5.4 正方形-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 3:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 4:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 2　 矩形 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)解:①,有三个角是直角的四边形是矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC, ∴ AD∥BE,AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形. (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点,∴ AF=BF,∴ △ADF≌△BEF, ∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 3　 菱形 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)30°,15°;(2)2 5 ,8 5 ,16;(3)等边,3,3 3 ;(4)16 2.解:②,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 证明:∵ D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴ DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴ DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF, ∴ 四边形 ADEF 为平行四边形, ∴ EF∥DA,∴ ∠DAE= ∠AEF, ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠DAE= ∠FAE, ∴ ∠FAE= ∠AEF,∴ AF=EF,∴ 四边形 ADEF 为菱形. 命题点 4　 正方形 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)①∠ABC = 90°(答案不唯一);②AC = BD(答案不唯 一);③AC⊥BD(答案不唯一) 　 (2) 45　 45　 6 2 　 3 2 　 3 5 　 67. 5　 22. 5　 6 2 -6　 6-3 2 2. 证明略 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD　 􀃊􀁉􀁔平分 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE　 􀃊􀁉􀁚BD ( 　 􀃊􀁉􀁛一半 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90　 􀃊􀁊􀁗 α 2 　 􀃊􀁊􀁘180°- α 2 􀃊􀁊􀁙互补　 􀃊􀁊􀁚180°　 􀃊􀁊􀁛∠B　 􀃊􀁋􀁒△BCF　 􀃊􀁋􀁓△DCF 随堂练习 1. (1)70;(2) 100;(3) 100　 2. C　 3. ( 1) 75°;( 2) 40°或 140°　 4. 70 命题点 2　 与圆有关的位置关系 要点归纳 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于 例 1 证明:如解图,连接 OP,交 BD 于点 E, 例 1 题解图 ∵ 点 P 为 BD ( 的中点, ∴ BD⊥OP,∴ ∠OEB= 90°, ∵ BD∥CP, ∴ ∠OEB= ∠OPC= 90°, ∴ PC⊥OP, ∵ OP 为☉O 的半径, ∴ CP 是☉O 的切线. 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 例 2 题解图 ∵ ∠BAD = 90°, BD 平 分∠ABC, ∴ AD=DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 随堂练习 1. (1)0<r<3　 (2)3　 (3)3<r≤4　 (4)相离　 (5) 12 5 (6)135;1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 (4)如图②,点 E 是 AD 的中点,连接 OE,若 OE= 2,则菱形 ABCD 的周长是　 16　 . 第 1 题图② 2. 如图,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,连接 DE、EF、AE. 有以下 3 个条件:①∠BAC = 90°;②AE 平分∠BAC;③AB=AC,请从中选择一个:　 ②　 (填写序号),证明四边形 ADEF 为菱形. 填写判定依据:　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形　 (答案不唯一) . 第 2 题图 证明:∵D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF,∴四边形 ADEF 为平行四边形, ∴EF∥DA,∴∠DAE=∠AEF, ∵AE 平分∠BAC,∴∠DAE=∠FAE, ∴∠FAE=∠AEF,∴AF=EF,∴四边形 ADEF 为菱形. 想一想,除了你选择的那一个条件外,其他 2 个条件能否证明?􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ▶▶请完成《分层作业本》P81-82 习题 命题点 4　 正方形(必考,未单独考查) 要点归纳 要点 1 正方形 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的①　 平行四边形　 叫作正方形 性质 (1)边:两组对边分别平行,四条边②　 相等　 ; (2)角:四个角都是③　 直角(90°) 　 ; (3)对角线:对角线相等且④　 互相垂直平分　 ,每一条对角线平分一组对角; (4)对称性:①既是轴对称图形,又是中心对称图形; ②有 4 条对称轴,两条对称轴是两条对角线所在的直线,另外两条对称轴是 过对角线交点与边平行的直线; ③对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的任意一条直线平分正方 形的面积 周长 边长的四倍,即 C= 4AB 面积 正方形的面积等于边长的平方或对角线之积(或任意一条 对角线平方)的⑤　 一半　 ,即 S =AB2 = 1 2 AC·BD = 1 2 AC2 = 1 2 BD2 09 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 判定 要点 2 正方形中的特殊三角形与面积问题 图形 　 (人教八下 P58 例 5) 延伸:巧用 45°(EF 是平行 于边 AD 的任意一条直线) 结论 一对全等 ∙ ∙ 的等腰直角 三角形; S1 =S2 4 个全等 ∙ ∙ 的等腰直角三 角形; S1 =S2 =S3 =S4 △AEG 和△CFG 都是等腰 直角三角形 随堂练习 1. [人教八下 P59 例 5 改编]在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,E 为 BC 上 一点. (1)添加一个条件,使平行四边形 ABCD 为正方形. ①若 AB=AD,添加条件为　 ∠ABC=90°(答案不唯一) 　 ; 第 1 题图 ②若 AC⊥BD,添加条件为　 AC=BD(答案不唯一) 　 ; ③若∠ADC= 90°,添加条件为　 AC⊥BD(答案不唯一) 　 ; (2)如图,四边形 ABCD 是正方形,AB= 6,连接 AE 交 BD 于点 F. ①∠ABO= 　 45　 °,∠BCO= 　 45　 °,AC= 　 6 2 　 ,BO= 　 3 2 　 ; ②若点 E 为 BC 的中点,则 AE= 　 3 5 　 ; ③若 AD=DF,则∠DAF= 　 67. 5　 °,∠BAE= 　 22. 5　 °; ④若 AE 平分∠BAC,则 BE= 　 6 2 -6　 ,OF= 　 6-3 2 　 . 第 2 题图 2. 如图,四边形 ABCD 是正方形,对角线 AC,BD 相交于点 F,以 DC 为边 向外作 Rt△DEC,∠E= 90°,ED=EC. 求证:四边形 DFCE 是正方形. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠FDC=∠DCF=45°, ∵∠E=90°,ED=EC, ∵ED=EC,∴四边形 DFCE 是正方形. ▶▶请完成《分层作业本》P83-84 习题 19