5.3 菱形-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 3:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 4:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 2　 矩形 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)解:①,有三个角是直角的四边形是矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC, ∴ AD∥BE,AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形. (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点,∴ AF=BF,∴ △ADF≌△BEF, ∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 3　 菱形 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)30°,15°;(2)2 5 ,8 5 ,16;(3)等边,3,3 3 ;(4)16 2.解:②,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 证明:∵ D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴ DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴ DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF, ∴ 四边形 ADEF 为平行四边形, ∴ EF∥DA,∴ ∠DAE= ∠AEF, ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠DAE= ∠FAE, ∴ ∠FAE= ∠AEF,∴ AF=EF,∴ 四边形 ADEF 为菱形. 命题点 4　 正方形 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)①∠ABC = 90°(答案不唯一);②AC = BD(答案不唯 一);③AC⊥BD(答案不唯一) 　 (2) 45　 45　 6 2 　 3 2 　 3 5 　 67. 5　 22. 5　 6 2 -6　 6-3 2 2. 证明略 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD　 􀃊􀁉􀁔平分 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE　 􀃊􀁉􀁚BD ( 　 􀃊􀁉􀁛一半 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90　 􀃊􀁊􀁗 α 2 　 􀃊􀁊􀁘180°- α 2 􀃊􀁊􀁙互补　 􀃊􀁊􀁚180°　 􀃊􀁊􀁛∠B　 􀃊􀁋􀁒△BCF　 􀃊􀁋􀁓△DCF 随堂练习 1. (1)70;(2) 100;(3) 100　 2. C　 3. ( 1) 75°;( 2) 40°或 140°　 4. 70 命题点 2　 与圆有关的位置关系 要点归纳 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于 例 1 证明:如解图,连接 OP,交 BD 于点 E, 例 1 题解图 ∵ 点 P 为 BD ( 的中点, ∴ BD⊥OP,∴ ∠OEB= 90°, ∵ BD∥CP, ∴ ∠OEB= ∠OPC= 90°, ∴ PC⊥OP, ∵ OP 为☉O 的半径, ∴ CP 是☉O 的切线. 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 例 2 题解图 ∵ ∠BAD = 90°, BD 平 分∠ABC, ∴ AD=DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 随堂练习 1. (1)0<r<3　 (2)3　 (3)3<r≤4　 (4)相离　 (5) 12 5 (6)135;1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 命题点 3　 菱　 形(必考) 要点归纳 要点 1 菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形 性质 菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质. (1)边:对边分别①　 平行　 ,四条边都②　 相等　 ; (2)角:对角③　 相等　 ,邻角④　 互补　 ; (3)对角线:两条对角线互相⑤　 垂直平分　 ,并且每一条对角线⑥　 平分　 一 组对角; (4)对称性:既是中心对称图形又是轴对称图形,两条对称轴是两条对角线所在 的直线,对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的任意一条直线平分 菱形的面积 周长 C= 4AB(边长的四倍) 面积 (1)S=AB·CE; (2)S= 1 2 AC·BD(对角线互相垂直的四边形求面积均适用) 判定 定理 (1)有一组邻边⑦　 相等　 的平行四边形是菱形; (2)对角线⑧　 互相垂直　 的平行四边形是菱形; (3)四条边都⑨　 相等　 的四边形是菱形 拓展 对角线互相垂直的四边形的面积 对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线乘积的一半. 已知:如图,四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AC⊥BD. 求证:S四边形ABCD = 1 2 AC·BD. 证明:S四边形ABCD =S△ADC+S△ABC = 1 2 AC·OD+ 1 2 AC·BO= 1 2 AC·(OD+OB)= 1 2 AC·BD. 88 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 思考　 你会用几种方法在平行四边形中作菱形? 　 　 　 　 要点 2 菱形中的特殊三角形与面积问题 图 形 (人教八下 P56 图 18. 2-8) 　 延伸一:60° 延伸二:60° (AE=BF) 结 论 一对全等 ∙∙ 的等腰 三角形; S1 =S2 四个全等 ∙∙ 的直角 三角形; S1 =S2 =S3 =S4 △ABD 和△CBD 是一 对全等 ∙∙ 的等边三角形; AC= 3BD= 3AB △DEF 是等边三角形; △AED≌△BFD; △BED≌△CFD; △ABD≌△CBD 注:菱形中连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或三角 形的中位线. 要点 3 两个矩形纸片的重叠问题 图形 结论 不等宽的两个矩形纸片重叠(不垂直),重 叠部分一定是平行四边形, ∵ h1≠h2,∴ 重叠部分一定不是菱形 等宽的两个矩形纸片重叠(不垂 直), ∵ h1 =h2,∴ 重叠部分一定是菱形 第 1 题图① 随堂练习 1. 已知菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)如图①,若∠ABC= 150°,则∠DAB= 　 30 °　 ,∠DAC= 　 15 °　 ; (2)如图①,若 AC = 8,BD = 4,则 AB = 　 2 5 　 ,菱形 ABCD 的周长为 　 8 5 　 ,菱形ABCD 的面积为　 16　 ; (3)如图①,若∠BAD=60°,BD=3,则△ABD是　 等边　 三角形,AB=　 3　 ,AC=　 3 3 　 ; 98 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 (4)如图②,点 E 是 AD 的中点,连接 OE,若 OE= 2,则菱形 ABCD 的周长是　 16　 . 第 1 题图② 2. 如图,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,连接 DE、EF、AE. 有以下 3 个条件:①∠BAC = 90°;②AE 平分∠BAC;③AB=AC,请从中选择一个:　 ②　 (填写序号),证明四边形 ADEF 为菱形. 填写判定依据:　 有一组邻边相等的平行四边形是菱形　 (答案不唯一) . 第 2 题图 证明:∵D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF,∴四边形 ADEF 为平行四边形, ∴EF∥DA,∴∠DAE=∠AEF, ∵AE 平分∠BAC,∴∠DAE=∠FAE, ∴∠FAE=∠AEF,∴AF=EF,∴四边形 ADEF 为菱形. 想一想,除了你选择的那一个条件外,其他 2 个条件能否证明?􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ▶▶请完成《分层作业本》P81-82 习题 命题点 4　 正方形(必考,未单独考查) 要点归纳 要点 1 正方形 定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的①　 平行四边形　 叫作正方形 性质 (1)边:两组对边分别平行,四条边②　 相等　 ; (2)角:四个角都是③　 直角(90°) 　 ; (3)对角线:对角线相等且④　 互相垂直平分　 ,每一条对角线平分一组对角; (4)对称性:①既是轴对称图形,又是中心对称图形; ②有 4 条对称轴,两条对称轴是两条对角线所在的直线,另外两条对称轴是 过对角线交点与边平行的直线; ③对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的任意一条直线平分正方 形的面积 周长 边长的四倍,即 C= 4AB 面积 正方形的面积等于边长的平方或对角线之积(或任意一条 对角线平方)的⑤　 一半　 ,即 S =AB2 = 1 2 AC·BD = 1 2 AC2 = 1 2 BD2 09