3.5 一次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025河南中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 命题点 5　 一次函数的实际应用(必考,每年一道解答题) 要点归纳 类型 1 费用、利润最值问题 ◆解题思路:明确等量关系式→确定函数关系式→确定自变量取值范围→由函数增减性确 定最值. 例 1　 某服装店购进甲、乙两种服装,甲种服装进价为 70 元 /件,市场售价为 100 元 /件,乙种 服装进价为 35 元 /件,市场售价为 75 元 /件. 若该店决定用不多于 6 300 元购进这两种服 装共 100 件,并全部售出. (1)请分别写出购进总费用 y(单位:元)、所获利润 w(单位:元)与购进甲种服装数量 x(单位:件)之间的函数关系式; (2)求购进这批服装的最低费用和这批服装全部售出的最大利润. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋解题步骤: (1)设:由题意知购进甲种服装①　 x　 件,则购进乙种服装②　 (100-x) 　 件; 列一次函数关系式:y= ③　 70x+35(100-x) 　 = ④　 35x+3 500　 ; w= ⑤　 (100-70)x+(75-35)(100-x) 　 = ⑥　 -10x+4 000　 ; (2)确定 x 的取值范围:由“用不多于 6 300 元购进这两种服装共 100 件􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋” 可得不等式: ⑦　 35x+3 500≤6 300　 ,且 0≤x≤100,解得⑧　 0≤x≤80　 ;(根据限定条件列出不 等式) 判断 y,w 随 x 增大时的变化情况:∵ 35>0,-10<0, ∴ y 随 x 的增大而增大;w 随 x 的增大而减小;(判断函数增减性) 确定最值:当 x= ⑨　 0　 时,y 取得最小值,此时 y= 􀃊􀁉􀁒　 3 500　 ; 当 x= 􀃊􀁉􀁓　 0　 时,w 取得最大值,此时 w= 􀃊􀁉􀁔　 4 000　 . 答:􀃊􀁉􀁕　 购进这批服装的最低费用为 3 500元,这批服装全部售出的最大利润为 4 000元　 . 类型 2 方案择优问题 ◆问题考查方式及解决方法: ①当给定 x 值,比较哪个方案花费更少时,直接将 x 值代入解析式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 y 值大小; ②当给定 y 值,比较哪个方案量更多时,直接将 y 值代入解析式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,比较 x 值大小; ③当 x,y 值均未给定,求解哪个方案更合算 /省钱时,分别令 y1 = y2,y1 >y2,y1 <y2􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,并计算出 x 的取值范围,再根据结果选取方案. 73 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 例 2　 [人教八下 P98 练习改编]某移动公司有两类收费标准,A 类收费标准如下: ①不管通话􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 时间多长,每月必须缴月租费 12 元,另外,通话费按 0. 2 元 / min 计􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍;B 类收费标准如下: ②没有月租费,但通话费按 0. 25 元 / min 计.􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 (1)分别写出 A,B 两类收费标准每月应缴费用 y(元)与通话时间 x(min)之间的函数关 系式; 审:A 类收费标准下的函数关系式:由①知每月应缴费用 =月租费+ 每分钟通话费×通话􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 时间􀪍􀪍 = 􀃊􀁉􀁖　 12　 +􀃊􀁉􀁗　 0. 2　 ×通话时间;B 类收费标准下的函数关系式:由②知每月应缴􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 费用=􀪍􀪍􀪍每分钟通话费×通话时间􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 = 􀃊􀁉􀁘　 0. 25　 ×通话时间; 列:A 类:yA = 􀃊􀁉􀁙　 0. 2x+12　 ;B 类:yB = 􀃊􀁉􀁚　 0. 25x　 ; (2)如果某用户预计每月交 55 元的话费, 那么该用户选择哪类收费标准划算? 【自主作答】解:当 y=55 时,A 类:55=0. 2x+12,解得 x=215;B 类:55=0. 25x,解得 x=220,∵215<220, ∴B 类划算. (3)根据一个月的通话时间,你认为选择哪类收费标准更实惠? 【自主作答】解:由 yA>yB,即 0. 2x+12>0. 25x,解得 x<240;由 yA<yB,即 0. 2x+12<0. 25x,解得 x>240;由 yA =yB,即 0. 2x+12=0. 25x,解得 x=240, 当通话时间为 240 min 时,选择 A,B 类都可以. 类型 3 行程问题(以下均为匀速运动) 类型 图象及背景 得到的信息 单人 单线 往返 背景:某人从甲地前 往乙地,停留一段时 间后返回甲地. 信息: ①甲、乙两地间的距离为􀃊􀁉􀁛　 s0 　 ; ②点 A 的实际意义为􀃊􀁊􀁒　 t1 时刻到达乙地　 ; 点 B 的实际意义为􀃊􀁊􀁓　 t2 时刻开始从乙地返回甲地　 ; 线段 AB 的实际意义为􀃊􀁊􀁔　 在乙地停留的时间为 t2-t1　 ; ③OA 段的速度 v1 为􀃊􀁊􀁕　 　 　 　 , BC 段的速度 v2 为􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 ; ④若 α< β,则 v1􀃊􀁊􀁗　 <　 v2(填“>”“<”或“ =”) 83 基础夯实练·河南数学 第 三 章 　 函 　 数 类型 图象及背景 得到的信息 单人 单线 单程 背景:某人从甲地前 往乙地,途中因故停 留一段时间后继续前 进并到达乙地. 信息: ①甲、乙两地间的距离为􀃊􀁊􀁘　 s0 　 ;停留地与甲地的距离 为􀃊􀁊􀁙　 s1 　 ; ②中途停留的时间为 􀃊􀁊􀁚 　 t2 - t1 　 ;到达乙地的时刻 为􀃊􀁊􀁛　 t3 　 ; ③OA 段的速度 v1 为􀃊􀁋􀁒　 　 　 　 , BC 段的速度 v2 为􀃊􀁋􀁓　 　 　 　 ; ④若 α> β,则 v1􀃊􀁋􀁔　 >　 v2(填“>”“<”或“ =”) 双人 双线 追及 背景:OA 与 BC 分别 表示 a 车与 b 车从甲 地不同时出发前往 乙地. 信息: ①􀃊􀁋􀁕 　 b 　 车比􀃊􀁋􀁖 　 a 　 车晚出发,晚出发的时间为 􀃊􀁋􀁗　 t1　 ; ②􀃊􀁋􀁘　 b 　 车比􀃊􀁋􀁙 　 a 　 车早到达乙地,早到达的时间为 􀃊􀁋􀁚　 t4-t3　 ; ③若 a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则 va􀃊􀁋􀁛 <　 vb(填 “>”“<”或“ =”); ④点 D 的实际意义为􀃊􀁌􀁒　 t2 时刻 b 车在距离甲地 s1 处 追上 a 车　 ; ⑤追及时在时间上存在等量关系: s1 va - s1 vb = t1 相遇 背景:OA 表示 a 车从 甲地前往乙地,BC 表 示 b 车从乙地前往甲 地,两车同时出发. 信息: ①a,b 两车相向而行,a 车到达乙地的时刻为􀃊􀁌􀁓　 t3 　 , b 车到达甲地的时刻为􀃊􀁌􀁔　 t2 　 ; ②若 a 车的速度为 va,b 车的速度为 vb,则 va 􀃊􀁌􀁕　 < 　 vb (填“>”“<”或“ =”); ③点 D 的实际意义为􀃊􀁌􀁖　 t1 时刻 a,b 两车在距离甲地 s1 处相遇　 ; ④相遇时在路程上存在等量关系:s0 = va t1 +vb t1 ▶▶请完成《分层作业本》P27-30 习题 93 随堂练习 2.(1)2:(2)5 1.(1)-2:2:(2)-2<m<2:m>2:三：(3)-1：-4： 命题点5一次函数的实际应用 (4)(2-m,-3m-6):(0,6):(5)(-m,3m+3) 要点归纳 2D0-1.22.15:(2(- ①x2(100-x)370x+35(100-x）④35x+3500 (3)2.(-3.2)或(1,2)：(4)(1,1)或(1,3)： ⑤(100-70)x+(75-35)(100-x)⑥-10x+4000⑦35x+ (5)(2,1)或(2，-1)；√10或32 3500≤6300⑧0≤x≤80⑨00350010124000 命题点2 函数及函数图象的分析与判断 B购进这批服装的最低费用为3500元，这批展装全部售出 要点归纳 的最大利润为4000元01250.260.250.2x+ ①图象法 ②≠③≠④≥⑤≥⑥≥⑦≠ 8> 121B0.25x ⑨>0> 【自主作答】解：当y=55时，A类：55=0.2x+12,解得x= 随堂练习 215:B类：55=0.25x,解得x=220,.215<220,.B类则算. 1.C2A 【自主作答】解：由y>y,即0.2x+12>0.25x,解得x<240:由 3.(1)②④：①356：⑤6： y<y,即0.2x+12<0.25x,解得x>240:由y=yu,即0.2x+ (2)横轴：纵轴： 12=0.25x,解得x=240. (3)45: (4)10:303030 .当通话时间小于240min时，应选择B类：当通话时间大 (5)20km/h和10km/h: 于240min时，应选择A类：当通话时间为240min时，选择 (6)18:14:30 A,B类都可以 命题点3 一次函数的图象与性质 ⑨。@1，时刻到达乙地@，时刻开始从乙地返回甲地 要点归纳 ②在乙地停留的时间为，4,8生。齿<多 11-42 2 ①一、二、三 ②，81，-41四，③4⑦05 包>8b4a 13-2 5一、三四6一、三⑦一、二，四⑧二，三四 ,图6图，，型<04，时刻b车在距离甲地 ⑨二.四0一，三①增大2二四5减小 ,处追上a车，2t8<,时刻a,b两车在距 正半轴5一二 6负半轴三、四⑧(-么 ,0) 离甲地，处相遇 9(0,b)图<红>②相反数雪相反数 命题点6反比例函数的图象与性质 随堂练习 要点归纳 ①x≠0②一、三3减小④二，四⑤增大6y=±x ⑦原点8>⑨<0，<y<2 =x+1>,8大>正：(-宁0 随堂练习 1. (0,1):一，二、三：4,1，-2，-5，-8：y=-3x-2:<,减小：<， 负（子0）.(0.-2二三四 2.(1)m≠-1：1：(2)-3：m>1:(3)-1<m≤1：(4)p<g:(5)m <-1(6)D 3.(1)3:(2)2:(3)4: (4)解：设一次函数的解析式为y=k红+b(k≠0)， 将A(1,3),B(-L,2)两点代人， 得小+6=3， k= 1 4 2 y=- ;>,一、三：减小：a<c<b:y=±x,原点：2,3,2,3 解得 x -k+b=2. 5 b= y 2 “该一次函数的解析式为y= 4(（1)y=2-1:(2)y=2x 5.(1)y=2x:(2)y=2x+6:(3)y=-2x+4:(4)y=2x+4 6543251 123456x 命题点4一次函数图象与性质的应用 随堂练习 1.(10x=6x=5:(2)xo6x<0:(3)=-3 -3 (y=-6: 121