5.2 矩形-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 3:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFE= ∠BEF, ∵ AF=CE,∴ AF+EF=CE+EF,∴ AE=CF, 又∵ DF=BE,∴ △ABE≌△CDF, ∴ ∠BAE= ∠DCF,∴ AB∥CD, 又∵ ∠DFE= ∠BEF,∴ ∠AFD= ∠CEB, 又∵ AF=CE,DF=BE, ∴ △AFD≌△CEB,∴ ∠DAF= ∠BCE,∴ AD∥BC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 解法 4:证明:∵ DF∥BE,∴ ∠DFO= ∠BEO, ∵ DF=BE,∠DOF= ∠BOE, ∴ △DFO≌△BEO,∴ OF=OE,OD=OB, 又∵ AF=CE,∴ AF+OF=CE+OE,即 OA=OC, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 命题点 2　 矩形 要点归纳 ①平行且相等　 ②直角(90°)　 ③平分且相等 ④直角(90°)　 ⑤相等　 ⑥直角(90°) 随堂练习 1. (1)8,48;(2)4,4 5 ;(3)等边,4,2 3 ;(4)3 2. (1)解:①,有三个角是直角的四边形是矩形; 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,∵ BD⊥BC, ∴ ∠CBD= ∠ADB= ∠DBE= 90°, ∵ ∠AEB= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. (2)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵ DE=DC,DB⊥BC, ∴ DE=AB,BE=BC, ∴ AD∥BE,AD=BE, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DE=AB, ∴ 四边形 ADBE 是矩形. (3)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, ∴ ∠ADF= ∠BEF,∠DAF= ∠EBF, ∵ 点 F 是 AB 的中点,∴ AF=BF,∴ △ADF≌△BEF, ∴ DF=EF, ∴ 四边形 ADBE 是平行四边形, ∵ DB⊥BC,∴ ∠DBE= 90°,∴ 四边形 ADBE 是矩形. 命题点 3　 菱形 要点归纳 ①平行　 ②相等　 ③相等　 ④互补　 ⑤垂直平分　 ⑥平分 ⑦相等　 ⑧互相垂直　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)30°,15°;(2)2 5 ,8 5 ,16;(3)等边,3,3 3 ;(4)16 2.解:②,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 证明:∵ D、E、F 分别为 AB、BC、AC 的中点, ∴ DE 为△ABC 的中位线,AF= 1 2 AC, ∴ DE∥AC 且 DE= 1 2 AC=AF, ∴ 四边形 ADEF 为平行四边形, ∴ EF∥DA,∴ ∠DAE= ∠AEF, ∵ AE 平分∠BAC,∴ ∠DAE= ∠FAE, ∴ ∠FAE= ∠AEF,∴ AF=EF,∴ 四边形 ADEF 为菱形. 命题点 4　 正方形 要点归纳 ①平行四边形　 ②相等　 ③直角(90°)　 ④互相垂直平分 ⑤一半　 ⑥相等　 ⑦垂直　 ⑧直角　 ⑨相等 随堂练习 1. (1)①∠ABC = 90°(答案不唯一);②AC = BD(答案不唯 一);③AC⊥BD(答案不唯一) 　 (2) 45　 45　 6 2 　 3 2 　 3 5 　 67. 5　 22. 5　 6 2 -6　 6-3 2 2. 证明略 第六章　 圆 命题点 1　 圆的基本概念及性质 要点归纳 ①相等　 ②圆心　 ③直径　 ④相等　 ⑤相等　 ⑥∠COD　 ⑦CD　 ⑧相等　 ⑨∠COD　 􀃊􀁉􀁒CD　 􀃊􀁉􀁓∠COD　 􀃊􀁉􀁔平分 􀃊􀁉􀁕平分　 􀃊􀁉􀁖垂直　 􀃊􀁉􀁗平分　 􀃊􀁉􀁘CD　 􀃊􀁉􀁙BE　 􀃊􀁉􀁚BD ( 　 􀃊􀁉􀁛一半 􀃊􀁊􀁒相等　 􀃊􀁊􀁓直径　 􀃊􀁊􀁔 1 2 　 􀃊􀁊􀁕 = 　 􀃊􀁊􀁖90　 􀃊􀁊􀁗 α 2 　 􀃊􀁊􀁘180°- α 2 􀃊􀁊􀁙互补　 􀃊􀁊􀁚180°　 􀃊􀁊􀁛∠B　 􀃊􀁋􀁒△BCF　 􀃊􀁋􀁓△DCF 随堂练习 1. (1)70;(2) 100;(3) 100　 2. C　 3. ( 1) 75°;( 2) 40°或 140°　 4. 70 命题点 2　 与圆有关的位置关系 要点归纳 ①>　 ② = 　 ③<　 ④>　 ⑤ = 　 ⑥<　 ⑦垂直于　 ⑧等于 例 1 证明:如解图,连接 OP,交 BD 于点 E, 例 1 题解图 ∵ 点 P 为 BD ( 的中点, ∴ BD⊥OP,∴ ∠OEB= 90°, ∵ BD∥CP, ∴ ∠OEB= ∠OPC= 90°, ∴ PC⊥OP, ∵ OP 为☉O 的半径, ∴ CP 是☉O 的切线. 例 2 证明:如解图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F, 例 2 题解图 ∵ ∠BAD = 90°, BD 平 分∠ABC, ∴ AD=DF, ∴ DF 是☉D 的半径, ∵ DF⊥BC, ∴ BC 是☉D 的切线. ⑨平分线　 􀃊􀁉􀁒垂直平分线 随堂练习 1. (1)0<r<3　 (2)3　 (3)3<r≤4　 (4)相离　 (5) 12 5 (6)135;1 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 521 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 命题点 2　 矩　 形(必考) 要点归纳 要点 1 矩形 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 性质 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质. (1)边:对边分别①　 平行且相等　 ; (2)角:四个角都是②　 直角(90°) 　 ; (3)对角线:对角线互相③　 平分且相等　 ; (4)对称性:既是中心对称图形又是轴对称图形,两条对称轴是过对角线交点且 与边平行的直线,对称中心是两条对角线的交点,经过对称中心的任意一条 直线平分矩形的面积 周长 C= 2(AB+BC)(相邻两边之和的二倍) 面积 S=AB·BC(相邻两边的乘积) 判定 定理 (1)有一个角是④　 直角(90°) 　 的平行四边形是矩形; (2)对角线⑤　 相等　 的平行四边形是矩形; (3)有三个角是⑥　 直角(90°) 　 的四边形是矩形 要点 2 矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 延伸:60° (或 AB=AO) 结论 一对全等 ∙∙ 的直角三角形; S1 =S2 两对全等 ∙∙ 的等腰三角形; S1 =S2 =S3 =S4 △AOB 和△DOC 是一 对全等 ∙∙ 的等边三角形 68 基础夯实练·河南数学 第 五 章 　 四 边 形 随堂练习 1. 在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O. (1)[北师九上 P13 随堂练习改编]如图①,若 AO= 5,AB= 6,则 BC= 　 8　 ,矩形 ABCD 的面积 为　 48　 ; (2)如图②,过点 O 作 OP⊥BC 于点 P,若 OP= 2,BC= 8,则 AB= 　 4　 ,BD= 　 4 5 　 ; 图① 　 　 图② 　 　 图③ 第 1 题图 (3)[人教八下 P53 例 1 改编]如图②,若∠ABO = 60°,AB = 2,则△AOB 是　 等边　 三角形, AC= 　 4　 ,BC= 　 2 3 　 ; (4)如图③,过点 O 作 OE⊥BD 交 AD 于 E,若 AB= 4,AD= 8,则 AE= 　 3　 . 2. 在▱ABCD 中,BD⊥BC,点 E 是 CB 延长线上一点,连接 AE. 图① 　 　 　 　 图② 第 2 题图 (1)如图①,有以下条件:①∠AEB = 90°,②AE∥BD,③AE =BE,④AD =EB. 请你从所给条 件中选出一个使得四边形 ADBE 是矩形,填写在下面,并写出判定依据及证明过程. 你选的条件是　 ①　 (填序号),判定依据是　 有三个角是直角的四边形是矩形　 ; (答案不唯一) 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,∵BD⊥BC,∴∠CBD=∠ADB=∠DBE=90°, ∵∠AEB=90°,∴四边形 ADBE 是矩形. (2)如图②,连接 DE. 若 DE=DC,求证:四边形 ADBE 是矩形. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD. ∵DE=DC,DB⊥BC,∴DE=AB,BE=BC, ∴AD∥BE,AD=BE,∴四边形 ADBE 是平行四边形, ∵DE=AB,∴四边形 ADBE 是矩形. (3)如图②,设 DE 交 AB 于点 F,若点 F 是 AB 的中点,求证:四边形 ADBE 是矩形. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠ADF=∠BEF,∠DAF=∠EBF, ∵点 F 是 AB 的中点,∴AF=BF,∴△ADF≌△BEF,∴DF=EF, ∴四边形 ADBE 是平行四边形, ∵DB⊥BC,∴∠DBE=90°,∴四边形 ADBE 是矩形. ▶▶请完成《分层作业本》P79-80 习题 78