大单元三 函数的增减性与最值-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·河南数学 　 第 三 章 函 　 数 ★大单元三　 函数的增减性与最值 1. 写出下列函数的增减性. 函数类型 函数解析式 增减性 正比例函数 y= 3x y 随 x 的增大而　 　 　 　 一次函数 y= -x-1 y 随 x 的增大而　 　 　 　 反比例函数 y= 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而　 　 　 　 y= - 3 x 在每一象限内,y 随 x 的增大而　 　 　 　 二次函数 y= -2(x-1) 2 +2 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而　 　 　 　 ; 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而　 　 　 　 y= 2x2 -4x-2 在对称轴右侧, y 随 x 的增大而　 　 　 　 ; 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而　 　 　 　 2. 请在下面横线上写一个 y 关于 x 的函数解析式,使它满足:当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小. (1)若 y 是 x 的一次函数,则 y= 　 　 　 　 　 　 ; (2)若 y 是 x 的反比例函数,则 y= 　 　 　 　 　 　 ; (3)若 y 是 x 的二次函数,则 y= 　 　 　 　 　 　 . 3. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数 y= kx+b 图象上两点. 请用“ >”“ = ”或“ <”填空. (1)若 x1 = -2,x2 = 3,k= 2,则 y1 　 　 　 　 y2; (2)若 x1 <x2,k<0,则 y1 　 　 　 　 y2; (3)若 x1 <x2,y2 >y1,则 k　 　 　 　 0. 4. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数 y= k x 图象上两点. 请用“ >”“ = ”或“ <”填空. (1)若 x1 = -2,x2 = -3,k= 2,则 y1 　 　 　 　 y2; (2)若 x1 = 2,x2 = 3,k= -2,则 y1 　 　 　 　 y2; (3)若 x1 = -2,x2 = 3,k>0,则 y1 　 　 　 　 y2; (4)若 y1 <0<y2,k=m2 +1,则 x1 　 　 　 　 x2; 变式 若 k<0,y1 <y2,请讨论 x1,x2 的大小情况. 14 分层作业本·河南数学 　 第 三 章 函 　 数 5. 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)是二次函数 y=ax2 +bx+c 图象上两点. 请用“ >”“ = ”或“ <”填空. (1)当 a= 1,b= -2 时. ①若 x1 = -2,x2 = 0,则 y1 　 　 　 　 y2; ②若 1<x1 <x2,则 y1 　 　 　 　 y2; ③若 x2 -1 = 1-x1,则 y1 　 　 　 　 y2; (2)当 b= 2a 时. ①若 a<0,0<x1 <x2,则 y1 　 　 　 　 y2; ②若 a>0, | x2 -( -1) | > | x1 -( -1) | ,则 y1 　 　 　 　 y2; (3)当 a= -1,b= 4 时. ①若 x1 <2<x2,y1 <y2,则 x1 +x2 　 　 　 　 4; ②若 y1 >y2,x1 = 1,则 x2 　 　 　 　 1 或 x2 　 　 　 　 3. 6. 已知 y 关于 x 的函数关系式中,自变量 x 的取值范围为-3≤x≤3. (1)当函数为 y= 1 3 x+2 时,y 的最大值为　 　 　 　 ,最小值为　 　 　 　 ; (2)当函数为 y= x2 -2x-3 时,求 y 的最大值和最小值. 7. 已知 y 关于 x 的函数关系式中,自变量 x 的取值范围为 a-2≤x≤a. (1)当函数为 y= -x-9 时,y 的最大值为 5,则 a 的值为　 　 　 　 ,y 的最小值为　 　 　 　 ; (2)当函数为 y= x2 -4x+3 时. ①若 y 的最大值为 15,则 a 的值为　 　 　 　 ; ②若 y 的最小值为 15,则 a 的值为　 　 　 　 ; ③若 y 的最小值为-1,则 a 的取值范围为　 　 　 　 . 24 参考答案与重难题解析·河南数学　 分 层 作 业 本 3. (1) -1,-2;(2)(0,-2),( -2,-2);(3) >, = ,< 1. C　 拓展 (0,3)　 变式 0　 2. C 3. 3　 【解析】∵ 点 P(m,n)在二次函数 y = x2 -3x+4 的图象 上,∴ n=m2 - 3m+ 4,∴ m+n = m+m2 - 3m+ 4 = m2 - 2m+ 4 = (m-1) 2 +3,∵ a= 1>0,∴ m+n 的最小值为 3. 4. C　 【解析】∵ y= (x-3) (x+5),∴ 函数图象与 x 轴的交点 坐标为(3,0),( - 5,0),∴ 函数图象的对称轴为直线 x = 3-5 2 = -1. 5. x= 1 2 6. ( -1,4)　 【解析】解法 1:∵ A( -2,3),B(0,3)是抛物线 y = -x2 +bx+c 上两点,∴ - b 2×( -1) = 0 -2 2 ,解得 b = - 2,c = 3, ∴ y= -x2 - 2x+ 3 = -( x+ 1) 2 + 4,∴ 该抛物线顶点坐标为 ( -1,4) .解法 2:∵ A( -2,3),B(0,3)是抛物线 y = -x2 +bx +c 上两点,∴ 代入得 c= 3, -4-2b+c= 3,{ 解得 b= -2, c= 3,{ ∴ y = -x 2 -2x+3 = -(x+1) 2 +4,∴ 该抛物线顶点坐标为( -1,4) . 7. 4　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 +bx+c 与 x 轴相交于点 A(1, 0)、点 B(3,0),∴ 该抛物线的对称轴为直线 x= 1+3 2 = 2,∵ 抛物线与 y 轴相交于点 C,点 D 在抛物线上,CD∥x 轴,∴ 点 D 的横坐标为 2×2-0 = 4,∴ CD= 4. 8. (1)2;(2)x= 1,4;(3)m≤4 9. y1 >y2 　 【解析】解法 1:直接代值计算.解法 2:根据解析式 可知抛物线对称轴为直线 x = 1,开口方向向下,∴ 离对称 轴越远的点函数值越小,∵ 2-1 = 1,3-1 = 2,∴ y1 >y2 . 10. A　 【解析】由 | x1 | < | x2 | ,得 A( x1 ,y1 )到 y 轴的距离小于 B(x2 ,y2 )到 y 轴的距离,由抛物线 y = 1 2 x2 + 1 的对称轴 为 y 轴,开口向上,得 y1 <y2 . 11. (1)增大; (2) >　 【解析】解法 1:∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0, 即点 A,B 到 y 轴的距离相等,则点 A 到直线 x = -1 的距 离大于点 B 到直线 x= -1 的距离,又∵ a= 1>0,∴ 抛物线 开口向上,∴ 离对称轴越远的点,函数值越大,∴ y1 >y2 . 解法 2:∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0,∵ y1 = x21 +2x1 +c, y2 = x22 +2x2 +c= x21 -2x1 +c,∴ y1 -y2 = 4x1 >0,∴ y1 >y2 . 12. C　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过点( -2, -1),(4,- 1),∴ 该二次函数图象的对称轴是直线 x = -2+4 2 = 1,∵ A(x1 ,y1 ) 到直线 x = 1 的距离为 | x1 - 1 | ,B (2-x1 ,y2 )到直线 x= 1 的距离为 | x1 -1 | ,∴ y1 = y2 . 13. -2　 拓展 13-1 -1　 拓展 13-2 -2 拓展 13-3 -2≤y≤2 14. C　 【解析】∵ 抛物线 y=a(x-1) 2 -a 的对称轴为直线 x = 1,顶点坐标为(1,-a),∴ 当 a>0,在-1≤x≤4 时,y 有最 小值-a,∵ y 的最小值为- 4,∴ -a = - 4,∴ a = 4;当 a< 0, 在-1≤x≤4 时,若 x= 4,则 y 有最小值 9a-a,∴ 9a-a = - 4,解得 a= - 1 2 . 综上所述,a 的值为 4 或- 1 2 . 15. D　 【解析】由题意知 4a-2b+c= -8, c= 0, 9a+3b+c= -3, { 解得 a= -1, b= 2, c= 0, { ∴ 二次 函数的解析式为 y= -x2 +2x. ∵ a= -1<0,∴ 抛物线的开口 向下,故 A 选项不符合题意;∵ y = -x2 +2x = -( x-1) 2 +1, ∴ 抛物线的对称轴为直线 x= 1,故 D 选项符合题意. ∵ a = -1<0,对称轴为直线 x = 1,∴ 当 x>1 时,y 随 x 的增大 而减小,故 B 选项不符合题意;令 y = 0 得-x2 + 2x = 0,解 得 x1 = 0,x2 = 2,∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为(0,0)和 (2,0) . 又∵ 抛物线的顶点坐标为(1,1),∴ 抛物线经过 第一、三、四象限,故 C 选项不符合题意. 16.解:(1)y= - 1 2 x2 - 1 2 (答案不唯一); (2)我不认同他们的说法, 举例如下:若 y= -x2 ,则抛物线的对称轴是 y 轴, ∴ 小亮的说法不正确; ∵ 抛物线 y= -x2 顶点在 x 轴上, ∴ 小莹的说法不正确. 大单元三　 函数的增减性与最值 1. 增大;减小;减小;增大;增大;减小;增大;减小 2. (1) -x(答案不唯一);(2) 1 x (答案不唯一); (3)x2(答案不唯一) . 3. (1) <;(2) >;(3) >. 4. (1) <;(2) <;(3) <;(4) <. 变式 解:当 k<0 时,反比例函数 y = k x 的图象位于第二、四 象限,在每一象限内,y 随 x 的增大而增大. 当 y1 <y2 时, 分为以下三种情况: ①当 0<y1 <y2 时,x2 >x1 , ②当 y1 <y2 <0 时,x2 >x1 , ③当 y1 <0<y2 时,x2 <x1 . 5. (1)①>;②<;③ = ; (2)①>;②<; (3)①<;②<;>. 6.解:(1)3;1; (2)∵ 抛物线 y = x2 - 2x- 3 的对称轴为直线 x = 1,开口 向上, ∴ 当 x= 1 时,y= 1-2-3 = -4 是最小值, 当 x= -3 时,y= 9+6-3 = 12 是最大值. 7. (1) -12;3; (2)①0 或 6;②-2 或 8;③2≤a≤4. 命题点 10　 二次函数图象与 a,b,c 的关系 1. C　 2. D　 拓展 二　 变式 2-1 C　 变式 2-2 D　 3. A　 4. B 5. C　 【解析】由题图可知 a<0,b>0,c>0,∴ ac<0,故 A 选项 错误. ∵ 抛物线与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),∴ 当 x = -1 时,y=a-b+c = 0,故 B 选项错误. ∵ 抛物线与 x 轴的 一个交点坐标为( -1,0),且对称轴为直线 x = 1,∴ 抛物线 与 x 轴的另一个交点坐标为(3,0),∵ 抛物线的开口向下, ∴ 当 x= 1 时,其函数值大于零,即 a+b+c>0,故 C 选项正 确. 由上述过程可知,当 x= 2 时,其函数值大于零,即 4a+ 2b+c>0,故 D 选项错误. 6. B　 【解析】根据二次函数图象开口向下可得 a<0,二次函 数图象与 x 轴有两个交点可得 b2 - 4ac> 0,二次函数图象 与 y 轴交于正半轴可得 c>0,b 与 0 的大小无法判断,∴ 无 法确定- b 2a 与 0 的大小关系,也无法确定 b+c 与 0 的大小 关系,A,D 错误;ac<0,B 正确;4ac-b2 <0,C 错误. 7. A　 【解析】若选择函数 y= ax2 +bx+c,由函数图象可知,此 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11