3.10 二次函数图象与a，b，c的关系&3.11 二次函数解析式的确定及图象的变换-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 10　 二次函数图象与 a,b,c 的关系(2023. 9) 要点归纳 a 决定抛物线的开口方向, | a | 决定 开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下 a、b 决定抛物线对称轴的位置(对称 轴为直线x= - b 2a ) b= 0,对称轴为①　 y 轴　 ; b a >0,对称轴在 y 轴②　 左　 侧; b a <0,对称轴在 y 轴③　 右　 侧 c 决定抛物线与 y 轴交点的位置 c= 0,抛物线过原点; c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴 b2- 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b2 -4ac= 0 时,与 x 轴有唯一的交点(顶点); b2 -4ac>0 时,与 x 轴有④　 两个　 交点; b2 -4ac<0 时,与 x 轴没有交点 特殊 关系 (1)先把含 a、b、c 的项移到等式(或不等式)的一边; (2)看到 2a+b,比较- b 2a 和 1 的大小;看到 2a-b,比较- b 2a 与-1 的大小; (3)看到 a+b+c,令 x= 1,看 y 的值;看到 a-b+c,令 x= -1,看 y 的值; (4)看到 4a+2b+c,令 x= 2,看 y 的值;看到 4a-2b+c,令 x= -2,看 y 的值 随堂练习 已知二次函数 y=ax2 +bx+c a≠0( ) 图象的对称轴为直线 x= -1,与 x 轴的一个交点 A 的坐标为 (1,0),其图象如图所示,下列结论中正确的是　 ①③④⑦⑨　 (填序号) . ①b2 -4ac>0;　 　 ②abc>0;　 　 ③a-b+c<0; ④ a+b= -c; ⑤ 2a+b= 0; ⑥ 4a-2b+c>0; ⑦一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -3,x2 = 1; ⑧当 y>0 时,-3<x<1; ⑨当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大; ⑩若点 D( - 9 2 ,y1),E( 3 2 ,y2)是函数图象上的两点,则 y1 <y2 . ▶▶请完成《分层作业本》P43 习题 15 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 11　 二次函数解析式的确定及图象的变换 (必考,在二次函数综合题中考查) 要点归纳 要点 1 待定系数法求二次函数解析式 求二次函数解析式时,先观察题设中给出的条件,根据已知条件设出合适的二次函数解析式. 已知条件 常设解析式 任意三点坐标 一般式:y=ax2 +bx+c(a≠0) 与 x 轴的两个交点坐标+任意一点坐标 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 顶点坐标+任意一点坐标 对称轴+最值+任意一点坐标 顶点式:y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 要点 2 二次函数图象的变换 (1)二次函数图象的平移 平移特点:①开口大小与开口方向均①　 不变　 ,即二次项系数②　 不变　 ; ②函数图象上每一个点的平移规律都相同. 平移方式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 简记 向左平移 m(m> 0)个单位长度 y = a ( x +m ) 2 + b ( x +m )+c y=a(x +m -h) 2 +k 向右平移 m(m> 0)个单位长度 y = a ( x -m ) 2 + b ( x -m )+c y=a(x -m -h) 2 +k 左右平移:x 左加 右减 向上平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c +n y=a(x-h) 2 +k +n 向下平移 n ( n > 0)个单位长度 y=ax2 +bx+c -n y=a(x-h) 2 +k -n 上下 平 移: 等 式 右 边 整 体 上 加 下减 (2)二次函数图象的对称(翻折)、旋转 变换特点:开口大小恒不变. 对称方式 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点成中心对称 变换前后 图象特点 开口方向③　 相反　 开口方向④　 不变　 开口方向⑤相反　 x,y 的变化 x 不变,y 变为相反数 y 不变,x 变为相反数 x,y 变为相反数 25 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 对称方式 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于原点成中心对称 一般式 y= ax2 +bx+c (a≠0) 顶点式 y= a(x-h) 2 +k (a≠0) 变换 后的 解析 式 y= -ax2 -bx-c y=ax2 -bx+c y= -ax2 +bx-c y= -a(x-h) 2 -k y=a(x+h) 2 +k y= -a(x+h) 2 -k 随堂练习 1. 已知任意两点 　 已知抛物线 y = -x2 +bx+c 经过点 A(3,0),B( - 2,- 5),求抛物线的解 析式. 解:由题意,得 -9+3b+c=0, -4-2b+c=-5,{ 解得 b=2, c=3,{ ∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. 2. 已知顶点　 [北师九下 P43 第 1 题改编]已知抛物线的顶点为(2,4),且过点(1,2),求抛物 线的解析式. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2+4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2=a(1-2) 2+4,解得 a=-2, ∴抛物线的解析式为 y=-2(x-2) 2+4. 3. 已知与 x 轴的交点　 已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象经过点( -3,0),(1,0),(0,3),求 该二次函数的解析式. 解:∵二次函数的图象经过点(-3,0),(1,0), ∴设二次函数的解析式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×(-1)= 3,解得 a=-1, ∴该二次函数的解析式为 y=-(x+3)(x-1),即 y=-x2-2x+3. 4. 已知对称轴　 多解法 ∙∙∙ 　 已知抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 2,且经过点(1,0),求 抛物线的解析式. 解:解法 1:∵抛物线的对称轴为直线 x=2, 又∵抛物线经过点(1,0),∴2-8+c=0,解得 c=6, ∴抛物线的解析式为 y=2x2-8x+6. 解法 2:∵抛物线 y=2x2+bx+c 的对称轴为直线 x=2,且与 x 轴交于点(1,0), ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴抛物线的解析式为 y=2(x-1)(x-3)= 2x2-8x+6. 5. 将抛物线 y= x2 -2x+2 向下平移 2 个单位长度,再向左平移 1 个单位长度,平移后所得新 抛物线的解析式为　 y=x2-1　 . 6. 将抛物线 y= -2x2 +4x-1 沿 x 轴翻折,得到的抛物线的解析式为　 y=2x2-4x+1　 　 　 　 ; 沿 y 轴翻折得到的抛物线的解析式为　 y=-2x2-4x-1　 . ▶▶请完成《分层作业本》P44 习题 35 <,二、四;增大;b<c<a;y= ±x,原点 2. (1)m≠1;(2)m<1;(3) -1;(4)在;(5)y>1 或 y<0,x<-2 命题点 7　 反比例函数解析式的确定及 k 的几何意义 要点归纳 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | 　 ⑧ | k | 随堂练习 1. 12　 2. (1)y= -6 x 　 (2)2 ;(3)4;(4)2 命题点 8　 反比例函数图象与性质的应用 要点归纳 ①D　 【自主作答】解:解法 1:以 CD 为公共底边,S△ADB = S△ADC+S△BDC = 1 2 CD· | xB-xA | ; 解法 2:如解图,过点 A 作 BD 的垂线交 BD 延长线于点 E, S△ADB = 1 2 BD· | yA-yB | . 解图 ②y= 3x+3　 ③y= 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0　 ⑤0<x≤1 或 x≤ -2　 ⑥ 9 2 例 2 题解图 命题点 9　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘C　 􀃊􀁉􀁙向上　 􀃊􀁉􀁚x = 1　 􀃊􀁉􀁛(1, -9)　 􀃊􀁊􀁒减小　 􀃊􀁊􀁓增大 　 􀃊􀁊􀁔小 　 􀃊􀁊􀁕- 9　 􀃊􀁊􀁖2　 􀃊􀁊􀁗( - 2,0), (4,0)　 􀃊􀁊􀁘(0,-8) 　 􀃊􀁊􀁙(3,0) 　 􀃊􀁊􀁚直线 x = 1　 􀃊􀁊􀁛( -1,t) 　 􀃊􀁋􀁒(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁓(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁔B　 􀃊􀁋􀁕yB 　 􀃊􀁋􀁖yC 　 􀃊􀁋􀁗yA 􀃊􀁋􀁘1　 􀃊􀁋􀁙-(2-h) 2 = -1　 􀃊􀁋􀁚h= 1　 􀃊􀁋􀁛0　 􀃊􀁌􀁒-(5-h) 2 = -1 􀃊􀁌􀁓h= 6　 􀃊􀁌􀁔B 随堂练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和( - 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) (0,-4);x= -1;-1,-5;( - 5 -1,0)和( 5 -1,0) 2. (1)y= 2(x-1) 2 -1 (2)y= -x2 +4x-1 (3)y= x2 -2x-3 命题点 10　 二次函数图象与 a,b,c 的关系 要点归纳　 ①y 轴　 ②左　 ③右　 ④两个 随堂练习　 ①③④⑦⑨ 命题点 11　 二次函数解析式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 随堂练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c= -5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2 +4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2 =a(1-2) 2 +4,解得 a= -2, ∴ 抛物线的解析式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点( -3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的解析式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×( -1)= 3,解得 a= -1, ∴ 该二次函数的解析式为 y= -(x+3)(x-1), 即 y= -x2 -2x+3. 4. 解:解法 1:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221 ∴ - b 4 = 2,解得 b= -8, 又∵ 抛物线经过点(1,0), ∴ 2-8+c= 0,解得 c= 6, ∴ 抛物线的解析式为 y= 2x2 -8x+6. 解法 2:∵ 抛物线 y= 2x2 +bx+c 的对称轴为直线 x= 2,且与 x 轴交于点(1,0), ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴ 抛物线的解析式为 y= 2(x-1)(x-3)= 2x2 -8x+6. 5. y= x2 -1　 6. y= 2x2 -4x+1;y= -2x2 -4x-1 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 要点归纳 ①两个不相等　 ②两个相等　 ③无　 ④x<x1 或 x>x2 ⑤x1 <x<x2 随堂练习 1. (1)x1 = -1,x2 = 3;(2)x1 = 0,x2 = 2;(3)2; (4) -1<x<3;(5)x<0 或 x>2 2. -3≤x≤1 命题点 13　 二次函数的实际应用 要点归纳 【自主作答】解:解法 1:根据题意,设抛物线的解析式为 y = a (x-2) 2 +k(a≠0),将点 C(0,8)、B(8,0)代入, 得 4a+k= 8, 36a+k= 0,{ 解得 a= - 1 4 , k= 9, { ∴ 抛物线的解析式为 y= - 1 4 (x-2) 2 +9, ∵ - 1 4 <0, ∴ 当 x= 2 时,y 有最大值,最大值为 9,即 AD= 9 m. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. 解法 2:根据题意,设抛物线的解析式为 y = ax2 +bx+ 8( a≠ 0), 将点 B(8,0)代入,结合- b 2a = 2, 得 - b 2a = 2, 64a+8b+8 = 0, { 解得 a= - 1 4 , b= 1, { ∴ 抛物线的解析式为 y = - 1 4 x2 +x+8 = - 1 4 ( x-2) 2 +9. 其余 同理. 答:该水流距水平面的最大高度 AD 为 9 m. ①(x-2)　 ② 1 2 [50-(x-2)]　 ③D　 ④(300-10x) ⑤(20+x)　 ⑥(300-10x)(20+x) 　 ⑦-10x2 +100x+6 000　 ⑧0≤x≤30　 ⑨5　 􀃊􀁉􀁒65　 􀃊􀁉􀁓6 250　 􀃊􀁉􀁔(300+20x) 􀃊􀁉􀁕(20-x)　 􀃊􀁉􀁖(300+20x)(20-x) 　 􀃊􀁉􀁗-20x2 +100x+6 000　 􀃊􀁉􀁘0≤x≤20　 􀃊􀁉􀁙当 x= 2. 5 时,y 取得最大值,即定价为 57. 5 元时,利润最大,最大利润为 6 125 元 􀃊􀁉􀁚6 250>6 125,∴ 当定价为 65 元时,即涨价 5 元时利润最 大,最大利润为 6 250 元 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 要点归纳 ①图 1,图 2,图 3　 ②图 4　 ③BC　 ④AC　 ⑤BC　 ⑥AC ⑦AB　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 3 　 􀃊􀁉􀁒60　 􀃊􀁉􀁓60　 􀃊􀁉􀁔90°　 􀃊􀁉􀁕相等 􀃊􀁉􀁖180°　 􀃊􀁉􀁗相等　 􀃊􀁉􀁘相等　 􀃊􀁉􀁙PN　 􀃊􀁉􀁚相等　 􀃊􀁉􀁛∠3　 􀃊􀁊􀁒∠8 􀃊􀁊􀁓∠8　 􀃊􀁊􀁔∠5　 􀃊􀁊􀁕∠8　 􀃊􀁊􀁖∠7　 􀃊􀁊􀁗∠8　 􀃊􀁊􀁘90　 􀃊􀁊􀁙无数 􀃊􀁊􀁚>　 􀃊􀁊􀁛>　 􀃊􀁋􀁒AO　 􀃊􀁋􀁓相等　 􀃊􀁋􀁔 = 　 􀃊􀁋􀁕 = 　 􀃊􀁋􀁖相等　 􀃊􀁋􀁗相等 􀃊􀁋􀁘相等　 􀃊􀁋􀁙互补 随堂练习 1. ②;两点之间,线段最短　 2. D　 3. (1)45°;(2)136° 4. A　 5. 17°　 6. (1)20°;(2)130°　 7. D 命题点 2　 三角形的边角关系与重要线段 要点归纳 ①大于　 ②>　 ③小于　 ④<　 ⑤180°　 ⑥360°　 ⑦∠3 ⑧>　 ⑨>　 􀃊􀁉􀁒>　 􀃊􀁉􀁓内部　 􀃊􀁉􀁔内部　 􀃊􀁉􀁕外部　 􀃊􀁉􀁖内部 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘2　 􀃊􀁉􀁙 1 2 　 􀃊􀁉􀁚 1 2 　 􀃊􀁉􀁛 1 4 　 􀃊􀁊􀁒 1 2 　 􀃊􀁊􀁓90°+ 1 2 ∠A　 􀃊􀁊􀁔 1 2 ∠A　 􀃊􀁊􀁕90°- 1 2 ∠A 随堂练习 1. D　 2. (1)70°;(2)55°　 3. (1)40°,10°;(2)4,1 4. (1)115°;(2)25°;(3)65° 命题点 3　 等腰(边)三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④60°　 ⑤ 1 2 (180°-α)　 ⑥45° ⑦ 1 2 (180°-α)　 ⑧180°-2α　 ⑨2a+b　 􀃊􀁉􀁒2b+a 􀃊􀁉􀁓△ODC　 􀃊􀁉􀁔△ACE 随堂练习 1. (1)24;(2)30;(3)4;(4)3　 2. C　 3. C;　 变式　 4 4. (1)5;(2)18;　 变式　 6 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 要点归纳 ①90°　 ② 1 2 　 ③a2 +b2 = c2 　 ④互余　 ⑤相等　 ⑥相等 ⑦45　 ⑧1 ∶ 2 　 ⑨45°　 􀃊􀁉􀁒60°　 􀃊􀁉􀁓一半　 􀃊􀁉􀁔30° 􀃊􀁉􀁕1 ∶ 3 ∶ 2　 􀃊􀁉􀁖S1 +S2 =S3 　 􀃊􀁉􀁗S1 +S2 =S3 　 􀃊􀁉􀁘 7或 5 􀃊􀁉􀁙 5 3 或 4 3 随堂练习 1. (1)①70°;②5;③2,2;(2)30°,1 ∶ 　 3 　 2. 3 2 命题点 5　 全等三角形的性质与判定 要点归纳 ①相等　 ②相等　 ③相等　 ④相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 321