1.3　第2课时两条直线垂直 学案 -2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

第2课时　两条直线垂直 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 一、两条直线垂直关系的判定 问题1　若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 问题2　如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 问题3　两条直线互相垂直，一定能得到两条直线的斜率之积等于－1吗？ 知识梳理 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率__________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 例1　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 反思感悟　利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 跟踪训练1　判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)． (2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)． (3)直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行． 二、求与已知直线垂直的直线方程 例2　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 反思感悟　(1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在． (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 跟踪训练2　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是(　　) A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4 (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为____________． 三、两直线垂直的综合问题 例3　(1)已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为________． (2)已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则实数m的值为________． 反思感悟　解决此类与垂直有关的平面几何问题需注意的两个关键点 (1)通过条件结合图形寻找相关的垂直关系． (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 跟踪训练3　(1)“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件 (2)若直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直，则直线l1在x轴上的截距是(　　) A．－4 B．2 C．－2 D．4 1．知识清单： (1)两直线垂直的条件． (2)求垂直直线方程． (3)直线垂直的综合应用． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．4 D．－4 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A. B．－ C．a D．不存在 3．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)三点，点D在x轴上，则当点D的坐标为_____时，AB⊥CD. 4．已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为__________． 第2课时　两条直线垂直 问题1　如图， 如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角．不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. 问题2　两条直线互相垂直． 问题3　不一定，因为两条直线互相垂直，可能其中一条直线的斜率不存在． 知识梳理 不存在 例1　解　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 由l1⊥l2，得k1k2＝－1， 即×＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 跟踪训练1　解　(1)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1， 所以l1⊥l2. (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直． 例2　解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， ∴k·(－2)＝－1， ∴k＝， 又∵直线l经过点A(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. 跟踪训练2　(1)D　[直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4.] (2)3x－5y＋15＝0 解析　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kAD·kBC＝－1， 因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. 例3　(1)9 解析　∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0， ∴2m＋n＝mn， ∴＋＝1， ∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当m＝n＝3时取等号． (2)－或－1 解析　由题意，可知两直线平行或垂直， 则 或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0， 解得m＝－或m＝－1. 跟踪训练3　(1)B　[直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直的充要条件为1×1＋1×(－a)＝0，即a＝1， 故“a2＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的必要不充分条件．] (2)C　[∵直线l1：(a＋3)x＋y＋4＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋4＝0垂直， ∴(a＋3)＋a－1＝0， ∴a＝－1， ∴直线l1的方程为2x＋y＋4＝0， ∴直线l1在x轴上的截距是－2.] 随堂演练 1．D　[两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4.] 2．BD　[当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 当a＝0时，l2的斜率不存在．] 3．(－9,0) 解析　设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0， 所以直线CD的斜率存在． 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 所以4·＝－1， 解得x＝－9， 所以点D的坐标为(－9,0)． 4．(0，－6)或(0,7) 解析　设点P的坐标为(0，y)． 因为∠APB＝90°， 所以AP⊥BP， 又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1， 所以·＝－1， 解得y＝－6或y＝7. 所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)． 学科网（北京）股份有限公司 $$