2.2直线与圆的位置关系限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

直线与圆的位置关系 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 【基础巩固】 1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 2．已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1 B．3 C．0 D．4 4．若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－3 D．3 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　) A．100 B．100 C．150 D．150 6．一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 7．(5分)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________． 8．(5分)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________． 9．(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(5分) (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．(5分) 10．(12分)一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 【综合运用】 11．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2y－2＝0 B．x2＋y2＋2y－2＝0 C．x2＋y2－2y－1＝0 D．x2＋y2＋2y－1＝0 12．已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 13．若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k(x－3)的距离为，则k的取值范围是(　　) A．[－，0)∪(0，] B．[－，] C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 14．(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是________. 【创新拓展】 15．若直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A．|b|＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b＜1 D．非以上答案 16．(12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程；(5分) (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标．(7分) 直线与圆的位置关系 1．B　[∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. ∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r， 则直线与圆O的位置关系是相交．] 2．D　[设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2＝2＝4，所以6＋4＝10.] 3．CD　[设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，则l＝2， 由弦长为2，可得d＝， 即＝，解得a＝0或a＝4.] 4．A　[由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心C的坐标为(－1,2)，由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则直线3x＋y＋m＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.] 5．A　[以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45， 解得k＝1(负值舍去)，此时求得小路长度为100 m．] 6．C　[点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)， 半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝.] 7．x－y＋5＝0 解析　由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)， 所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1， 所以直线方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 8. 解析　由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝， 则有AB＝2＝2 ＝. 9．解　(1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10．解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)， 其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响． 11．D　[因为直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)， 且直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 则圆C的半径r＝＝. 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y－1＝0.] 12．A　[方法一　显然直线l有斜率， 设l：y＝kx＋b，则＝2， 即b2＝4(k2＋1)，① 又直线l与圆相切， 所以＝7，② 联立①②得，k＝－，b＝－， 所以直线l的方程为y＝－x－. 故满足条件的直线l只有一条． 方法二　如图，设圆心为P(3,4)， 则OP＝5，又O到直线l的距离为2， 且半径为7， P到l的距离为7， 即当OP⊥l时符合题意， 且只有这种情况符合题意， 故满足条件的直线l只有一条．] 13．C　[圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52， 圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意， 由圆的几何性质得圆心M(3，－4)到直线l：y－1＝k(x－3)的距离不超过，则≤， 解得k2≥3，即k≥或k≤－.] 14．0 解析　直线与圆心为C的圆相交于A，B两点， 且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)， 半径r＝＝， 所以圆心到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝，解得a＝0. 15．B　[曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分． 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示． 相切时，b＝－， 其他位置符合条件时需－1＜b≤1.] 16．解　(1)设圆心C(a,0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线， ∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆． 设圆上任一点Q(x，y)， 则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$