精品解析：广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题

广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数性质得集合，然后由交集定义计算． 【详解】，又， 故选：B. 2. 已知数列满足,则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 3. 已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，再根据方向向量的知识求得. 【详解】设的斜率分别为，因为直线的倾斜角为，则， 因为，则， 又因为直线的方向向量为，则有，则有. 故选：D 4. 斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算公式计算即可求解. 【详解】由题意可知数列满足， 所以该数列前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 其中是偶数的有：2，8，34，144， 故从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为. 故选；C. 5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】连接，， 则 . 故选：A 6. 已知圆截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，所以. 圆的圆心为，半径，所以两个圆的位置关系是外离. 故选：D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正切公式求出，然后将其次式化简求值即可. 【详解】， 解得或 ， 所以， 故选：A. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据求出的一个周期为4，由为奇函数求出函数的图象关于点对称，然后求解即可. 【详解】由，则， 所以，所以的一个周期为4. 由，令，则有，所以. 因为为奇函数，所以，所以， 所以函数的图象关于点对称， 所以，所以， 令，则，即， 令，则， 令，则，而， 又因为的一个周期为4， 所以 ， 故选：B. 二、选择题.本题共有3小题，本题共18分，每小题6分.每小题有四个选项，其中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简可得，再利用余弦函数的性质进行逐项检验即可求解. 【详解】因为 . 对于A，当时，的最小值为，A正确； 对于B，因为，所以的最小正周期为B错; 对于C，当时，，则在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，D错. 故选：AC. 10. 设为等差数列的前项和，且.若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式可得单调递增，结合得且，结合单调性以及求和的性质即可求解. 【详解】因为，则，即. 故单调递增， 因为，即有且， 故数列前1012项均为负数，而第1013项以及以后各项都是正数，故的最小值是，无最大值，故A错误，B正确; 又因为，则有，故C错误，D正确. 故选:BD. 11. 如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点使直线与直线夹角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则. 对于选项A：因为，故，故A正确; 对于选项B:结合题意易得： ， 当时，取得最小值为，故B正确; 对于选项C:因为平面平面， 则平面， 所以三棱锥的体积为，故C错误； 对于选项D:因为， ， 设与的夹角为， 则， 因为，则，故不存在点使直线与直线夹角的余弦值为，故D错误. 故选:AB. 三、填空题.本题共有3小题，每小题5分，本题共15分. 12. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由极差和平均数求出，即可求出中位数. 【详解】依题意可得极差为，平均数为， 所以，解得， 所以中位线为. 故答案为： 13. 如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m. 【答案】 【解析】 【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小. 【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示： 由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为： ,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得： . 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力. 14. 已知正四面体的棱长为3，平面BCD内一动点满足，则取最小值时，直线AP与直线BC所成角的余弦值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正四面体性质由确定点轨迹，然后根据圆的性质确定最小时点位置，再建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角． 【详解】设在平面BCD的内的投影为，故为的重心，故， ， 故的轨迹为平面BCD内以为圆心，为半径的圆. 当取最小值时，三点共线时，且在BE之间时，的最小值是. 以为原点，BE所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故. 设直线AP与直线BC所成角为. 故答案为：． 四、解答题.本题共有5小题，本题共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）先由正弦定理求出，然后由三角形内角的关系求出，再由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 又， 【小问2详解】 且，则， ，由正弦定理有，即，解得. ， ， 的面积. 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）讨论的符号去绝对值，结合等差数列求和公式求解. 【小问1详解】 在等差数列中，， 解得，则 . 【小问2详解】 因为，则. 当时，数列的前项和； 当时，数列的前项和. 故. 17. 篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试，测试规定每支球队三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和为2分或以上视通过测试.现有甲、乙、丙组队参与投球测试，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙、丙两人各自命中的概率; （2）求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率. 【答案】（1）乙、丙两人各自命中的概率分别为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【小问1详解】 设乙、丙两人各自命中的概率分别为，每人是否命中互不影响， 故， 解得， 故乙、丙两人各自命中的概率分别为. 【小问2详解】 甲、乙、丙这支球队通过投球测试，则三人得分和为2分或3分. 三人得分和为3分，即甲、乙、丙三人均命中，概率为， 三人得分和为2分，即甲、乙、丙三人中恰有2人命中， 其概率为， 故甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为，所以平行四边形是矩形，则. 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可； （3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，而 所以，令，则. 设平面的一个法向量为，而， 所以，令，则， 记平面与平面的夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，不妨设则 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线CM与平面所成角为， 所以， 解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 19. 已知过点，且圆心关于直线对称的点为，过点作两条相异直线分别与相交于，，且直线和直线的斜率互为相反数. （1）求的标准方程； （2）为坐标原点，证明直线与平行； （3）设直线的斜率为正数，且直线和直线PB与轴的交点分别为，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）证明：因为直线和直线的斜率存在，且互为相反数， 故可设，其中 由，得 因为的横坐标一定是该方程的解，故可得 同理，可得 ， 所以直线与平行. （3） 【解析】 【分析】（1）根据点关于直线的对称点的知识求得，再求得的半径，从而求得的标准方程. （2）设出直线的方程并与的方程联立，求得点的横坐标，同理求得点的横坐标，进而求得的斜率，从而证得结论成立. （3）先求得的坐标，求得三角形面积的表达式，然后利用换元法和基本不等式来求得面积的最大值. 【小问1详解】 因为圆心关于直线对称的点为， 则，解得. 则圆的方程为，将点P的坐标代入得， 故圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 直线的斜率为正数，则，由（2）知， 则PA与轴交点为，同理PB与轴交点为， 则 由（2）有，则， 则， 所以， 令，则， 因为，当且仅当时等号成立， 即时，面积的最大值为， 故面积的最大值为. 【点睛】易错点睛： 小问1： 在求圆的标准方程时，计算圆心时，可能会忽略对称点的对称关系，必须确保通过对称点求解圆心时，代入公式正确无误，特别是符号和方程的解法. 小问2： 在求解交点坐标时，方程的代入需要小心，尤其是交点的横坐标和纵坐标，可能会出现计算错误，此外，验证直线是否平行时要检查斜率的符号，避免出错. 小问3： 在计算面积时，特别是在换元法和不等式中，必须小心处理中间步骤的简化，确保不遗漏重要细节，尤其是三角形面积公式中的参数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省六校（广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中）2024-2025学年高二上学期12月联合质量检测数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足,则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 3. 已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 斐波那契数列因数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题.本题共有3小题，本题共18分，每小题6分.每小题有四个选项，其中有多个选项是正确的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小值为 B. 最小正周期为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于对称 10. 设为等差数列的前项和，且.若，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. D. 11. 如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点使直线与直线夹角的余弦值为 三、填空题.本题共有3小题，每小题5分，本题共15分. 12. 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为___________. 13. 如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为________m. 14. 已知正四面体的棱长为3，平面BCD内一动点满足，则取最小值时，直线AP与直线BC所成角的余弦值为_____________. 四、解答题.本题共有5小题，本题共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 记为等差数列的前项和，已知. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. 17. 篮球三人赛参赛队伍要进行投球测试，测试规定每支球队三人各自投球一次，命中得1分，不中得0分；三人得分和为2分或以上视通过测试.现有甲、乙、丙组队参与投球测试，每人投球一次，已知甲命中的概率是，甲、乙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙、丙两人各自命中的概率; （2）求甲、乙、丙这支球队通过投球测试的概率. 18. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 19. 已知过点，且圆心关于直线对称的点为，过点作两条相异直线分别与相交于，，且直线和直线的斜率互为相反数. （1）求的标准方程； （2）为坐标原点，证明直线与平行； （3）设直线的斜率为正数，且直线和直线PB与轴的交点分别为，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $