3.9 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

<,二、四;增大;b<c<a;y= ±x,原点 2. (1)m≠1;(2)m<1;(3) -1;(4)在;(5)y>1 或 y<0,x<-2 命题点 7　 反比例函数解析式的确定及 k 的几何意义 要点归纳 ①ab　 ② ab x 　 ③ | k | 　 ④2　 ⑤1　 ⑥ | k | 　 ⑦ 1 2 | k | 　 ⑧ | k | 随堂练习 1. 12　 2. (1)y= -6 x 　 (2)2 ;(3)4;(4)2 命题点 8　 反比例函数图象与性质的应用 要点归纳 ①D　 【自主作答】解:解法 1:以 CD 为公共底边,S△ADB = S△ADC+S△BDC = 1 2 CD· | xB-xA | ; 解法 2:如解图,过点 A 作 BD 的垂线交 BD 延长线于点 E, S△ADB = 1 2 BD· | yA-yB | . 解图 ②y= 3x+3　 ③y= 6 x 　 ④x>1 或-2<x<0　 ⑤0<x≤1 或 x≤ -2　 ⑥ 9 2 例 2 题解图 命题点 9　 二次函数的图象与性质 要点归纳 ①- b 2a 　 ②h　 ③ x1 +x2 2 　 ④( - b 2a , 4ac-b2 4a )　 ⑤(h,k) ⑥ 4ac-b2 4a 　 ⑦k　 ⑧小　 ⑨ 4ac-b2 4a 　 􀃊􀁉􀁒k　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔减小 􀃊􀁉􀁕增大　 􀃊􀁉􀁖增大　 􀃊􀁉􀁗减小　 􀃊􀁉􀁘C　 􀃊􀁉􀁙向上　 􀃊􀁉􀁚x = 1　 􀃊􀁉􀁛(1, -9)　 􀃊􀁊􀁒减小　 􀃊􀁊􀁓增大 　 􀃊􀁊􀁔小 　 􀃊􀁊􀁕- 9　 􀃊􀁊􀁖2　 􀃊􀁊􀁗( - 2,0), (4,0)　 􀃊􀁊􀁘(0,-8) 　 􀃊􀁊􀁙(3,0) 　 􀃊􀁊􀁚直线 x = 1　 􀃊􀁊􀁛( -1,t) 　 􀃊􀁋􀁒(2a-b,0)　 􀃊􀁋􀁓(2a-m,n)　 􀃊􀁋􀁔B　 􀃊􀁋􀁕yB 　 􀃊􀁋􀁖yC 　 􀃊􀁋􀁗yA 􀃊􀁋􀁘1　 􀃊􀁋􀁙-(2-h) 2 = -1　 􀃊􀁋􀁚h= 1　 􀃊􀁋􀁛0　 􀃊􀁌􀁒-(5-h) 2 = -1 􀃊􀁌􀁓h= 6　 􀃊􀁌􀁔B 随堂练习 1. (1,4);x= 1;大,4;1,4;( 2 +1,0)和( - 2 +1,0);(0,2) (1,0)和(3,0);x= 2;2,-2;(0,6) (0,-4);x= -1;-1,-5;( - 5 -1,0)和( 5 -1,0) 2. (1)y= 2(x-1) 2 -1 (2)y= -x2 +4x-1 (3)y= x2 -2x-3 命题点 10　 二次函数图象与 a,b,c 的关系 要点归纳　 ①y 轴　 ②左　 ③右　 ④两个 随堂练习　 ①③④⑦⑨ 命题点 11　 二次函数解析式的确定 及图象的变换 要点归纳 ①不变　 ②不变　 ③相反　 ④不变　 ⑤相反 随堂练习 1. 解:由题意,得 -9+3b+c= 0, -4-2b+c= -5,{ 解得 b= 2, c= 3,{ ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +2x+3. 2. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2 +4(a≠0), 将(1,2)代入,得 2 =a(1-2) 2 +4,解得 a= -2, ∴ 抛物线的解析式为 y= -2(x-2) 2 +4. 3. 解:∵ 二次函数的图象经过点( -3,0),(1,0), ∴ 设二次函数的解析式为 y=a(x+3)(x-1), 把(0,3)代入,得 a·3×( -1)= 3,解得 a= -1, ∴ 该二次函数的解析式为 y= -(x+3)(x-1), 即 y= -x2 -2x+3. 4. 解:解法 1:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 221 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 9　 二次函数的图象与性质(必考) 要点归纳 要点 1 二次函数的图象与性质(图象⇔抛物线) 概念 形如 y=ax2 +bx+c(a,b,c 为常数且 a≠0􀪍􀪍)的函数叫作 x 的二次函数 三种解析式 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 大 致 图 象 a>0 开口向上 a<0 开口向下 对称轴 直线 x= ①　 　 　 　 直线 x= ②　 h　 直线 x= ③　 　 　 　 顶点坐标 ④ 　 　 　 　 　 ⑤　 (h,k) 　 — 最 值 a>0 x= - b 2a 时, y 有最小值⑥　 　 　 　 x=h 时, y 有最小值⑦　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最⑧　 小　 值 a<0 x= - b 2a 时, y 有最大值⑨　 　 　 　 x=h 时, y 有最大值􀃊􀁉􀁒　 k　 x= x1 +x2 2 时, y 有最 􀃊􀁉􀁓　 大　 值 增 减 性 a>0 在对称轴左侧时, y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁔　 减小　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁕　 增大　 a<0 在对称轴左侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁖　 增大　 ; 在对称轴右侧时,y 随 x 增大而􀃊􀁉􀁗　 减小　 注:特别地,若已知二次函数的解析式为 y=ax2 +bx,则二次函数图象必过原点 ∙∙∙∙ ;反之,若已 知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象过原点,则必有 c= 0. 74 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 要点 2 对称轴的理解与应用 (1)求对称轴 例 1　 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点,则此抛物线的对称轴为(􀃊􀁉􀁘　 C　 ) A. 直线 x=4　 　 　 　 B. 直线 x=0　 　 　 　 C. 直线 x=-3　 　 　 　 D. 直线 x=-6 图 1 方法指导 如图 1,若抛物线上两点的纵坐标相等,横坐标不相等 (x1≠x2),则对称轴为直线 x= x1+x2 2 . (2)判断函数类型:给出几组自变量 x 与函数值 y 的对应值,若有下表的特征,则该函数为 二次函数; 【获取信息】由表可得,该二次函数的图象性质: ①开口􀃊􀁉􀁙　 向上　 ,对称轴为直线􀃊􀁉􀁚　 x=1　 ,顶点坐标为􀃊􀁉􀁛　 (1,-9) 　 ; ②当 x≤1 时,y 随 x 的增大而 􀃊􀁊􀁒　 减小　 ,当 x≥1 时,y 随 x 的增大而􀃊􀁊􀁓　 增大　 ;函 数有最􀃊􀁊􀁔　 小　 值,为􀃊􀁊􀁕　 -9　 ; ③该二次函数的图象与 x 轴的交点有􀃊􀁊􀁖　 2　 个,坐标为􀃊􀁊􀁗　 (-2,0),(4,0) 　 ,与 y 轴的交点坐标为􀃊􀁊􀁘　 (0,-8) 　 . (3)利用对称轴求点坐标 例 2　 已知抛物线 y= x2 -4x+m 2 与 x 轴的一个交点的坐标为(1,0), 则此抛物线与 x 轴的 另一个交点的坐标为􀃊􀁊􀁙　 (3,0) 　 . 变式　 如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 l,抛物线与直线 y= t 交于点 A(3,t), 根据图象可知抛物线的对称轴为􀃊􀁊􀁚　 直线 x=1　 ,点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为 􀃊􀁊􀁛　 (-1,t)　 . 例 2 变式题图 方法指导 ①已知对称轴为直线 x=a,与 x 轴的一个交点为(b,0),则与 x 轴的另一个交 点坐标为􀃊􀁋􀁒　 (2a-b,0) 　 ;②若已知抛物线上任意一点的坐标为 M(m,n),对称轴为 直线 x=a,则点 M 关于对称轴对称的点的坐标为􀃊􀁋􀁓　 (2a-m,n) 　 . 84 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 (4)利用对称轴比较函数值大小 例 3　 多解法 ∙∙∙ 　 若二次函数 y=a(x-3) 2 +c(a>0)的图象过 A( -1,y1 ),B(2,y2 ),C(5,y3 ), 则 y1,y2,y3 的大小关系是 (􀃊􀁋􀁔　 B　 ) A. y1 >y2 >y3 　 　 　 B. y1 >y3 >y2 　 　 　 C. y2 >y1 >y3 　 　 　 D. y3 >y1 >y2 方法指导解法 1:异侧转化为同侧. 需求出点关于对称轴对称的点的横坐标,然后利用 同侧的增减性比较,如图 2,3. 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 解法 2:距离法. 先定开口方向,再算“距离”,开口向上,距离对称轴越远的值越大,开口 向下,距离对称轴越远的值越小. 如图 4,因为抛物线开口向上,点 A,C,B 到抛物线对称 轴直线 x= t 的距离的大小关系为 | xB -t | > | xC -t | > | xA -t | (用含 t 的代数式分别表示距 离),所以 yA,yB ,yC 的大小关系是􀃊􀁋􀁕　 yB 　 > 􀃊􀁋􀁖　 yC 　 >􀃊􀁋􀁗　 yA 　 . (5)利用对称轴求自变量取值范围内函数最值(涉及分类讨论) 例 4　 已知二次函数 y= - 1 2 (x+1) 2 +3,当 1≤x≤4 时,该二次函数的最大值为􀃊􀁋􀁘　 1　 . 变式　 已知二次函数 y= -(x-h) 2(h 为常数),当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时,与其对应 的函数值 y 的最大值为-1,则 h 的值为 (　 　 ) A. 3 或 6 B. 1 或 6 C. 1 或 3 D. 4 或 6 思维点拨 如图 5,通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论,求出符合 条件的 h 的值. 图 5 ①当 h<2 时,有􀃊􀁋􀁙　 -(2-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁋􀁚　 h=1　 ; ②当 2≤h≤5 时,y= -(x-h) 2 的最大值为􀃊􀁋􀁛　 0　 ,不符合题意; ③当 h>5 时,有􀃊􀁌􀁒　 -(5-h) 2 =-1　 ,解得􀃊􀁌􀁓　 h=6　 . 【答案】􀃊􀁌􀁔　 B　 94 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 随堂练习 1. [华师九下 P32 第 1 题改编]根据表格填空: 解析式 顶点式: y= -2(x-1) 2 +4 交点式: y= 2(x-1)(x-3) 一般式: y= x2 +2x-4 由解析 式直接 得到的 信息 ①顶点坐标为　 (1,4)　 ; ②对称轴为直线　 x=1　 ; ③有最　 大　 值为　 4　 ①与 x 轴交点坐标为 　 (1,0)和(3,0) 　 ; ②对称轴为直线　 x=2　 ① 与 y 轴 交 点 坐 标 为 　 (0,-4) 　 ; ②对称轴为直线　 x=-1 　 最值 x= 　 1 　 时, y最大 = 　 4 　 x= 　 2 　 时, y最小 = 　 -2　 x= 　 -1 　 时, y最小 = 　 -5　 与坐标 轴交点 坐标 与 x 轴交点坐标为　 ( 2+ 1,0)和(- 2 +1,0) 　 ;与 y 轴交点坐标为　 (0,2)　 与 y 轴交点坐标为　 (0, 6) 　 与 x 轴交点坐标为 　(- 5-1,0)和( 5-1,0)　 画出示 意图 2. 按要求将二次函数的解析式转化为其他形式: (1)二次函数 y= 2x2 -4x+1 化为顶点式为　 y=2(x-1) 2-1　 . (2)二次函数 y= -(x-2) 2 +3 化为一般式为　 y=-x2+4x-1　 . (3)二次函数 y= (x+1)(x-3)化为一般式为　 y=-x2-2x-3　 . ▶▶请完成《分层作业本》P39-40 习题 05