6.1 圆的基本概念及性质-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第六章　 圆 第 六 章 　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质(必考) 要点归纳 要点 1 圆的有关概念与性质 圆 (1)平面内,一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周,另一 个端点形成的图形叫作圆. 如图,固定的端点 O 称为圆心, 线段 OA 称为半径; (2)圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形,定点就是圆心,定长就是半径 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆,同圆或等圆的半径①　 相等　 弦 (1)连接圆上任意两点的线段叫作弦. 如图,线段 AB,AC; (2) 经过 ② 　 圆心 　 的弦叫作直径,在圆的所有弦中, ③　 直径　 是最长的弦. 如图,线段 AB 弧 圆上任意两点 间的部分叫作 圆弧,简称弧 (1)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两 条弧,每一条弧都叫作半圆.如图,半圆 AB; (2)大于半圆的弧叫作优弧. 如图,ABC ( ; (3)小于半圆的弧叫作劣弧. 如图,AC ( ; (4)在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫 作等弧 圆心角 顶点在圆心的角叫作圆心角. 如图,∠AOC,∠BOC 圆周角 顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点,这样的角叫作 圆周角. 如图,∠BAC 圆的 对称性 (1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线; (2)圆是中心对称图形,它的对称中心为圆心 圆的旋 转不变性 圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 确定圆 的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 易错警示:(1)圆上任意一条弦对应两条弧; (2)直径是圆中最长的弦,但弦不一定是直径,一个圆有无数条直径和半径; (3)半圆是弧(注意一定不能带直径),但弧不一定是半圆; (4)等弧只存在于同圆或等圆中,指的是能够完全重合的弧. 29 基础夯实练·河南数学 第 六 章 　 圆 要点 2 弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧④　 相等　 ,所对的 弦⑤　 相等 　 . 如图,若∠AOB = ⑥　 ∠COD 　 ,则 AB ( = CD ( , AB= ⑦　 CD　 推论 在同圆或等圆中􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别⑧　 相等　 ,即 “知一推二” . 如图,若 AB ( =CD ( ,则∠AOB = ⑨　 ∠COD　 ,AB = CD;若 AB= 􀃊􀁉􀁒　 CD　 ,则∠AOB= 􀃊􀁉􀁓　 ∠COD　 ,AB ( =CD ( 图 1 要点 3 垂径定理及其推论 (1)定理:垂直于弦的直径􀃊􀁉􀁔　 平分　 弦,并且􀃊􀁉􀁕　 平分　 弦所对的两条弧; (2)推论:平分弦(不是直径)的直径􀃊􀁉􀁖　 垂直　 于弦,并且􀃊􀁉􀁗　 平分　 弦 所对的弧. “知二推三”———如图 1,根据圆的对称性,有以下五个结论:①CD 是 ☉O 的直径; ②AB⊥􀃊􀁉􀁘　 CD 　 ;③AE = 􀃊􀁉􀁙　 BE 　 ; ④AC ( = BC ( ;⑤AD ( = 􀃊􀁉􀁚　 BD ( 　 . 只要满足其中两个,另外三个结论一定成立􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍. 要点 4 垂径定理的应用 (1)过圆心作弦(非直径)的垂线,连接圆心和弦的一个端点(即半径),构造直角三角形, 运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算. (2)确定一条弧所在圆的圆心 如图 2,确定 AB ( 所在圆的圆心. 作法:在 AB ( 上取一点 C,连接 AC,BC,作 AC,BC 的垂直平分线,两条垂直平 分线的交点即为 AB ( 所在圆的圆心. 注:特别地,如图 3,当一条弦所对的圆周角为直角时,直角所对的弦的中点即为圆心. (3)求圆内两条平行弦间的距离时,需要分情况讨论 如图,已知弦 AB,CD,☉O 的半径长,若 AB∥CD,求两条弦之间的距离 d 情况一:当两条弦位于圆心同侧时 情况二:当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理,在 Rt△OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d=OF-OE 利用勾股定理,在 Rt△OBE 中求出 OE,在 Rt△ODF 中求出 OF,d=OF+OE 39 基础夯实练·河南数学 第 六 章 　 圆 (4)点在圆上运动时,相关计算需要分情况讨论 如图,已知☉O 的半径为 r,OD=m,CD= h,求出弦 AC 的长(注:根据圆的轴对称性,☉O 上到直径 AB 距离相等的点(0<d<r)的个数为 4) 情况一:当点 D 在圆心左侧时 情况二:当点 D 在圆心右侧时 AC= AD2 +CD2 = ( r-m) 2 +h2 AC= AD2 +CD2 = ( r+m) 2 +h2 要点 5 圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的􀃊􀁉􀁛　 一半　 . (2)圆周角定理的推论 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角􀃊􀁊􀁒　 相等　 ; 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是􀃊􀁊􀁓　 直径　 . 圆周角定理 圆周角定理的推论 图形 表示 结论 ∠APB= 􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 ∠AOB ∠1􀃊􀁊􀁕 = 　 ∠2 ∠ACB= 􀃊􀁊􀁖　 90　 ° 易错警示:已知圆内一条弦和其对应的圆心角,求其对应的圆周角时要分情况讨论􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍: 情况一:弦所对圆周角和圆心角在弦的同侧 情况二:弦所对圆周角和圆心角在弦的异侧 β= 􀃊􀁊􀁗　 　 　 　 β= 􀃊􀁊􀁘　 　 　 　 49 基础夯实练·河南数学 第 六 章 　 圆 要点 6 圆内接四边形的性质 (1)圆内接四边形的对角􀃊􀁊􀁙　 互补　 ,如图 4,∠B+∠ADC= 􀃊􀁊􀁚　 180°　 ; (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角),如图 4, ∠ADE= 􀃊􀁊􀁛　 ∠B　 ; (3)连接圆内接四边形的两条对角线,则必然存在两组相似三角形,如图 5,△ADF∽ 􀃊􀁋􀁒　 △BCF　 ,△ABF∽􀃊􀁋􀁓　 △DCF　 . 图 4 　 　 　 　 　 　 图 5 随堂练习 1. 已知 AC 是☉O 的弦,点 B 在☉O 上,连接 OA,OC,OB,∠BOC= 40°. (1)如图①,当 AC ( =BC ( 时,∠OAC= 　 70　 °; (2)如图②,当 AC∥OB 时,∠AOC= 　 100　 °; (3)如图③,当 AC=OB 时,∠AOB= 　 100　 °. 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 1 题图 2. [2024 凉山州]数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解 决方案是:在工件圆弧上任取两点 A,B,连接 AB,作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 D, 交 AB ( 于点 C,测出 AB= 40 cm,CD= 10 cm,则圆形工件的半径为 ( C ) A. 50 cm　 　 　 　 　 　 B. 35 cm　 　 　 　 　 　 C. 25 cm　 　 　 　 　 　 D. 20 cm 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 3. [北师九下 P84 第 2 题改编]如图,AB 是☉O 的直径,点 C、D 是圆上异于 A、B 的两点,连接 AC,AD,CD. (1)若∠ACD= 15°,则∠BAD 的度数为　 75°　 ; (2)易错 ∙∙ 　 连接 OC,若∠AOC= 80°,则∠D= 　 40°或 140°　 . 4. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,延长 AD 至点 E,已知∠AOC = 140° ,那么∠CDE = 　 70　 °. ▶▶请完成《分层作业本》P87-88 习题 59 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 3:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 4:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 2　 矩形 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)解:①,有三个角是直角的四边形是矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC, ∴ AD∥BE,AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形. (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点,∴ AF=BF,∴ △ADF≌△BEF, ∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 3　 菱形 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)30°,15°;(2)2 5 ,8 5 ,16;(3)等边,3,3 3 ;(4)16 2.解:②,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 证明:∵ D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴ DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴ DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF, ∴ 四边形 ADEF 为平行四边形, ∴ EF∥DA,∴ ∠DAE= ∠AEF, ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠DAE= ∠FAE, ∴ ∠FAE= ∠AEF,∴ AF=EF,∴ 四边形 ADEF 为菱形. 命题点 4　 正方形 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)①∠ABC = 90°(答案不唯一);②AC = BD(答案不唯 一);③AC⊥BD(答案不唯一) 　 (2) 45　 45　 6 2 　 3 2 　 3 5 　 67. 5　 22. 5　 6 2 -6　 6-3 2 2. 证明略 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD　 􀃊􀁉􀁔平分 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE　 􀃊􀁉􀁚BD ( 　 􀃊􀁉􀁛一半 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90　 􀃊􀁊􀁗 α 2 　 􀃊􀁊􀁘180°- α 2 􀃊􀁊􀁙互补　 􀃊􀁊􀁚180°　 􀃊􀁊􀁛∠B　 􀃊􀁋􀁒△BCF　 􀃊􀁋􀁓△DCF 随堂练习 1. (1)70;(2) 100;(3) 100　 2. C　 3. ( 1) 75°;( 2) 40°或 140°　 4. 70 命题点 2　 与圆有关的位置关系 要点归纳 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于 例 1 证明:如解图,连接 OP,交 BD 于点 E, 例 1 题解图 ∵ 点 P 为 BD ( 的中点, ∴ BD⊥OP,∴ ∠OEB= 90°, ∵ BD∥CP, ∴ ∠OEB= ∠OPC= 90°, ∴ PC⊥OP, ∵ OP 为☉O 的半径, ∴ CP 是☉O 的切线. 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 例 2 题解图 ∵ ∠BAD = 90°, BD 平 分∠ABC, ∴ AD=DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 随堂练习 1. (1)0<r<3　 (2)3　 (3)3<r≤4　 (4)相离　 (5) 12 5 (6)135;1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521