1.3 第2课时 两条直线垂直(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　两条直线垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解并掌握两条直线垂直的条件.会运用垂直的条件判定两条直线是否垂直. 2.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题. 1.斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1k2=-1(k1,k2均存在). (2)特殊地,当l1,l2中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线垂直. 2.两条直线垂直时,一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. |微|点|助|解| (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若两条直线有垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 基础落实训练 1.已知直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=-,则l1与l2 (　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.非以上情况 解析:选B　根据斜率乘积为-1,可知两条直线垂直. 2.若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有 (　　) A.α1-α2=90° B.α2-α1=90° C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180° 答案:C 3.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是　　　　.  解析:由题意可知m≠2,则kl==,解得m=. 答案: 题型(一)　判定两直线垂直 [例1]　判断直线l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3); (2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40); (3)l1经过点A(-1,2),B(5,-1),l2经过点C(1,0),D(4,6); (4)直线l1:-3x+4y+1=0,直线l2:8x+6y-3=0. 解:(1)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 则k1=-10,k2==, 因为k1k2=-1,所以l1⊥l2. (2)由点A,B的横坐标相等,得l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴,设直线l2的斜率为k2, 则k2==0, 所以l2∥x轴,故l1⊥l2. (3)直线l1的斜率k1==-, 直线l2的斜率k2==2, 因为k1k2=-1,所以l1⊥l2. (4)法一　由-3x+4y+1=0得其斜率为k1=,由8x+6y-3=0得其斜率为k2=-, 故k1k2=-1,所以这两条直线互相垂直. 法二　因为A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0, 所以这两条直线互相垂直. |思|维|建|模| 判定两直线垂直的常用方法 (1)斜率法:有两斜率均存在和一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零两种情形; (2)系数法:用两直线一般式的系数等式(A1A2+B1B2=0). 　　[针对训练] 1.已知两条直线l1和l2,其斜率分别是一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根,则其位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.异面 解析:选B　由题意,设两条直线l1和l2的斜率分别为k1,k2,且为一元二次方程k2+2 024k=1的两不等实数根,则k1k2=-1,所以l1⊥l2. 2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是 (　　) A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1 B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,) C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0) D.直线l1的斜率为,直线l2与直线2x+3y+1=0平行 解析:选BC　=tan 45°=1,=1,≠-1,故A不正确;==,=-×=-1,故B正确;==1,==-1,=-1,故C正确;直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-,k1k2≠-1,所以l1与l2不垂直,故D不正确. 题型(二)　根据两直线垂直求参数 [例2]　(1)若直线l1:ax+(1-a)y-3=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y-2=0互相垂直,则a的值是 (　　) A.-3 B.1 C.0或- D.1或-3 解析:选D　∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即(a-1)(a+3)=0,解得a=1或a=-3. (2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,则a的值为　　　.  解析:因为直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),且2≠-1,所以l2的斜率存在,而l1经过点A(3,a),B(a-2,3),则其斜率可能不存在,当l1的斜率不存在时,a-2=3,即a=5,此时l2的斜率为0,则l1⊥l2,满足题意;当l1的斜率存在时,a-2≠3,即a≠5,此时直线l1,l2的斜率均存在,由l1⊥l2得k1k2=-1,即·=-1,解得a=0.综上,a的值为0或5. 答案:0或5 |思|维|建|模| (1)由两直线垂直求参数,用A1A2+B1B2=0更方便,可避开讨论斜率是否存在的情形; (2)由垂直关系求点的坐标,先设出点的坐标,再利用k1k2=-1求解. 　　[针对训练] 3.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x-by-2=0,则“=-1”是“l1⊥l2”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A　因为直线l1:ax-y+1=0,l2:x-by-2=0,所以当l1⊥l2时,a·1+(-1)(-b)=0,即a+b=0,即=-1或a=b=0,所以“=-1”能推出“l1⊥l2”,“l1⊥l2”不能推出“=-1”,所以“=-1”是“l1⊥l2”的充分且不必要条件. 4.在平面直角坐标系内点A(4,2),B(1,-2),若在x轴上存在点C,使∠ACB=,则点C的坐标为 (　　) A.(3,0) B.(0,0) C.(5,0) D.(0,0)或(5,0) 解析:选D　设C(x0,0),则kAC=,kBC=.∵∠ACB=,∴AC⊥BC,则kAC·kBC=-1,即·=-1,解得x0=0或x0=5,∴点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D. 题型(三)　求与已知直线垂直的直线方程 [例3]　已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,4). (1)求BC边上的中线的直线方程; (2)求BC边上的高的直线方程; (3)求AC边的垂直平分线. 解:(1)由B(6,7),C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为,又A(4,0),由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为=,整理得11x+2y-44=0. (2)由B(6,7),C(0,4),得kBC==,所以BC边上的高的直线的斜率为-2.又A(4,0),则BC边上的高的直线方程为y-0=-2(x-4),整理得2x+y-8=0. (3)因为A(4,0),C(0,4),所以其中点坐标为(2,2),而kAC==-1,则AC边的垂直平分线的斜率为1,所以其方程为y-2=x-2,即x-y=0. |思|维|建|模| 与已知直线垂直的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率,再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在的情况. (2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,再由直线所过的点确定m. 　　[针对训练] 5.已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的高所在直线的方程为　　　　　　　.  解析:设BC边上的高为AD,D为垂足,则BC⊥AD,所以kAD·kBC=-1,因为kBC==-, 所以-·kAD=-1,解得kAD=.所以BC边上的高所在直线的方程为y-0=(x+5),即3x-5y+15=0. 答案:3x-5y+15=0 6.求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程. 解:由题意,可设所求直线的方程为3x+4y+b=0. 令x=0,可得y=-,即A, 令y=0,可得x=-,即B, 又∵△AOB的周长为10,即OA+OB+AB=10, ∴++=10,解得b=±10.故所求直线的方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.直线l1,l2的斜率分别为-,-,若l1⊥l2,则实数a的值是 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选A　∵l1⊥l2,∴-×=-1, ∴a=-. 2.已知直线l1的倾斜角α1=30°,若l1⊥l2,则直线l2的斜率为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选C　如图, 直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,则l2的倾斜角等于30°+90°=120°,所以直线l2的斜率为tan 120°=-. 3.已知l1:(a+sin 30°)x+y+1=0,l2:x+(tan 120°)y+2=0,若l1⊥l2,则实数a的值为 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选C　由题意l1⊥l2,则当且仅当(a+sin 30°)×1+1×tan 120°=0,即a+-3=0,解得a=. 4.已知A(-2,1),C(0,5),则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y+5=0 D.2x-y+5=0 解析:选A　因为A(-2,1),C(0,5),所以其中点坐标是(-1,3),又kAC==2,所以AC的垂直平分线所在直线方程为y-3=-(x+1),即x+2y-5=0.故选A. 5.已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为 (　　) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形 解析:选D　因为kMN=-1,kPQ=-1,所以MN∥PQ,又因为kMQ=1,kNP=1,所以MQ∥NP,所以四边形MNPQ为平行四边形.又因为kMN·kMQ=-1,所以MN⊥MQ,所以四边形MNPQ为矩形. 6.[多选]已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则 (　　) A.若l1⊥l2,则=-3 B.若l1∥l2,则ab=3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1,则a=± D.当b<0时,l2不经过第一象限 解析:选BCD　当l1⊥l2时,a+3b=0,解得=-3或a=b=0,故A错误.当l1∥l2时,-ab+3=0,解得ab=3.故B正确.在直线l1:ax-3y+1=0中,当x=0时,y=,当y=0时,x=-,所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S=··=1,解得a=±,故C正确. 由题知当b<0时,l2:y=x+的图象如图所示,故D正确. 7.已知点P(3,1),Q(0,t)是y轴上的动点,若在x轴上存在点M,使得MP⊥MQ,则实数t的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设M(x,0).①当x=3时,PM⊥x轴,点Q在原点,此时t=0;②当x=0时,kMQ不存在,kMP=,不合题意;③当x≠0且x≠3时,则由kMP·kMQ=×=-1,得t=-x2+3x=-+≤且t≠0.综上所述,实数t的取值范围是. 8.(5分)过原点作直线l的垂线,若垂足为(-2,3),则直线l的方程是　　　　　　　　　　　　.  解析:设垂足为A,则kOA==-,由题意可知kl=-=,所以直线l的方程是y-3=(x+2),整理得2x-3y+13=0. 答案:2x-3y+13=0 9.(5分)当直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时,a=　　　.  解析:∵l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程,均满足题意.故a=±1. 答案:±1 10.(5分)已知m,n为正数,且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,则m+2n的最小值为　　　　.  解析:∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直, ∴n-(n-2)m=0,∴2m+n=mn,∴+=1. ∴m+2n=(m+2n) =5++≥5+2=9, 当且仅当m=n=3时取等号. 答案:9 11.(5分)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　.  解析:如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2知,直线l2的斜率k2=k1=. ∴直线AB的斜率存在,且kAB=-=-. ∴=-,解得m=4+. 答案:4+ 12.(10分)判断下列两条直线是否垂直,并说明理由. (1)l1:y=-3x+2,l2:y=x+5;(3分) (2)l1:4x+3y=10,l2:3x-4y=5;(3分) (3)l1:y=2 025,l2:x=2 024.(4分) 解:(1)∵k1=-3,k2=,∴k1k2=-1,则l1⊥l2. (2)∵k1=-,k2=, ∴k1k2=-1,则l1⊥l2. (3)∵l1的斜率为0,l2的斜率不存在,∴l1⊥l2. 13.(10分)如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q (1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状. 解:由斜率公式得kOP==t, kQR===t,kOR==-, kPQ===-. 所以kOP=kQR,kOR=kPQ, 从而OP∥QR,OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形. 14.(10分)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使得四边形ABCD为直角梯形. 解:当A=D=90°时,如图①所示. ∵四边形ABCD为直角梯形, ∴AB∥DC且AD⊥AB,易求得m=2,n=-1. 当A=B=90°时,如图②所示. ∵四边形ABCD为直角梯形, ∴AD∥BC且AB⊥BC, ∴kAD=kBC,kAB·kBC=-1, ∴解得 综上所述,m=2,n=-1或m=,n=-. 15.(15分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;(7分) (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.(8分) 解:(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3, 由PQ⊥MN,得kPQ·kMN=-1, 即×3=-1①. 由已知得kPN=-2,由PN∥MQ,得kPN=kMQ,即=-2②. 联立①②,解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ, ∴kNQ=-kNP, 又∵kNQ=,kNP=-2, ∴=2,即x=1,∴Q(1,0). 又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴, 故直线MQ的倾斜角为90°. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$