精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第二次月考 数学试题 命题：苑繁宝 胡艺 审核：苑繁宝 打印：胡艺 校对：苑繁宝 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 3. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 上的点到的距离均为 C. 是两条平行直线 D. 是一条与相交的直线 6. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A. 6天 495人 B. 7天 602人 C. 8天 716人 D. 9天 795人 7. 已知数列满足等于的个位数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知抛物线焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于两点.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 若，则渐近线为 D. 若，则短轴长为2 10. 过抛物线焦点直线交抛物线于两点（点在第一象限），过分别向的准线作垂线，垂足分别为，若与的面积之比为9，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线斜率为 C. D. 的面积为 11. 已知双曲线左，右焦点分别为为坐标原点.过的直线交双曲线的右支于两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点均在第一象限，则（ ） A. 当垂直于轴时， B. 的最小值为6 C. 点到两条渐近线的距离之积为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆关于点对称的圆的方程为__________. 13. 已知点分别为双曲线右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程. 16. 已知等差数列的前项和为，公差. （1）求及数列的通项公式； （2）记，若成等差数列，求并证明为等差数列. 17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 18. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 19. 已知椭圆，圆为圆上任意一点.动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，记两切线斜率分别为. （i）求的值； （ii）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第二次月考 数学试题 命题：苑繁宝 胡艺 审核：苑繁宝 打印：胡艺 校对：苑繁宝 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项符合题目要求. 1. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 2. 已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ） A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列下标和性质计算即可求得结果. 【详解】由等差数列性质计算可得，即， 所以可得. 故选：A 3. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 4. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率可求得渐近线斜率，分别求得其倾斜角可得结果. 【详解】由离心率为2可得，即， 又可知， 因此渐近线斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为， 所以两条渐近线的夹角为. 故选：C 5. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（ ） A. 是一个半径为的圆 B. 上的点到的距离均为 C. 是两条平行直线 D. 是一条与相交的直线 【答案】B 【解析】 【分析】由向量关系得到坐标关系后可得的轨迹方程，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】设，则，故， 故，故即， 故为一条直线，该直线与平行，它到的距离为， 故ACD错误，B正确， 故选：B. 6. 我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A. 6天 495人 B. 7天 602人 C. 8天 716人 D. 9天 795人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值． 【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，， ∴，， ∴天 则目前派出的人数为人， 故选：B． 7. 已知数列满足等于的个位数，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系可求数列的前项，找到数列的性质后可求. 【详解】因为，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 因，故；因为，故； 因为，故；因为，故； 故前10项为：， 故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6， 故， 故选：D. 8. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于两点.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K，结合抛物线定义可得，可得为等边三角形，即，求出直线的方程与抛物线C的方程联立，求得点N的横坐标为，可得垂直x轴，在中，利用运算得解. 【详解】 如图，过点M作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 因为，所以， 因为，所以，由抛物线定义知，， 而，所以，在中，因为， 所以，因为，所以， 由抛物线定义知，，所以为等边三角形， 所以，可得点P的横坐标为， 设与x轴的交点为G，则， 因为直线的斜率为， 点，所以直线的方程为， 联立，消去y化简并整理得，， 解得或，则点N的横坐标为，又点P的横坐标为， 可得垂直x轴，且垂足为G，在中，由， 所以，故 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线，下列结论正确的有（ ） A. 若曲线表示椭圆，则 B. 若曲线表示双曲线，则 C. 若，则渐近线为 D. 若，则短轴长为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆、双曲线方程的结构特点逐个判断即可. 【详解】对于A，若曲线表示椭圆，则：，解得：，正确； 对于B, 若曲线表示双曲线，则，得，，所以，正确； 对于C，若，则，则渐近线方程为：，错误； 对于D，若，则，则，正确； 故选：ABD 10. 过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过分别向的准线作垂线，垂足分别为，若与的面积之比为9，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，然后由可得，即可判断A选项；设直线AB的方程为，与抛物线联立方程组，根据韦达定理可得，，然后求出即可判断B选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断C选项；通过计算的面积即可判断D选项. 【详解】由抛物线的定义可得 因为，， 又因为与的面积之比为9，即， 所以，即，故A错误； 由题意得 ，设直线AB的方程为，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 因为与的面积之比为9， 即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，， 由，可得，即， 所以直线AB斜率为，故B正确； 而， 所以，故C正确； 的面积为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 11. 已知双曲线左，右焦点分别为为坐标原点.过的直线交双曲线的右支于两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，点均在第一象限，则（ ） A. 当垂直于轴时， B. 的最小值为6 C. 点到两条渐近线的距离之积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出的纵坐标后可判断其正误；对于BD，可联立直线与双曲线方程（或渐近线方程）后结合韦达定理可判断它们的正误；对于C，求出点到两条渐近线的距离之积后可判断其正误. 【详解】 对于A，当垂直于轴时，，故， 故此时，故A正确； 对于C，设，而渐近线方程为， 故点到两条渐近线的距离之积为： ， 故C正确， 对于BD，因右焦点坐标为， 故可设，， 由可得，， 而，又，故， 此时，因， 故，当且仅当等号成立，故的最小值为3， 故B错误； 设，由可得， 故，而，故， 故，故，故D正确， 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆关于点对称的圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心关于的对称点后可求对称圆的方程. 【详解】由题设可得，故关于的对称点的坐标为， 故圆心关于的对称圆的方程为：， 故答案为：. 13. 已知点分别为双曲线的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式及条件，可得结果. 【详解】不妨设双曲线的一个焦点设为，， 一条渐近线的方程设为，，由题意可得， 又，∴，即， ∴，∴. 故答案为： 14. 已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，再结合椭圆的离心率，即可求解. 【详解】设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据题意可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 ∵圆心在直线上， ∴设圆的标准方程为， ∵圆经过两点， ∴，解得，， ∴圆的标准方程为. 小问2详解】 ∵直角三角形，, ∴圆心到直线的距离. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 则圆心到直线的距离，不符合题意； 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即， ∵圆心到直线的距离， ∴，解得， ∴直线的方程为或. 16. 已知等差数列的前项和为，公差. （1）求及数列的通项公式； （2）记，若成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】（1）， （2）或，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据等差数定义以及前项和公式计算可知，可求得其通项公式； （2）易知，求得的表达式，由等差数列定义证明即可得出结论. 【小问1详解】 设等差数列的首项为， 由可得，即， 解得或（舍）； 因此可得； 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 由成等差数列，可得， 易知，可得， 整理可得，解得或； 证明如下： 当时，可得， 此时为常数， 所以是以为首项，公差的等差数列； 当时，可得， 此时为常数， 所以是以为首项，公差的等差数列； 17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）直线l过定点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示直线，根据可得，由此可证直线l过定点. 【小问1详解】 由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）得，设，， 则， 则，直线l的方程为， 则， 所以直线l过定点. 18. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 19. 已知椭圆，圆为圆上任意一点.动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点作曲线的两条切线分别交椭圆于，记两切线斜率分别为. （i）求的值； （ii）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（i），（ii）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，由中点坐标公式求得，代入圆即可求解； （2）（i）设切线方程，由圆心到直线距离等于半径，列出等式，由韦达定理即可求解；（ii）由（i），再联立椭圆结合韦达定理求得的方程即可求解. 【小问1详解】 设，由动点为线段的中点，由中点坐标公式可得：， 代入圆方程，可得：， 化简可得：， 故曲线的方程为：； 【小问2详解】 （i）设切线方程为：， 则，化简可得：，① 所以； （ii）联立，消去可得：， 则方程异于的根为：，由结合①， 化简可得：， 代入直线方程可得：，再结合①化简可得：， 所以两点坐标为：， 则， 所以的方程为：， 化简可得：，即， 此时圆心到的距离为：， 故直线与曲线相切. 【点睛】关键点点睛：由切线方程与椭圆方程联立，得到坐标，再得到直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $