专题5.4 应用二元一次方程组（2大知识点4大考点17类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.4 应用二元一次方程组（2大知识点4大考点17类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， . 5.行程问题 速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度. 6.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 7．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【要点提示】方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 【知识点2】实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【要点提示】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点与题型目录 【知识点一】鸡兔同笼 【题型1】年龄问题...........................................................3 【题型2】和差倍分问题.......................................................3 【题型3】分配问题...........................................................3 【题型4】古代问题...........................................................4 【知识点二】增收节支 【题型5】方案问题...........................................................4 【题型6】行程问题...........................................................5 【题型7】工程问题...........................................................6 【题型8】销售、利润问题.....................................................7 【知识点三】里程碑上的数 【题型9】根据实际问题列二元一次方程.........................................7 【题型10】根据几何图形列二元一次方程组......................................9 【题型11】数字问题..........................................................9 【题型12】几何问题.........................................................10 【题型13】图表信息问题.....................................................11 【题型14】开放型问题.......................................................12 【题型15】其他问题.........................................................12 【知识点四】直通中考与拓展延伸 【题型16】直通中考.........................................................13 【题型17】拓展延伸.........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】年龄问题 【例1】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【变式1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【题型2】和差倍分问题 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【题型3】分配问题 【例3】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【变式1】（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋． 【题型4】古代问题 【例4】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里．从上面看，有个头；从下面看，有只脚．问笼子里有几只鸡？几只兔？ 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 【变式2】（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 【题型5】方案问题 【例5】（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【变式1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 【题型6】行程问题 【例6】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 【题型7】工程问题 【例7】（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【变式1】（22-23七年级下·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【题型8】销售、利润问题 【例8】（2024七年级上·安徽·专题练习）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【变式1】（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）“一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 【题型9】根据实际问题列二元一次方程组 【例9】（23-24七年级下·广东广州·期末）某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高（    ）． ．               ．                    ．                  ． (2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（    ） ．                        ． ．                                ． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（    ） ①往烧杯中放入个大球和个小球 ②往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球和个小球 ④往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球 ．①②④⑤                ．②④⑤               ．①④⑤                ．②③④ 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【题型10】根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（16-17八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【变式1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【题型11】数字问题 【例11】（24-25八年级上·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·四川成都·专题练习）(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【题型12】几何问题 【例12】（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【变式1】（24-25八年级上·四川广元·期中）点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东韶关·期中）古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯结构就是其中最为华丽的一点．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．已知有若干个相同的木构件，其形状如图1所示．当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示，则图1中的木构件长度为 ． 【题型13】图表信息问题 【例13】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【变式1】（23-24七年级下·北京东城·期末）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式2】（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【题型14】开放型问题 【例14】（16-17七年级下·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【变式1】（20-21八年级上·辽宁铁岭·期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【变式2】如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【题型15】其他问题 【例15】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 【变式1】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型16】直通中考 【例1】（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【题型17】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【例2】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 应用二元一次方程组（2大知识点4大考点17类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】常见的一些等量关系 1.和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例. 3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量. 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， . 5.行程问题 速度×时间=路程.顺水速度=静水速度+水流速度.逆水速度=静水速度-水流速度. 6.数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 7．方案问题 在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案． 【要点提示】方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案． 【知识点2】实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 【要点提示】 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点与题型目录 【考点一】鸡兔同笼 【题型1】年龄问题...........................................................3 【题型2】和差倍分问题.......................................................4 【题型3】分配问题...........................................................5 【题型4】古代问题...........................................................7 【考点二】增收节支 【题型5】方案问题...........................................................8 【题型6】行程问题..........................................................11 【题型7】工程问题..........................................................13 【题型8】销售、利润问题....................................................16 【考点三】里程碑上的数 【题型9】根据实际问题列二元一次方程........................................18 【题型10】根据几何图形列二元一次方程组.....................................21 【题型11】数字问题.........................................................23 【题型12】几何问题.........................................................25 【题型13】图表信息问题.....................................................26 【题型14】开放型问题.......................................................28 【题型15】其他问题..........................................................30 【考点四】直通中考与拓展延伸 【题型16】直通中考..........................................................32 【题型17】拓展延伸..........................................................33 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】年龄问题 【例1】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式1】（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【题型2】和差倍分问题 【例2】（2024八年级上·全国·专题练习）1张方桌由1个桌面和4条腿组成，如果木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有木料，应用多少木料做桌面、多少术料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好能配成方桌，由题意：已知木料可以做50个桌面或300条桌腿，现有的木料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成张方桌， 由题意得， 解得， ． 答：应用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150张方桌． 【变式1】（23-24七年级下·河南南阳·期末）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意列出二元一次方程组，即可作答． 解：根据题意有：， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·山东德州·期中）一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 张铁皮做盒身， 张铁皮做盒底，恰巧配套． 【答案】 15 20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数盒底的个数；(2)制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数，列方程组求解即可． 解：设用x张制作盒身，y张制作盒底， 根据题意，得， 解得， 故答案为：15，20． 【题型3】分配问题 【例3】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可． 解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． 【变式1】（23-24七年级下·河南新乡·期末）汽车运输公司有A，B两种车型的旅游大客车，已知两种车型的座位数不同，1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，则A，B两种车型大客车的座位数分别为（    ） A．45，60 B．65，45 C．40，65 D．60，45 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．根据题意，设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个，根据1辆A型车和1辆B型车可乘坐105人，2辆A型车和1辆B型车可乘坐150人，列出二元一次方程组，解出答案即可． 解：设A型车每辆座位数为x个，B型车每辆座位数为y个， 根据题意得：， 解得： 则A型车每辆座位数为45个，B型车每辆座位数为60个， 故选：A． 【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）有一头驴子和一头骡子都驮着袋数不同的货物走街串巷，在众目睽睽之下累得大汗淋漓，驴子就抱怨负担太重了，骡子说：“你还抱怨，就省省吧！如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样！”如果每袋货物都是一样重的，那么驴子原来所驮货物的袋数是 袋． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系是关键． 设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋，根据“如果你给我一袋，那我所负担的重量就是你的两倍；如果我给你一袋，你所驮货物的重量才跟我所驮货物的重量一样”列方程组计算求解． 解：设骡子原来所驮的货物有袋，驴子有袋， 由题意可得，解得 答骡子原来所驮的货物有7袋，驴子有5袋． 故答案为：5. 【题型4】古代问题 【例4】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）有若干只鸡和兔放在同一个笼子里．从上面看，有个头；从下面看，有只脚．问笼子里有几只鸡？几只兔？ 【答案】笼子里有只鸡，只兔． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解决鸡兔同笼问题，解题的关键是能够根据题意正确列出二元一次方程组．设笼子里有只鸡，只兔，根据笼中鸡和兔共个头只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设笼子里有只鸡，只兔， 依题意，得：， 解得：． 答：笼子里有只鸡，只兔． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） 图1                     图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 【变式2】（2023·浙江宁波·模拟预测）“鸡兔同笼”是我国古代的数学名题，《孙子算经》中这样叙述：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？若设雉只，兔只，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程组．根据“雉的数量兔的数量，雉的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组． 解：根据题意可得：， 故答案为：． 【题型5】方案问题 【例5】（2024·贵州·模拟预测）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功！小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话： (1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ (2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过计算说明有多少种购买方案． 【答案】(1)甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 (2)有2种购买方案：①购进5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型；②购进2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件甲种飞船模型和b件乙种飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． （1）解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元； （2）解：设购买件甲种飞船模型和件乙种飞船模型， 根据题意得， ， ，均为正整数， 当时，； 当时，， 有2种购买方案如下： ①购买5件甲种飞船模型和5件乙种飞船模型； ②购买2件甲种飞船模型和10件乙种飞船模型． 【变式1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，整除性等知识点，根据题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键． 设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组，然后根据的整除性即可排除错误答案，得出正确答案． 解：设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组如下： ， 由得：， 将代入，得：， 解得：， 、都是正整数， 必须能被整除， 由此可知，选项、、不符合题意，选项符合题意， 此时，的确是二元一次方程组的一个正整数解， 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）为了更好的开展大课间活动，某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品，已知一个跳绳8元，一个呼啦圈12元．准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品（两种都要买且钱全部用完），则该班级的购买方案有 种． 【答案】4 【分析】设购买个跳绳，个呼啦圈，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出购买方案的数量．本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 解：设购买个跳绳，个呼啦圈， 依题意得：， ． ，均为正整数， 为3的倍数， 或或或， 该班级共有4种购买方案． 故答案为：4． 【题型6】行程问题 【例6】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 解：（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需，设从甲地到乙地上坡与平路分别为，依题意，所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解行程中的数量关系，掌握二元一次方程组解实际问题的方法正确列式是解题的关键． 解：从甲地到乙地需，从乙地到甲地需， ∴时间换算为：， 根据路程除以速度等于时间得， 故选：D ． 【变式2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面处，同时出发去距离甲的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为，乙行驶的时间为，y与x之间的关系如图所示，则C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查函数图像的应用，解题的关键是根据函数图像得到实际的含义，再列式求解．由函数图像在B点处可知50秒时甲追上乙，C点为甲到达目的地，D点为乙达到目的地，可设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，求出甲、乙的速度，再求出甲到达目的地所用的时间，即可求出点C的横坐标，求出甲到达目的地时，乙行驶的路程，即可求出点C的纵坐标． 解：依题意，设甲的速度为，乙的速度为， 由函数图像可列方程：， 解得：，， ∴甲的速度为， 甲到达目的地行驶的时间为， 此时乙距目的地的距离为： ， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【题型7】工程问题 【例7】（24-25八年级上·广东深圳·期中）为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域．深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天． 根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：乙： 从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出，两个工程队分别整治河边道路多少米． 解：选择的方程组为____________（填“甲”或“乙”） 设为_______________________； 为_________________________． 【答案】见解析 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，涉及二元一次方程组的解法，根据“两个工程队总共完成350米，共用时30天”分别列方程，求解即可得到答案． 解：选择的方程组为甲，设为工程队工作的天数；为工程队工作的天数． 根据提意得， 解此方程组得， ，， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 选择的方程组为乙， 设为工程队整治河边道路长度； 为工程队整治河边道路长度． 根据提意得， 解此方程组得， 答：，两个工程队分别整治河边道路150米和200米； 【变式1】（22-23七年级下·重庆北碚·阶段练习）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 【题型8】销售、利润问题 【例8】（2024七年级上·安徽·专题练习）一商店在某一时间将甲、乙两种商品分别打6折和7.5折销售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为180元，打完折后两种商品售价相同． (1)甲商品原销售单价为__________元，乙商品原销售单价为__________元，甲、乙两种商品打完折后售价为__________元； (2)若本次活动中售出甲、乙两种商品共20件，比按原价销售少560元，则甲、乙两种商品各销售多少件？ (3)若本次活动中售出甲、乙两种商品各一件，其中甲商品亏损25%，乙商品盈利25%，则商店卖出这两件商品总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 【答案】(1)，， (2)甲种商品8件，乙种商品12件 (3)亏损8元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，正负数的应用，理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，求解即可； （2）设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件，根据题意可列出关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）先计算出甲、乙两种商品的成本，再计算总利润即可． 解：（1）设甲商品原销售单价为x元，则乙商品原销售单价为元， 根据题意有：， 解得：， 则乙商品原销售单价为：（元）， 打折之后，两种商品的价格为：（元）， 故答案为：，，； （2）设本次活动中售出甲种商品件，乙种商品件， 根据题意有：， 解得：， 答：本次活动中售出甲种商品8件，乙种商品12件； （3）两种商品售价均为元， 则甲商品的成本价为：（元）， 乙商品的成本价为：（元）， 则总利润为：（元）， 答：商家总的是亏损，亏损8元． 【变式1】（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）“一杯山西药茶，中华百草精华”，山西药茶历史悠久、原料地道、功效显著，已逐渐发展为山西省靓丽的新名片．某茶叶经销商购进两批“路丁茶”和“槐米茶”进行销售，已知3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，则1千克“路丁茶”的价格是（    ） A．50元 B．60元 C．70元 D．80元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元，根据3千克“路丁茶”与2千克“槐米茶”共需要280元，2千克“路丁茶”与3千克“槐米茶”共需要270元，列出方程组求解即可． 解：设1千克“路丁茶”和1千克“槐米茶”的价格分别为x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴1千克“路丁茶”的价格是60元， 故选：B． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）某服装店用6000元购进A，B两种新款服装，按标价售出后获得毛利润为3800元（毛利润标价进价）．这两种服装的进价、标价如下表所示，则这两种服装共购进 件． A B 进价/（元/件） 60 100 标价/（元/件） 100 160 【答案】80 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，列出二元一次方程组，然后求解方程组即可． 设A种服装购进x件，B种服装购进y件，根据题意列出关于的二元一次方程组，然后求解即可． 解：设A种服装购进x件，B种服装购进y件． 由题意，得， 解得． 故A种服装购进50件，B种服装购进30件， 则这两种服装共购进件． 故答案为：80． 【题型9】根据实际问题列二元一次方程组 【例9】（23-24七年级下·广东广州·期末）某兴趣小组在开展“探究小球与水面高度关系”的项目式学习活动中，准备了若干体积相同的大球和体积相同的小球，并尝试将球放入一个有水的高为的圆柱形烧杯中（烧杯中原有水面高度是），以观察放入大球和小球数量和烧杯中水面高度的变化情况，兴趣小组的同学根据水面高度的变化绘制了实验结果见图（如图）． 请根据图中信息回答下面的问题： (1)放入一个小球水面升高（    ）． ．               ．                    ．                  ． (2)若放入大球、小球共个，要使水面上升到，设放入大球个，放入小球个，则下列方程不正确的是（    ） ．                        ． ．                                ． (3)现有充足的大球和小球，要使水面上升到，下面的方案正确的序号是（    ） ①往烧杯中放入个大球和个小球 ②往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球和个小球 ④往烧杯中放入个大球和个小球 ⑤往烧杯中放入个大球 ．①②④⑤                ．②④⑤               ．①④⑤                ．②③④ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据放入个体积相同的小球水面升高了即可求解； （）根据放入个体积相同的大球水面升高了，求出放入一个大球水面升高的高度，再分三种情况列方程（组）即可判断求解； （）分别求出每一种方案的水面高度即可求解； 本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，根据题意，正确求出放入一个小球和大球水面上升的高度是解题的关键． 解：（1）由题意可得，放入个体积相同的小球水面升高了， ∴放入一个小球水面升高， 故选：； （2）由题意可得，放入个体积相同的大球水面升高了， ∴放入一个大球水面升高， 设放入大球个，则由题意得，； 设放入小球个，则由题意得，； 设放入大球个，放入小球个，则由题意得，； ∴选项方程组不正确， 故选：； （3）∵， ∴方案①不正确； ∵， ∴方案②正确； ∵， ∴方案③不正确； ∵， ∴方案④正确； ∵， ∴方案⑤正确； 综上，方案正确的是②④⑤， 故选： 【变式1】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何?”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤?设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤， 根据题意，列出方程得：， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；时看里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的5倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得时看到的数字为，时看到的数字为，时看到的数字为，再根据相同时间内所走的路程相同建立方程组即可． 解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，， 故答案为：． 【题型10】根据几何图形列二元一次方程组 【例10】（16-17八年级上·福建莆田·阶段练习）在中，，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形的中线，二元一次方程组的应用，三角形的三边关系应用，解题的关键是根据题意设出未知数，列出方程，注意进行分类讨论，并注意用三角形的三边关系进行验证． 解：如图： ∵是边上的中线， ∴． 设，，则， 分两种情况分别进行讨论： （1），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，满足三角形的三边关系． （2），， 则，， 解得，， 即，． ∵， ∴． ∵， ∴，，不满足三角形的三边关系． 综上所述，，． 【变式1】（23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·全国·期中）如图，射线的端点O在直线上，的度数比的度数的2倍多，则列出关于x，y的方程组是 　               　 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键．由与互为邻补角可列出方程，根据 的度数比的度数的2倍多10°，可列出方程，联立两方程即可． 解：由题意可得：． 故答案为：． 【题型11】数字问题 【例11】（24-25八年级上·全国·课后作业）一个三位数是它各数位上数字之和的27倍．已知百位上的数字与个位上的数字之和比十位上的数字大1．若把百位上的数字与个位上的数字交换位置，则所得的新数比原数大99．求这个三位数． 【答案】这个三位数为243 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，再行进计算即可得出结果． 解：设百位上的数字为x，个位上的数字为y．则十位上的数字为， 依题意，得：, 解得, 所以． 答：这个三位数为243． 【变式1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字． 关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1，新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为． 故选C． 【变式2】（2024七年级下·四川成都·专题练习）(数字与数位)把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如的逆序数为，如果一个两位数等于其逆序数与的平均数，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字与数位问题，求解不定方程，能正确用字母表示出数字，并根据题意列式是解题的关键．设这个两位数为，则其逆序数为，列出式子，并求解不定方程即可． 解：设这个两位数为，则其逆序数为， 根据题意得：， 化简得：， 又由、的取值只能从到， 则其解为：， 这个两位数是， 故答案为：． 【题型12】几何问题 【例12】（2024·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 设小正方形的边长为，根据题意可得，求得，即每个栏目宽为，即可求解． 解：设小正方形的边长为， 由图知， 即， ∴每个栏目的宽为． 则 故中缝的宽度为． 【变式1】（24-25八年级上·四川广元·期中）点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握关于坐标轴对称的坐标特征是解题关键．根据坐标关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出、的值，再根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 解：点与点关于y轴对称， ，， ， 关于x轴的对称点的坐标是， 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·广东韶关·期中）古代中国是世界中心，诸多技艺均领先世界水平，榫卯结构就是其中最为华丽的一点．榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．已知有若干个相同的木构件，其形状如图1所示．当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为，当9个木构件紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示，则图1中的木构件长度为 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设图1中，去掉凸起的木构件长度为，凸起部分的长度为，根据题意列二元一次方程组求解即可． 解：设图1中，去掉凸起的木构件长度为，凸起部分的长度为， 由题意得：，解得：， 图1中的木构件长度为， 故答案为：． 【题型13】图表信息问题 【例13】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 解：（1）根据题意，得：， 解得： （2）设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 【变式1】（23-24七年级下·北京东城·期末）幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程组．根据题意列出关于、的二元一次方程组即可求解． 解：根据题意可得：， 解得：， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【答案】32分 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可． 解：设大圈内，小圈内得分分别为，分， 依题意得：， 解这个方程组得：， 答：小方、小军一次各得5分、9分， 则小红的得分是（分）． 故答案为：32分． 【题型14】开放型问题 【例14】（16-17七年级下·江苏南通·期中）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程． 【答案】问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨. 【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，列方程组求解即可． 解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一) 设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨． 根据题意,得， 解得. 则x+y=4+2.5=6.5(吨). 答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨． 【变式1】（20-21八年级上·辽宁铁岭·期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 解：设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 【变式2】如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【答案】 4 5 解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 【题型15】其他问题 【例15】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)试判断点是否在关于的函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在关于的函数图像上 【分析】本题主要考查了求函数解析式、函数图像上点的坐标特征等知识，根据题意确定关于的函数解析式是解题关键． （1）设，，根据题意可得，再将所给的点代入可求得的值，即可求得函数解析式； （2）将代入关于的函数解析式，即可判断点是否在关于的函数图像上． 解：（1）根据题意，可设，， 则， ∵当时，；当时，， 所以，解得， ∴关于的函数解析式为； （2）由（1）可知，关于的函数解析式为， 则当时，可有， ∴点不在关于的函数图像上． 【变式1】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（   ） A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，然后列出二元一次方程组求解即可． 解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，由题意得： ，解得：． 所以蜻蜓和蝉的只数分别是3，4． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满，此水槽的底面面积为 ． 【答案】 4 400 【分析】本题主要考查函数的图像及应用，二元一次方程组的应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键．根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到，所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案，再求出正方体铁块的体积，设注水的速度为，圆柱的底面积为，结合题意建立二元一次方程组求解即可． 解：由题意可得，12秒时，水槽内水面的高度为，12秒后水槽内水面高度变化趋势改变， 正方体的棱长为； 没有立方体时，水面上升从到，所用的时间为：秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出， 又经过4秒恰好将此水槽注满； 根据题意：正方体的体积为：， 设注水的速度为，圆柱的底面积为， 根据题意得：， 解得， 水槽的底面面积为． 故答案为：4；400． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型16】直通中考 【例1】（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 解：由题意得 故选A． 【例2】（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 【题型17】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 解：（1）设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元．所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 【例2】（23-24七年级下·江苏苏州·开学考试）今年11月份，某商场用22200元购进长虹取暖器和格力取暖器共400台，已知长虹取暖器每台进价为50元，售价为70元，格力取暖器每台进价为60元，售价为90元． 甲生产厂家：格力取暖器出厂价为每台60元，折扣数如下表所示： 一次性购买的数量 不超过150台的部分 超过150台的部分 折扣数 打九折 打八五折 乙生产厂家：格力取暖器出厂价为每台50元，当出厂总金额达一定数量后还可按下表返现金． 出厂总金额 不超过7000元 超过7000元，但不超过10000元 超过10000元 返现金金额 0元 直接返现200元 先返现出厂总金额的2%，再返现296元 (1)求11月份两种取暖器各购进多少台？ (2)在将11月份购买的两种取暖器从厂家运往商场的过程中，长虹取暖器出现的损坏（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而格力取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利35%，已知格力取暖器在原售价基础上提高5%，问长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ (3)今年重庆的天气比往年寒冷了许多，进入12月份，格力取暖器的需求量增大，商场在筹备“双十二”促销活动时，决定去甲、乙两个生产厂家都只购进格力取暖器，甲、乙生产厂家给出了不同的优惠措施：（如表格）已知该商场在甲生产厂家购买格力取暖器共支付8610元，在乙生产厂家购买格力取暖器共支付9700元，若将在两个生产厂家购买格力取暖器的总量改由在乙生产厂家一次性购买，则商场可节约多少元？ 【答案】(1)长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台 (2)元 (3)节约元或元 【分析】（1）长虹取暖器和格力取暖器的总量是，两种日光灯的总价是，可得方程组，即可得解； （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元根据题意可得：长虹取暖器销售额格力取暖器销售额总销售额，根据等量关系列出等式即可； （3）通过已知条件计算出乙生产厂家一次性购买的总支出，然后，在甲乙两家购买总支出-乙生产厂家一次性购买的总支出节约金额，注意分类讨论，在乙厂家支付的元的原价是否小于元． 解：（1）设长虹取暖器购进x台，则格力取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：长虹取暖器购进台，格力取暖器购进台． （2）设长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得：， 答：长虹取暖器调整后的每台售价比原售价多元． （3）当购买甲厂家台，共支付． 设在甲厂家购买了z台，则． 解得：． 若在乙厂家支付的元的原价小于元， 则可节约元． 若在乙厂家支付的元的原价大于元， 则可节约元． 答：商场可节约元或元． 【点拨】本题主要是考查二元一次方程组的应用，在应用中结合实际情况考虑物品的损耗和最终利润问题，切记：单价数量总价，(售价进价数量利润，利用公式解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$