精品解析：四川省成都市第四十三中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

成都西北中学实验学校2024-2025学年度（上）半期考试试卷 八年级数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．全卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分；闭卷考试，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 3，4，5 D. 5，12，13 3. 已知，则到轴的距离为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 4. 观察下列实数，、、、，（相邻两个0之间的1的个数逐次增加1），其中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 对一次函数描述不正确的是（ ） A. 它的图象是一条直线 B. 它的图象经过第一、二、四象限 C. 它的图象经过点 D. y随x的增大而增大 7. 将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 下列说法中正确的有（ ） ①和是同类二次根式：②的平方根是3：③位于第三象限；④的算术平方根是；⑤若，则点在第二、四象限角平分线所在直线上. A. ①②④ B. ①④⑤ C. ②③④ D. ①③⑤ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____________． 10. 已知点和点关于轴对称，则_______． 11. 将直线向下平移3个单位长度，得到的直线解析式为__________． 12. 如图是“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，则四边形的面积为_______． 13. 对于一次函数图象上两点，，若，则______（填“”、“”、“”）． 三、计算题：本题共4小题，共16分． 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共4小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求出点B到的距离． 16. 已知：一次函数的图象经过，两点． （1）求的值； （2）若在一次函数的图象上，求线段的长． 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 18. 如图，直线：y=-2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是(0，4)． （1）求直线的函数表达式和点B的坐标． （2）若点P的坐标是(4，3)，求△ABP的面积． （3）如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°，求点P的坐标． B卷（满分50） 一、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 19. 比较大小：3_____5． 20. 已知为实数，且，则_______． 21. 如图，直线经过点，，点在坐标轴上，且，则点的坐标为_______． 22. 如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为________． 23. 如图，长方形ABCD中，，，点P是AB上一点，，点E是BC上一动点，连接PE，将沿PE折叠，使点B落在，连接，则的最小值是________． 二、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费、另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）无月租费的收费方式是 （选填“①”或“②”），其通话一分钟收费是 元； （2）求出有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式； （3）小昊的爸爸每月话费80元，选哪种方式更划算？请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； （3）如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 26. “三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道了仅用圆规和直尺是不可能作出的．某兴趣小组展开了以下探索： （1）在探索中，利用如图1所示的图形进行研究，其中，四边形是长方形，，是延长线上一点，连接交于点，点是上一点，且． ①求证：； ②若是边长为2的正方形，求出的面积和的长． （2）如图2，在长方形中，对角线的延长线与的平分线交于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都西北中学实验学校2024-2025学年度（上）半期考试试卷 八年级数学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．全卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷满分100分，第Ⅱ卷满分50分；闭卷考试，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方根的定义化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴16的平方根为． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 2. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 7，12，15 B. 9，12，15 C. 3，4，5 D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【详解】A、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小 关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 已知，则到轴的距离为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标之间的关系，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．先根据A纵坐标的特点，再根据点A到坐标轴距离的意义即可求出． 【详解】∵点的纵坐标为8， ∴点A到x轴的距离是8， 故选：B． 4. 观察下列实数，、、、，（相邻两个0之间的1的个数逐次增加1），其中无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，不是无理数； （相邻两个0之间的1的个数逐次增加1）是无限不循环小数，是无理数； ∴无理数的个数为2； 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无限不循环小数叫无理数． 5. 在平面直角坐标中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】横坐标小于0，纵坐标大于0，则这点在第二象限． 【详解】解：，， 在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握四个象限内坐标的符号：第一象限：，；第二象限：，；第三象限：，；第四象限：，． 6. 对一次函数描述不正确的是（ ） A. 它的图象是一条直线 B. 它的图象经过第一、二、四象限 C. 它的图象经过点 D. y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、一次函数的图象是一条直线，故选项A是正确的，不符合题意； B、∵， ∴函数图象经过第一、二、四象限，故选项B是正确的，不符合题意； C、当时，， ∴直线经过点，故选项C是正确的，不符合题意； D、∵ ∴函数图象y随x的增大而减少，故选项D是不正确的，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质与系数的关系是解题的关键． 7. 将一次函数与的图像画在同一坐标系中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与系数的关系依次分析各项即可． 【详解】解：一次函数的与一次函数的矛盾，错误； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误； 一次函数的与一次函数的一致，正确； 从图像知，一次函数的图像不经过原点，错误． 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像，掌握一次函数的图像是解决问题的关键． 8. 下列说法中正确的有（ ） ①和是同类二次根式：②的平方根是3：③位于第三象限；④的算术平方根是；⑤若，则点在第二、四象限角平分线所在直线上. A. ①②④ B. ①④⑤ C. ②③④ D. ①③⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标逐个判断即可． 【详解】解：∵，， ∴和是同类二次根式，故①正确； ∵， ∴的平方根是，故②错误； 当时，点位于x轴的负半轴上， 当时，点位于第三象限，故③错误； 的算术平方根是，故④正确； 若，则点在第二、四象限角平分线上，故⑤正确； 即正确的有①④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类二次根式，算术平方根，平方根，点的坐标特点等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____________． 【答案】≤4 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可. 【详解】解：由题意，得 4-≥0 解得 ≤4. 故答案为≤4. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件.二次根式的被开方数是非负数. 10. 已知点和点关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于轴对称的点的坐标，关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出m、n，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 将直线向下平移3个单位长度，得到的直线解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移规则，理解并掌握规则是解题关键．直接根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度，得到的直线解析式为， 即， 故答案为：． 12. 如图是“赵爽弦图”， ，，和是四个全等的直角三角形，四边形和四边形都是正方形，如果，，则四边形的面积为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】由全等三角形的性质和勾股定理求得，，再由正方形的性质即可得出答案． 【详解】解：，，和是四个全等的直角三角形， ，， 在中， ， ， 四边形是正方形， 四边形的面积为9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质、正方形的性质等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13. 对于一次函数图象上两点，，若，则______（填“”、“”、“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质即可求解． 【详解】∵一次函数，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查一次函数的性质，根据k的值判断一次函数的增减性是解题的关键． 三、计算题：本题共4小题，共16分． 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解方程及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）运用二次根式的除法及二次根式的化简计算，再去绝对值，合并同类项即可． （2）用乘法分配律展开，进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可． （3）先进行零指数幂运算及二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可． （4）先移项，再利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 四、解答题：本题共4小题，共32分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出顶点的坐标； （2）求出点B到的距离． 【答案】（1）见解析， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了作图：轴对称变换，勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于x轴对称的图形，进而写出顶点的坐标； （2）根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，设点B到的距离为h，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， ∴为直角三角形， 设点B到的距离为h， ， ， 解得：， 即点B到的距离为2． 16. 已知：一次函数的图象经过，两点． （1）求的值； （2）若在一次函数的图象上，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，平面上两点间的距离公式的应用．根据待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）直接把两点的坐标代入一次函数，求出的值即可； （2）根据（1）中的值得出一次函数的解析式，再把代入求出a的值即可；再利用平面上两点间的距离公式求线段长． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象经过，两点 解得： ∴的值分别是1和2； 【小问2详解】 由（1）得：一次函数解析式为 在一次函数的图象上， 由平面上两点间的距离公式得：， 故线段的长为． 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 18. 如图，直线：y=-2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是(0，4)． （1）求直线的函数表达式和点B的坐标． （2）若点P的坐标是(4，3)，求△ABP的面积． （3）如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝−2x＋4，B（2，0） （2）7 （3）点P的坐标为（6，2） 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式中可求出b值，从而得出结论； （2）过点P作PH⊥x轴于H，根据S△ABP＝S梯形AOHP−S△ABO−S△BPH即可求解； （3）过点P作PC⊥x轴于C，由△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，可得AB＝BP，由等角的余角相等∠ABO＝∠BPC，可得△ABO≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得出PC＝BO＝2，BC＝AO＝4，即可得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标是（0，4）． 代入直线l：y＝−2x＋b得b＝4， ∴直线l：y＝−2x＋4， 令y＝0，xB＝2 即B（2，0）； 【小问2详解】 作PH⊥x轴， ∵点A的坐标是（0，4）．B（2，0），点P的坐标是（4，3）， ∴AO＝4，OB＝2，PH＝3，OH＝4，BH＝OH−OB＝4−2＝2， ∴S梯形AOHP＝×（3＋4）×4＝14，S△AOB＝×4×2＝4，S△BPH＝×2×3＝3， ∴S△ABP＝S梯形AOHP−S△ABO−S△BPH＝14−4−3＝7； 【小问3详解】 如图：过点P作PC⊥x轴于C， ∴∠PCB＝90°， ∴∠CBP＋∠BPC＝90°， ∵△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°， ∴AB＝BP，∠CBP＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， 在△ABO和△BPC中， ， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝BO＝2，BC＝AO＝4， ∴OC＝OB＋BC＝2＋4＝6， ∴点P的坐标为（6，2）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是利用三角形的面积和全等三角形的判定和性质进行解答． B卷（满分50） 一、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 19. 比较大小：3_____5． 【答案】＜． 【解析】 【分析】首先把两个数平方，再根据实数的大小比较方法即可比较大小． 【详解】解：∵（3）2＝45，（5）2＝75， ∴3＜5． 故填空答案：＜． 【点睛】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的大小比较方法. 20. 已知为实数，且，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式的化简求值，根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可得出y的值，再将x和y的值代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21. 如图，直线经过点，，点在坐标轴上，且，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理以及解无理方程，分点在轴上及点在轴上两种情况，找出关于长的方程是解答本题的关键． 利用一次函数图像上点的坐标特征，可求出点，点的坐标，进而求出，，当点在轴上时，，，由，得到的长，结合的位置，得到点的坐标；当点在轴上时，，，由，得到的长，结合的位置，得到点的坐标． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得， 点的坐标为， ， 如图，当点在轴上时， ， ， ，即， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 点的坐标为； 当点在轴上时， ， ， ，即， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 22. 如图，在同一平面内，直线l同侧有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为16和9，则阴影部分的总面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案. 【详解】如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E，于交于点D，则 A，C的面积分别为16和9， 正方形A，B，C， 同理可得： 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 23. 如图，长方形ABCD中，，，点P是AB上一点，，点E是BC上一动点，连接PE，将沿PE折叠，使点B落在，连接，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知最小时，落在线段PD上，利用勾股定理求出PD即可． 【详解】如图，连接PD，根据题意可知当落在线段PD上时，最小，且最小值为PD长． 在中，． 综上可知最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当落在线段PD上时，最小是解答本题的关键． 二、解答题：本题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 24. 某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费、另一种无月租费，且两种收费方式的通话时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系如图所示． （1）无月租费的收费方式是 （选填“①”或“②”），其通话一分钟收费是 元； （2）求出有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式； （3）小昊的爸爸每月话费80元，选哪种方式更划算？请说明理由． 【答案】（1）②， （2） （3）通讯方式①更划算 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及利用待定系数求函数解析式的相关知识，根据已知得出收费情况等式是解题关键． （1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，结合图象可知每分钟话费； （2）根据图象经过的点的坐标设出函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可； （3）求出当两种收费方式费用相同的时候自变量的值，以此值为界说明消费方式即可． 【小问1详解】 结合图形，根据当通讯时间为零的时候的函数值为0，可知无月租费的收费方式是②， 设无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为：， 由图可知图象过点， 得到：， 解得： ∴无月租费的收费方式中y与自变量x之间的函数关系式为： 故通话一分钟收费是元 故答案为：②， 【小问2详解】 设有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式， 由图可知，图象过点，得到： 解得：， ∴有月租费收费方式中y与自变量x之间的函数关系式： 【小问3详解】 由 解得： 由图可知： 当通话费用为时，两种①，②两种通讯收费方式的通话时长是一样的，一样划算； 当通话费用小于时，由图可知：通讯方式②的通话时长大于通讯方式①，方式②划算； 当通话费用大于时，由图可知：通讯方式①的通话时长大于通讯方式②，方式①划算； 而小昊的爸爸每月话费80元， ∵， ∴有月租费的通讯方式①更划算． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴的正半轴于点C，且面积为10． （1）求直线BC的解析式； （2）如图1，若点M为线段BC上一点，且满足，求点M的坐标； （3）如图2，点F为线段AB中点，点G为y轴上任意一点，连接FG，以FG为腰，G为直角顶点，在FG右侧作等腰直角，当顶点Q落在直线BC上时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先求出，，即有，，再根据，可得，即可得，即有，再利用待定系数法即可求解； （2）设M点坐标为：，由，，即可得，问题随之得解； （3）利用中点坐标公式求出，设，第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，证明，即有，，结合，可表示出，代入直线BC的解析式即可求解；第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，同理作答即可． 【小问1详解】 令，则有：，解得， 令，则有：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设BC的解析式为：， ∴，， ∴， 解得：， ∴的解析式为：； 【小问2详解】 根据题意设M点坐标为：， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：，， ∴M点的坐标为：； 【小问3详解】 ∵，，点F为线段AB中点， ∴， 设， 第一种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，， 即：， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵轴， ∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 第二种情况：当时，如图，点Q落在BC上时，过G作直线平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，垂足分别为T，N，即：轴，，， 即：， 根据第一种情况中的方法，同理可证：， ∴，， ∵轴， ∴点T和点N的纵坐标与G点相等，均为n， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵落在直线BC上，BC的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 综上：G点坐标为：，． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 26. “三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道了仅用圆规和直尺是不可能作出的．某兴趣小组展开了以下探索： （1）在探索中，利用如图1所示的图形进行研究，其中，四边形是长方形，，是延长线上一点，连接交于点，点是上一点，且． ①求证：； ②若是边长为2的正方形，求出的面积和的长． （2）如图2，在长方形中，对角线的延长线与的平分线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②的面积为，的长为 （2） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了三角形的外角的性质，等边对等角，正方形的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握这些知识并能灵活运用时解题的关键． （1）①根据等边对等角及三角形外角的性质即可证明； ②过点A作于点H，由正方形求出，，进而求出，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理、等腰三角形的性质求出的长，根据三角形的面积公式进行计算的面积，根据勾股定理求即可； （2）取中点O，连接，过点B作于H，利用矩形的性质和直角三角形的性质可证，然后仿照（1）证明，则可求，由（1）同理可得，，，进而得出，求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，， 又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴，即； ②过A作， ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：取中点O，连接，过点B作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴即， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $