. 过点P作PF⊥y轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝1， 在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，由勾股定理得：CF＝＝7， ∴OC＝OF＋CF＝5＋7＝12， ∴点C坐标为（0，12）； （2）如答，在第3象限可以参照（1）作同样操作， 同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，－12）． 综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，－12）． 故答案为：（0，12）或（0，－12）． 3、如图，直线l与y轴、x轴分别交于点A（0，－2）和点B（－6，0）. （1）求直线l的解析式； （2）点D是直线l上的一个动点，C点的坐标是（1，0），以CD为边在一侧作正方形CDEF（如图所示），当正方形的一个顶点恰好落在y轴上时（D点除外），求出对应的D点的坐标； （3）若点M、点N分别为边EF和FC上的两个点，并且∠MDN＝45°，问：在点D运动的过程中，△FMN的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由. 解：（1）设直线l解析式为y＝kx＋b， ∵A，B两点在直线l上， ∴b＝－2，k＝－， ∴直线l解析式为y＝－x－2； （2）正方形顶点F落于y轴上，且C点横坐标为1， ∴D点纵坐标为1， 将y＝1，代入y＝－x－2中，得x＝－. ∴D点坐标为（－，1）； 当点E在y轴上时，同法可得D（－，－）； （3）将△DCN向左旋转90°得到△DEQ， ∵CD＝DE，∴Q，E，F三点一线， ∵DMN＝45°，∴∠QDM＝∠EDM＋∠CDN＝45°， 易证△DMQ≌△DMN（SAS）， ∴MN＝QM＝EM＋CN， ∴C△FMN＝FM＋FN＋MN＝2CD， ∴在点D运动的过程中，△FMN的周长存在最小值. 即让CD最短即可，C点到直线l最短距离为垂线段长度，即CD⊥l即可， ∴直线CD的斜率， 设直线CD解析式为y＝x＋b， ∵直线CD经过C点，代入C点坐标得b＝－， 直线CD解析式为y＝x－， 直线CD与l的交点为（－，－）， 故点D坐标为（－，－）时，△FMN周长有最小值为4. 课后拓展 在正方形ABCD中，AD＝a，点M、N分别在BC、CD边上，且∠MAN＝45°. 结论 ①BM＋DN＝MN； ②AM平分∠BMN，AN平分∠DNM； ③△CMN的周长为定值＝2a； ④S△ABM＋S△ADN＝S△AMN； ⑤的最小值为2－2； ⑥S△AMN最小值为（－1）a2； ⑦S△CMN的最大值为（3－2）a2. 结论 ①BP2＋QD2＝PQ2； ②△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ； ③BQDP＝ABAD＝a2（定值）； ④△APQ∽△ANM（相似比为1：）； ⑤S△AMN＝2S△APQ； ⑥P、M、N、Q四点共圆. 结论 ①△ANC∽△APB（相似比为1：）； ②△AMC∽△AQD（相似比为1：）； ③CMCN＝2BMDN. 结论 ①MQ⊥AN，NP⊥AM； ②△APN与△AQM均为等腰直角三角形； ③A、B、M、Q四点共圆； ④A、P、N、D四点共圆； 学科网（北京）股份有限公司 $$