专题5.7 二元一次方程组（5大知识点6大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.7 二元一次方程组（5大知识点6大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【知识点3】二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 【知识点4】实际问题与二元一次方程组 【知识点5】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 知识点与题型目录 【考点一】二元一次方程组及有关概念 【题型1】二元一次方程（组）的定义............................................4 【题型2】二元一次方程（组）的解..............................................5 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】代入消元法解二元一次方程组..........................................5 【题型4】加减消元法解二元一次方程组..........................................5 【题型5】整体消元法解二元一次方程组..........................................6 【题型6】换元消元法解二元一次方程组..........................................7 【题型7】二元一次方程组错题复原问题..........................................7 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题............................8 【考点三】二元一次方程组与一次函数 【题型9】二元一次方程组与一次函数............................................8 【题型10】求直线围成的图形面积...............................................9 【题型11】求一次函数的解析式................................................10 【考点四】三元一次方程组 【题型12】解三元一次方程组..................................................10 【考点五】二元一次方程组的应用 【题型13】鸡兔同笼..........................................................11 【题型14】增收节支..........................................................11 【题型15】里程碑上的数......................................................12 【考点六】直通中考与拓展延伸 【题型16】直通中考..........................................................13 【题型17】拓展延伸..........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二元一次方程（组）的定义 【例1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【变式1】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）已知是方程组的解，则a和b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【变式1】（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式2】（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 【例4】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）用加减法解下列方程组 (1) (2) 【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若方程组的解中与的差等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，则 ． 【题型5】整体消元法解二元一次方程组 【例5】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得③，将③代入②，得， 解这个一元一次方程，得．从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： (1)解方程组：； (2)在（1）的条件下，若x，y是两条边的长，第三边z的长是奇数，求第三边z的值． 【变式1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解． 按照小明的想法，可以求出方程组的解为 ． 【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得，∴， 把代入①得，∴方程组的解为 现已知x，y满足方程组，求整式的值为 ． 【题型6】换元消元法解二元一次方程组 【例6】（22-23八年级上·山东枣庄·期末）解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【变式1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决” （1）你认为谁说得对？ （填甲或乙）； （2）这个题目的解应该是 ． 【变式2】（22-23七年级下·湖北黄石·期末）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好象条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解 ． 【题型7】二元一次方程组错题复原问题 【例7】（2024七年级上·安徽·专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【变式2】（22-23七年级下·广西桂林·期中）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）选择一组α，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【变式1】已知的常数，且方程组只有唯一解，则的值为（    ） A． B． C． D．为任意实数 【变式2】（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【题型9】二元一次方程组与一次函数 【例9】（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确的有（    ）． ①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上． A．①② B．②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【题型10】求直线围成的图形面积 【例10】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【变式】（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【题型11】求一次函数的解析式 【例11】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求直线及的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求点P坐标． 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为 ，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．    【题型12】解三元一次方程组 【例12】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式2】（23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 【题型13】鸡兔同笼 【例13】（2022八年级上·全国·专题练习）在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 【变式】（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 【题型14】增收节支 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【变式2】秋天的一个周末，王明的同学去帮王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人二天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨，那么王明和他的同学共 人． 【题型15】里程碑上的数 【例15】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【变式1】（2021九年级·陕西·专题练习）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A．15 B．24 C．42 D．51 【变式2】（21-22七年级下·江苏泰州·期末）小明在匀速行驶的汽车里，某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数；30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数字的位置；再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”．则第一次看到的里程碑上的数字为 ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型16】直通中考 【例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【例2】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【题型17】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.7 二元一次方程组（5大知识点6大考点17类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4. 二元一次方程组的解 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【知识点2】二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想 2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 【知识点3】二元一次方程（组）与一次函数 1.交点坐标的求法： （1）直线与坐标轴交点：直线与轴的交点，与轴的交点, 直线与轴交点横坐标方程的解. （2）一次函数的直线与直线的交点坐标的求法：将两直线的解析式联立方程组求解。两直线的交点横纵坐标两直线解析式联立解方程组的解， 2.与函数图像有关的图像面积计算---割补法转化，充分运用已知点的坐标求解； 已知面积反求高时注意分类讨论。 （1）割补法——铅垂法求面积： 转化法——借助平行线转化： 在上找一点，得 2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设：设出含有待定系数的函数表达式. （2）代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程（组）. （3）解：解方程（组），求出待定系数. （4）代回：将求得的待定系数的值代回所设的表达式. 【知识点4】实际问题与二元一次方程组 【知识点5】三元一次方程组 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 2．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 3. 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 知识点与题型目录 【考点一】二元一次方程组及有关概念 【题型1】二元一次方程（组）的定义............................................4 【题型2】二元一次方程（组）的解..............................................5 【考点二】解二元一次方程组 【题型3】代入消元法解二元一次方程组..........................................7 【题型4】加减消元法解二元一次方程组..........................................9 【题型5】整体消元法解二元一次方程组.........................................11 【题型6】换元消元法解二元一次方程组.........................................13 【题型7】二元一次方程组错题复原问题.........................................16 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题...........................19 【考点三】二元一次方程组与一次函数 【题型9】二元一次方程组与一次函数...........................................20 【题型10】求直线围成的图形面积..............................................22 【题型11】求一次函数的解析式................................................24 【考点四】三元一次方程组 【题型12】解三元一次方程组..................................................30 【考点五】二元一次方程组的应用 【题型13】鸡兔同笼..........................................................32 【题型14】增收节支..........................................................34 【题型15】里程碑上的数......................................................37 【考点六】直通中考与拓展延伸 【题型16】直通中考..........................................................39 【题型17】拓展延伸..........................................................43 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二元一次方程（组）的定义 【例1】（23-24七年级下·吉林松原·期中）如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的系数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列方程中是二元一次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐项分析判断，即可解题． 解：A、只有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B、，有两个未知数，且未知数次数为，是二元一次方程，符合题意； C、，分母含未知数，不是二元一次方程，不符合题意； D、，只有一个未知数且未知数次数为，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，绝对值的性质，代入求值，根据二元一次方程的概念“含有两个未知数，未知数的次数为1次的整式方程”即可求解． 解：∵是二元一次方程， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【题型2】二元一次方程（组）的解 【例2】（22-23七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）方程组的解是否满足？满足的一对x，y的值是否是方程组的解？ 【答案】满足，不一定 【分析】根据“方程组”的解的定义，可知方程组的解是方程组中每个方程的解，而二元一次方程有无数个解，并不都是方程组的解． 解:满足，不一定． ∵的解既是方程的解，也满足， ∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程的解有无数组， 如，，不满足方程组． 因此满足的一对的值不一定是方程组的解． 【点拨】此题考查二元一次方程的解的定义和二元一次方程组的解的定义的区别：二元一次方程组的解一定是每个二元一次方程的解，其中一个二元一次方程的解不一定是方程组的解． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁盘锦·期中）已知是方程组的解，则a和b的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法． 将代入，得到关于a，b的二元一次方程组，进而求解即可． 解：把代入到，得 ， 解得． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 【例3】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解； （2）利用代入消元法即可解方程求解； 解:（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 【变式1】（23-24七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·河北沧州·期末）对于关于，的 二元一次方程组，佳佳通过计算发现，无论取何值，的值始终不变．则这个值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，然后代入，可得到结果． 解： 由①得， 将代入②， 解得 将代入①， 解得 方程组的解为： 那么 故答案为：． 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 【例4】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）用加减法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先去分母整理，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可． 解:（1）， 得，， 解得，， 将代入①式得，， 解得，， ． （2）整理得， 得，， 解得，， 将代入①式得，， 解得，， ． 【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）若方程组的解中与的差等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，先将方程组的两个方程相减可得，再整体代入计算即可，熟练掌握解二元一次方程组的解是解题的关键． 解： 得：， ∵与的差等于，即， ∴，解得， 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求式子的值，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键． 解:∵， ∴，整理得：， 由得：， 解得：， 把代入得：， ∴， 故答案为：． 【题型5】整体消元法解二元一次方程组 【例5】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得③，将③代入②，得， 解这个一元一次方程，得．从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： (1)解方程组：； (2)在（1）的条件下，若x，y是两条边的长，第三边z的长是奇数，求第三边z的值． 【答案】(1) (2)第三边长是5或7 【分析】此题考查了解二元一次方程组和三角形的三边关系，解决本题的关键是解二元一次方程组． （1）由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． （2）根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定第三边的值，即可解答． 解:（1） 由①得：， 将代入②得：，即， 将代入得：， 则方程组的解为． （2）∵两条边长是6和2， ∴第三边长小于8并且大于4， ∵第三边的长是奇数， ∴第三边长是5或7． 【变式1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解． 按照小明的想法，可以求出方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，设，则，根据题意可得方程组的解是，即，解之即可． 解：设，则方程组即为方程组， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·福建泉州·阶段练习）解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得，∴， 把代入①得，∴方程组的解为 现已知x，y满足方程组，求整式的值为 ． 【答案】 【分析】由①得③，把③代入②，求得，再代入③，进一步计算即可求解. 解：， 由①得，，即③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了解高次方程组、解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能够整体代入是解此题的关键． 【题型6】换元消元法解二元一次方程组 【例6】（22-23八年级上·山东枣庄·期末）解方程（组）： (1) (2)阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把，看成一个整体，设，， 原方程组可化为， 解得，∴   ∴原方程组的解为 请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法进行计算即可得； （2）设，，原方程可化为，进行计算得， 则,用代入消元法进行计算即可得． 解:（1） ①+②得：， 解得：， 把代入①得： 解得，， 则方程组的解为 ． （2） 设，， 原方程可化为， 即， ②-①得，， 把代入②得，， ∴， ∴, ∴原方程组的解为 ． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握代入消元法，整体换元法． 【变式1】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）甲乙两位同学对问题“若关于x，y的方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以通过换元替代的方法来解决” （1）你认为谁说得对？ （填甲或乙）； （2）这个题目的解应该是 ． 【答案】 乙 【分析】本题考查了二元一次方程的解．所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可． 解：（1）我认为乙说得对， 故答案为：乙； （2）， 方程组中两个方程的两边都除以4，得， ∵方程组的解是， ∴，解得， 故答案为：． 【变式2】（22-23七年级下·湖北黄石·期末）已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好象条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解 ． 【答案】 【分析】将原方程组中含和的项分别合并，两边同时除以3，得到变形后的方程组，然后运用换元思想得到新的方程组，解方程组即可． 解：方程组可变形为：， 运用换元思想得：， 解得： 故答案为：． 【点拨】本题考查了方程组的解法，体现了换元思想和整体思想，对原方程组进行变形是解题的关键． 【题型7】二元一次方程组错题复原问题 【例7】（2024七年级上·安徽·专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·广西桂林·期中）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ． 【答案】7 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 解：把把代入得：， 得：， 把代入①得：， 把代入得：， 解得：， ， 故答案为：7． 【题型8】二元一次方程组的有解、无解、无数组解问题 【例8】（2025七年级下·全国·专题练习）选择一组α，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 【变式1】已知的常数，且方程组只有唯一解，则的值为（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】B 【分析】方程组利用加减消元法表示出，根据方程组有唯一解确定出的范围即可． 解： ①-②×3得： 当即时 则方程组有唯一解时，的范围为： 故选B. 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【变式2】（23-24七年级下·北京·期中）如果关于x、y的方程组无解，那么满足 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于x的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，这是解此题的关键． 通过消元得到关于的一元一次方程，当的系数为0时，方程无解，据此求解即可． 解: 由②得：③ 把③代入①，得， 整理，得 ， 当，即时，此方程无解，原方程组也无解， 故答案为：． 【题型9】二元一次方程组与一次函数 【例9】（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求点的坐标； (2)点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)2或0 【分析】此题主要考查两条直线相交的问题，一次函数与一元一次方程，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式，掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式即可． （1）把点坐标代入可得的值； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得的值． 解:（1） 直线过点， ， ； （2）把分别代直线与直线， ∵， ∴当时，， ， 当时， ． 综上，的值为2或0． 【变式1】（23-24八年级下·浙江台州·期末）已知直线与直线，（其中，）在同一平面直角坐标系内，有两点，分别在，上．下列结论中正确的有（    ）． ①两条直线的交点在第一象限；②两条直线的交点在直线上；③；④直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上． A．①② B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及两直线的交点问题，联立两直线解析式即可判断①②；将点，分别代入对应直线解析式即可判断③；求出直线，与x轴的交点，即可判断④； 解：∵点，分别在，上 ∴ 消去可得：，即： ∴，故③正确； 由得： ∴两条直线的交点为： 点在直线上，故②正确； 当，即时，两条直线的交点在第四象限，故①错误； 令，可得直线，与x轴的交点分别为 ∴直线，与x轴的交点要么都在正半轴上要么都在负半轴上，故④正确； 故选：D 【变式2】（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知一次函数与交于点，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 解：一次函数与交于点， 则关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【题型10】求直线围成的图形面积 【例10】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；(2)的面积为；(3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 解:（1）联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【变式】（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）设直线和直线（是正整数）及轴围成的三角形面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，两直线的交点问题．先求出第k个三角形与x轴的交点横坐标为与，可得第k个三角形在x轴上这条边的长为，然后联立，求出两直线的交点坐标为，从而得到，即可求解． 解：分别令两直线中， ，， 解得：，， 即第k个三角形与x轴的交点横坐标为与， ∴第k个三角形在x轴上这条边的长为， 联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11】求一次函数的解析式 【例11】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求直线及的解析式； (2)若点P为直线上一动点，当时，求点P坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2)当时，点P坐标为或 【分析】本题主要考查待定系数法解一次函数解析式，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得的面积为，则的面积为，设，分类讨论：点在轴上方，点上方，过点作轴于点，过点作轴于点，由，代入计算；点在轴上方，点下方，，，由，代入计算；点在轴下方，，，由，代入计算；即可求解． 解:（1）直线分别与x，y轴交于，两点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵正比例函数的图象与交于点， ∴， 解得，， ∴， 把点代入正比例函数解析式得，， 解得，， ∴直线的解析式为． （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点P为直线上一动点， ∴设， 如图所示，点在轴上方，点上方，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， 解得，， ∴点P坐标为； 如图所示，点在轴上方，点下方，，， 同理，，，，， ∴，， ∴， ∴， 解得，，不符合题意，舍去； 如图所示，点在轴下方，，， 同理，，， ∴，， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，当时，点P坐标为或． 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）若一次函数 的图象与直线 平行，且过点 ，则该一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点的坐标代入一次函数解析式计算即可得解．本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一次函数解析式的k值是解题的关键． 解：∵一次函数 的图象与直线 平行， ∴， ∵一次函数过点 ∴ 解得， ∴一次函数解析式为． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为 ，点分别是线段上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ．    【答案】 5 【分析】根据一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，得到，，结合点的坐标为，得到；过点C作轴于点C，且，连接，证明，从而得到，从而的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，最小，利用一次函数解析式确定方程组求得交点坐标，利用两点间距离公式求得即可． 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴，， ∴， ∵点的坐标为， ∴ ∴， ∴， 过点C作轴于点C，且，连接， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴的最小值转化为的最小值，当A，G，E三点共线时，取得最小值， 连接，交于点，当E与Q重合时，取得最小值， ∵， 设直线的解析式，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点．    故答案为：5；． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，联立解析式方程组求交点坐标，三角形不等式求线段和的最小值，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法求解析式，联立解析式方程组求交点坐标，三角形不等式求线段和的最小值，两点间距离公式是解题的关键． 【题型12】解三元一次方程组 【例12】（23-24六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·开学考试）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设小虎足球队踢平场数是所负场数的k倍，依题意建立方程组，解方程组从而得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情况． 解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，踢平场数是所负场数的k倍 ， 把③代入①②得， 解得（k为整数）． 又∵z为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·天津和平·期末）在等式 中，当时，；当时，；当时，．则 ， ， ． 【答案】 6 【分析】此题考查了解三元一次方程组，分别代入每组数值得到三元一次方程组，解方程组即可得到答案． 解：根据题意得到， 解得 故答案为： 【题型13】鸡兔同笼 【例13】（2022八年级上·全国·专题练习）在《张丘建算经》中有一道百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？翻译为：1只公鸡价值5文钱，1只母鸡价值3文钱，三只小鸡值一文钱，一个人用100文钱买了100只鸡，问买的公鸡、母鸡、小鸡各 只？ 【答案】0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84 【分析】设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y， 均为自然数，即可求出结论． 解：设买了x只公鸡，y只母鸡，则买了只小鸡， 依题意得：， ∴． 又∵x，y，均为自然数， ∴或或或， ∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只． 故答案为：0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84． 【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式】（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察图形可知，A型纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，B型纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，设A型盒子个数为x个，可得A型纸盒需要长方形纸板的数量和B型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对①进行判断；设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，可得B型纸盒需要长方形纸板的数量和A型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对②进行判断；设制作A 型盒子a个，B型盒子b个，根据长方形纸板360张，正方形纸板120张，可得出方程组，解之即可得出a，b值，进而可对③④进行判断． 解：设A型盒子个数为x个，则A型盒子需要长方形纸板张，正方形纸板x张， ∵B型纸盒需要2个正方形纸板， ∴可制作B型纸盒的数量为个，需要长方形纸板张， ∴，故①正确； 设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板张，A型盒子有个， ∴，故②正确； 设制作A 型盒子a个，B型盒子b个， 则，解得， ∴A型盒子有72个，B型纸盒有24个， ∴B型纸盒中正方形纸板48个， 故③④正确； 故正确的个数有4个． 故选：D． 【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及二元一次方程组的应用，找准等关系，正确列出一元一次方程(或二元一次方程组)是解题的关键． 【题型14】增收节支 【例1】（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 解:（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（    ） A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得 ， 解得：， （小时）， 故答案：B． 【变式2】秋天的一个周末，王明的同学去帮王明家收梨子，上午大家全部摘梨，下午一半同学（包括王明）继续摘梨，一半同学把梨搬运到果园外的车上以备运走，结果梨都摘完了，而需搬运的梨还留下一个人二天的工作量．如果每个人每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨，那么王明和他的同学共 人． 【答案】8 【分析】根据题中总梨数相等及每搬运两筐梨的时间就能摘一筐梨可以列出两个方程，可以把人数、一人一天摘的筐数、一人一天运的梨筐数设为未知数，列出方程组即可得解． 解：设王明和他同学共x人，一人一天摘的梨筐数为a，一人一天运的梨筐数为b，根据题意得： 解得：x=8． 故答案为:8. 【点拨】本题考查了二元一次方程组的运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【题型15】里程碑上的数 【例15】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列二元一次方程组解应用题： 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下： 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9时看到的两位数中间多了个0 设：时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，回答下列问题： (1)用含x，y代数式表示：时里程碑上的数字______；时看到里程表上的数______；时看到里程表上的数______； (2)列方程组并求出时里程碑上的数． 【答案】(1)；； (2)时小明看到的两位数是51 【分析】本题主要考查了列代数式及二元一次方程组的应用，正确找出各数量关系是解题的关键． （1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 解:（1）解：∵时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程碑上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； 故答案为；，，． （2）解： ， 解得：． ∴小明在时看到里程碑上的两位数． 答：小明在时看到里程碑上的两位数是51． 【变式1】（2021九年级·陕西·专题练习）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00时看到里程碑上的数是（    ） A．15 B．24 C．42 D．51 【答案】D 【分析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：， 解得：， ∴9：00时看到的两位数是15． 10：00时看到里程碑上的数是 故选：D 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 【变式2】（21-22七年级下·江苏泰州·期末）小明在匀速行驶的汽车里，某一个时刻看到公路里程碑上的数是一个两位数；30分钟后，里程碑上的数字与第一次看到的两位数正好互换了两个数字的位置；再过20分钟，里程碑上的数是在第一次看到的两位数的两个数字中间添加了一个“0”．则第一次看到的里程碑上的数字为 ． 【答案】17 【分析】设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则30分钟后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过20分钟，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，根据多位数的表示方法可以表示出这个三个里程碑上的数，再根据速度相等，列出出方程，便可解答． 解:设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y， ∴第一个里程碑上的数为（10x+y）， 第二个里程碑上的数为（10y+x）， 第三个里程碑上的数为（100x+y）， ∵小亮是匀速行驶， ∴ 解得： ∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9， ∴x=1，y=7， ∴第一次看到的里程碑上的数字为17． 故答案为：17． 【点拨】本题是一个二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程的解法．正确理解题意并列出方程是解题的关键． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型16】直通中考 【例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【答案】(1)， (2)，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是∶ （1）根据“购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元”列方程求解即可； （2）分，两种情况讨论，根据总利润等于甲的利润与乙的利润列出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可． 解:（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 【例2】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 解:（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 【题型17】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 解:（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点的坐标为，点，分别是线段，上的动点，且，则的长为 ；当的值取最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，待定系数法求解析式，两点之间线段最短，由一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，求出，，作轴于，使得，连接，，证明，则，由，当在上时，最小，在求出直线为，直线为，联立得，求出，然后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点， ∴令，则；令，则， ∴，， 又∵点的坐标为，， ∴，， ∴， 如图，作轴于，使得，连接，， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， 设直线解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 同理可得：直线为， ∴联列方程组， ∴， ∴， ∴的纵坐标为：． ∴， 答案为：；． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$