3.12 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 抛物线的开口向下,对称轴为直线 x = - b 2a > 0,∴ a< 0,b> 0;若选择函数 y= a x +b,由函数图象可知,将反比例函数 y = a x (a<0)的图象由第四象限向上平移 b 个单位即可得 到函数 y= a x +b 的图象,∴ a<0,b>0,则依次填入的不等 号为<,>,<,>. 命题点 11　 二次函数解析式的确定及 图象的变换 1. y= (x-2) 2(答案不唯一)　 2. y= -x2 -4x+5 3.解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)分别代入 y= x2 +bx+c 得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 该二次函数的解析式为 y= x2 +2x-5, ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6, ∴ 顶点坐标为( -1,-6) . 4.解:将点 A 的坐标代入直线解析式得 b= -4+4 = 0, ∴ A(4,0), 将点 A的坐标代入抛物线解析式得 0=16+4m,解得 m=-4, ∴ 抛物线的解析式为 y= x2 -4x. 5.解:在抛物线 y=ax2 +(4a-1)x-4 中, 当 x= 0 时,y= -4, ∴ C(0,-4),∴ OC= 4, ∵ OC= 2OB,∴ OB= 2,∴ B(2,0), 将 B(2,0)代入 y=ax2 +(4a-1)x-4, 解得 a= 1 2 , ∴ 抛物线的解析式为 y= 1 2 x2 +x-4. 6.解:∵ 边长为 8 的正方形 OABC 的两边分别在坐标轴上, 以点 C 为顶点的抛物线经过点 A, ∴ C(0,8),A( -8,0), 设抛物线的解析式为 y=ax2 +c(a≠0), 则 c= 8, 64a+c= 0,{ 解得 a= - 1 8 , c= 8, { ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 8 x2 +8. 7.解:解法 1:∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过点(0,5), ∴ c= 5,∴ y=ax2 +bx+5, 将( -1,4),(1,8)代入 y=ax2 +bx+5 中,得 4 =a-b+5, 8 =a+b+5,{ 解得 a= 1, b= 2,{ ∴ 此二次函数的解析式为 y= x2 +2x+5. 解法 2:∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过点(-2,5),(0,5), ∴ 对称轴为直线 x= -2+0 2 = -1, ∴ 顶点坐标为( -1,4), 设二次函数解析式为 y=a(x+1) 2 +4, 将(0,5)代入得 a+4 = 5,解得 a= 1, ∴ 此二次函数的解析式为 y= (x+1) 2 +4 = x2 +2x+5. 解法 3:任取三组 x 和 y 的对应值代入 y=ax2 +bx+c(a≠0) 中,解三元一次方程组即可. 8. A　 【解析】 y = -(x+1) 2 向右平移 1 个单位长度,得 y = - (x+1-1) 2 = -x2 ,当 x = 0 时,y = 0,∴ 经过坐标原点,故① 是正确的;y= -(x+1) 2 向右平移 3 个单位长度,再向上平 移 4 个单位长度,得 y = -(x+1-3) 2 +4 = -(x-2) 2 +4,当 x = 0 时,y= 0,∴ 经过坐标原点,故②是正确的;y = -(x+1) 2 向上平移 1 个单位长度,得 y= -(x+1) 2 +1,当 x = 0 时,y = 0,∴ 经过坐标原点,故③是正确的;y = -(x+1) 2 沿 x 轴翻 折,再向下平移 1 个单位长度,得 y = (x+1) 2 - 1,当 x = 0 时,y= 0,∴ 经过坐标原点,故④是正确的;∴ 小郑的 4 种 方法中正确的个数有 4 个. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 能力点 1. 4-4k,1　 2. 4-4(k-1)≥0,k≤2　 3. m　 4. x1 +x2 2 1. A　 2. D　 3. x<-1 或 x>1 拓展 3-1 x1 = 0, x2 = 1 　 拓展 3-2 x1 = - 1, x2 = 2 　 拓展 3-3 x<-1 或 x>2 变式 解:将抛物线 y= x2 -x 沿 x 轴向右平移 n(n>0)个单位 长度得到的新抛物线的解析式为 y= (x-n) 2 -(x-n), 令(x-n) 2 -(x-n)= -x+1,整理得 x2 -2nx+n2 +n-1 = 0, 由题意得 Δ= ( -2n) 2 -4(n2 +n-1)= 0,解得 n= 1, ∴ 当 n= 1 时,平移后所得新抛物线与直线 y = -x+1 只有 一个公共点. 4. 5(答案不唯一)　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 +4x+c 与 x 轴没 有交点,∴ Δ= 42 -4c<0,解得 c>4. 5. 2　 6. D 7. A　 【解析】当抛物线 y=ax2 经过点(1,3)时,a = 3;当抛物 线经过点(3,1)时,a= 1 9 ,观察图象可知 1 9 ≤a≤3. 8. D　 【解析】抛物线 y=ax2 -2ax+1 恒过(2,1),抛物线与线 段 AB 只有一个公共点,当 a<0 时,将 x= 3 代入解析式,9a -6a+1≥0,解得- 1 3 ≤a<0;当 a>0 时,将 x = 3 代入解析 式,得 9a-6a+1≤2,解得 0<a≤ 1 3 . 综上所述,- 1 3 ≤a<0 或 0<a≤ 1 3 . 9.解:将点 A(2,0)代入抛物线解析式得 0 = 4+2m,解得 m= -2, 将点 A(2,0)代入直线解析式可得 0 = -2+b, 解得 b= 2, ∴ 抛物线和直线的解析式分别为 y= x2 -2x,y= -x+2, 联立 y= x2 -2x, y= -x+2,{ 解得 x= 2, y= 0{ 或 x= -1, y= 3,{ ∴ B( -1,3), 当点 M 在线段 AB 上时,线段 MN 与抛物线只有一个公 共点, ∵ M,N 的距离为 3,而 A,B 的水平距离是 3,∴ -1≤xM <2; 当点 M 在点 B 的左侧时,线段 MN 与抛物线没有公共点; 当点 M 在点 A 的右侧时,若 xM = 3,则抛物线和 MN 交于 抛物线的顶点(1,-1),即当 xM = 3 时,线段 MN 与抛物线 只有一个公共点. 综上所述,-1≤xM <2 或 xM = 3. 命题点 13　 二次函数的实际应用 1. 10　 2. 能 3. D　 【解析】由图象是经过原点的一条抛物线的一部分,设 抛物线解析式为 P = aI2 +bI,把点( 1,165),( 4,0) 代入得 a+b= 165, 16a+4b= 0,{ 解得 a= -55, b= 220,{ ∴ 抛物线解析式为 P = -55I 2 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 分层作业本·河南数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用(2021. 22) 能力点　 读懂题设的“话外音” 1. 抛物线 y= x2 +2x+k 与 x 轴只有一个交点. “话外音”:关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k = 0 的根的判别式的值为 0,即 　 4-4k 　 = 0,则 k 的值为　 1　 　 . 2. 抛物线 y= x2 +2x+k 与直线 y= 1 有公共点. “话外音”:关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+k = 1 的根的判别式的值大于等于 0,即　 4-4　 　 , 则 k 的取值范围是　 k≤2　 . 3. 关于 x 的方程 x2 + 2x- 3 -m = 0 的解为 x1,x2 (x1 <x2) . “话外音”:抛物线 y = x2 + 2x - 3 与直线 y = 　 m　 　 有两个不同的交点,且交点的横坐标 分别为 x1,x2 . 4. 已知点 A(x1,y1)和点 B(x2,y1 )都在二次函数 y= x2 +bx+c 的图象上. “话外音”:点 A 和点 B 关于抛物线的对称轴对 称,即抛物线的对称轴为直线 x = 　 　 　 　 . (用含 x1,x2 的代数式表示) 　 考向 1　 二次函数与方程、不等式 1. [2024 濮阳模拟]如图是抛物线 y = ax2 +bx+c 的 图象,图象交 x 轴于点 A,B,交 y 轴于点 C,则 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 根的情况 为 (　 A　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. [2024 平顶山期末]如图,抛物线 y = ax2 + bx+ c (a≠0)与 x 轴交于点(4,0),其对称轴为直线 x= 1,则不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是 (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x>4 B. x= 1 C. -2<x<4 D. x<-2 或 x>4 3. [2021 河南 22 题改编]如图,抛物线 y = x2 +mx 与 直线 y= -x+b 相交于点 A( 1,0) 和点 B( - 1, 2),则不等式 x2 +mx>-x+b 的解集为　 或 1　 . 第 3 题图 拓展 3-1 方程 x2 +mx= 0 的根为　 　 　 　 　 . 拓展 3-2 方程 x2+mx=2 的解为　 　 　 　 　 . 拓展 3-3 不等式 x2 +mx>2 的解集为　 　 　 　 　 . 变式 将抛物线 y= x2 -x 沿 x 轴向右平移 n(n>0) 个单位长度,当 n 的值为多少时,平移后所得 新抛物线与直线 y= -x+1 只有一个公共点. 考向 2　 与二次函数有关的交点问题(2021. 22) 4. 开放性试题 已知抛物线 y =x2 +4x+c 与 x 轴没有 交点,则 c 的值可以为　 5　 　 . (写出一个即可) 5. 二次函数 y=x2+bx+c 图象过点(3,1)和(2,-3)两 点,则该函数图象与 x 轴有　 2　 　 个交点. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 分层作业本·河南数学 　 第 三 章 函 　 数 6. 名师原创 如图,现要判断抛物线 y = ( x + 1) (x-3)与直线 y=a 的交点情况,针对 a 的不同 取值,三个人说法如下: 甲:当 a= -3 时,交点个数为 1. 乙:当 a= -4 时,交点个数为 1. 丙:当 a= -5 时,交点个数为 0. 下列判断正确的是 (　 D　 ) 第 6 题图 A. 乙错,丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对,丙错 D. 甲错,丙对 7. 如图,正方形 3 个顶点的坐标分别为( 1,1), (3,1),(1,3) . 若抛物线 y = ax2 的图象与正方 形的边有公共点,则实数 a 的取值范围是 (　 A　 ) A. 1 9 ≤a≤3 B. 1 9 ≤a≤1 C. 1 3 ≤a≤3 D. 1 3 ≤a≤1 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 　 8. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,线段 AB 的两 个端点的坐标分别为(3,2),(3,0),若抛物线 y=ax2 -2ax+1 与线段 AB 只有一个公共点,则 a 的取值范围是 (　 D　 ) A. a≤- 1 3 或 0<a≤ 1 3 B. a≤- 1 3 或 a≥ 1 3 C. - 1 3 ≤a<0 或 a≥ 1 3 D. - 1 3 ≤a<0 或 0<a≤ 1 3 9. 分类讨论 [ 2021 河南 22 题节选] 如图,抛物线 y= x2 +mx 与直线 y= -x+b 相交于点 A(2,0)和 点 B. 点 M 是直线 AB 上的一个动点,将点 M 向左平移 3 个单位长度得到点 N,若线段 MN 与抛物线只有一个公共点,求出点 M 的横坐标 xM 的取值范围. 第 9 题图 解:将点 A(2,0)代入抛物线解析式得 0=4+2m,解得 m=-2, 将点 A(2,0)代入直线解析式可得 0=-2+b, 解得 b=2, ∴抛物线和直线的解析式分别为 y=x2-2x,y=-x+2, 联立 y=x2-2x, y=-x+2,{ 解得 x=2, y=0,{ 或 x=-1, y=3.{ ∴B(-1,3), 当点 M 在线段 AB 上时,线段 MN 与抛物线只有一 个公共点, ∵M,N 的距离为 3,而 A,B 的水平距离是 3,∴-1≤ xM<2; 当点 M 在点 B 的左侧时,线段 MN 与抛物线没有公 共点; 当点 M 在点 A 的右侧时,若 xM = 3,则抛物线和 MN 交于抛物线的顶点(1,-1),即当 xM = 3 时,线段 MN 与抛物线只有一个公共点. 综上所述,-1≤xM<2 或 xM =3. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 方法链接 “二次函数图象的交点问题”见《专项培优练》 P50 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64