1.4两条直线的交点学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

两条直线的交点 [学习目标]　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 一、判断直线的交点及由交点求参数 问题　点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？ 知识梳理 设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 方程组的解 一组 无数组 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 例1　(1)(多选)下列选项中，正确的有(　　) A．直线l1：x－y＋2＝0和l2：2x＋y－5＝0的交点坐标为(1,3) B．直线l1：x－2y＋4＝0和l2：2x－4y＋8＝0的交点坐标为(2,1) C．直线l1：2x＋y＋2＝0和l2：y＝－2x＋3的交点坐标为(－2,2) D．直线l1：x－2y＋1＝0，l2：y＝x，l3：2x＋y－3＝0两两相交 (2)直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k的值为(　　) A．－24 B．24 C．6 D．±6 延伸探究　若将本例(1)中选项D改为“三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一点”，求m的值． 反思感悟　判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． (1)解方程组的重要思想就是消元，操作方法有加减消元和代入消元两种． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 跟踪训练1　(1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点为(　　) A. B. C. D. (2)若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－ B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 二、过两直线交点的直线系方程 知识梳理 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 例2　求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 延伸探究 本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)． 跟踪训练2　求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 1．知识清单： (1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)直线系过定点问题． 2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊． 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9,10) C．(9,10) D．(9，－10) 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3,1) D．(－2,1) 3．若关于x的二元一次方程组有无穷多组解，则m＝________. 4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝________. §1.4　两条直线的交点 问题　在，点A是直线l1与l2的交点． 知识梳理 无解 例1　(1)AD　[方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1,3)，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合，B错误； 方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误； 方程组的解为方程组的解为方程组的解也为所以三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D正确．] (2)A　[联立解得因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，所以y＝＝0，解得k＝－24.] 延伸探究 解　解方程组得所以这两条直线的交点坐标为. 由题意知点在直线mx＋2y＋7＝0上， 将代入，得4m＋2×＋7＝0， 解得m＝－. 跟踪训练1　(1)B　[由得 所以交点为. ](2)C　[方法一　由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2. 方法二　由直线l1，l2有交点，得k≠－2. 由得 又交点在第一象限内，所以解得－＜k＜2.] 例2　解　方法一　解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 方法二　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有得λ＝. 代入(*)式，得x＋y＋＝0， 即15x＋5y＋16＝0. 延伸探究 解　设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 跟踪训练2　解　由方程组解得 即l1与l2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1. 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 随堂演练 1．B　[解方程组得 故两条直线的交点坐标为(－9,10)．] 2．C　[直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令解得 ∴直线l恒过定点(－3,1)．] 3．－2 解析　二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由4×1＝m·m，解得m＝2或m＝－2.经检验，m的值为－2. 4．－ 解析　解方程组得 又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上， ∴－1－2k＝0，∴k＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$