2.1.2圆的一般方程限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

圆的一般方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 【基础巩固】 1．(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　) A．－2 B．0 C．1 D. 2．已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　) A．3 B. C．5 D．4 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 4．已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则m的取值范围是(　　) A．(－7,13) B．(－∞，－3)∪(9，＋∞) C．(3－2，－3)∪(9,3＋2) D．(－7，－3)∪(9,13) 5．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 6．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 7．(5分)若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝________. 8．(5分)过坐标原点，且在x轴和y轴上的交点分别为(2,0)和(0,3)的圆的方程为___________． 9．(10分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围；(3分) (2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分) (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．(4分) 10．(10分)已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径；(4分) (2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆．(6分) 【综合运用】 11．若圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 12．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 13.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C的一般方程为(　　) A．x2＋y2－240x＋320y＝0 B．x2＋y2＋240x－320y＝0 C．x2＋y2＋120x－160y＝0 D．x2＋y2＋240x－160y＝0 14．(5分)已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________． 【创新拓展】 15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 16．(13分)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆． ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点． (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程；(4分) (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程；(4分) (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程．(5分) 圆的一般方程 1．ABD　[根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 解得a<1，又a∈， 则a的值可以为－2,0，.] 2．D　[圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 故它的半径为＝＝4.] 3．ABD　[A，B显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)，故C错误；D正确．] 4．D　[因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0， 所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27， 故0<m2－6m－27<82， 解得－7<m<－3或9<m<13.] 5．C　[把圆C的方程化为标准方程为 (x－2)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(2，－1)． 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)， 则 解得故C′(－2,3)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为 (x＋2)2＋(y－3)2＝5.] 6．C　[x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.] 7．2 解析　由题意得解得 则a＋b＋c＝2. 8．x2＋y2－2x－3y＝0 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意知，圆过点(0,0)，(2,0)和(0,3)， 所以 解得 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0. 9．解　(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. 由7t2－6t－1<0，得－<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝ ＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故圆的标准方程为2＋2＝. 10．(1)解　x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， 所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3. (2)证明　由(1)可知，圆的半径为定值3， 且圆心(a，b)满足方程组 即2a＋b＝2. 所以无论m为何实数，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆． 11．C　[由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，且两圆关于直线x－y－1＝0对称，则×1＝－1，解得a＝2.] 12．D　[由题意得，曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a,2a)，半径为2的圆． ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，＋∞)．] 13．B　[由题意，得A(40,40)，B(－240,0)， 设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 因为圆C经过O，A，B三点， 所以 解得 所以圆C的一般方程为x2＋y2＋240x－320y＝0.] 14．－2 解析　设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得解得 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 15．C　[由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时SP＋SQ的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以SP＝SP′，S′P＝S′P′，所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q<S′P′＋S′Q＝S′P＋S′Q. 故(SP＋SQ)min＝P′M－1 ＝－1＝9.] 16．解　(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆． 设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内． 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为 x2＋y2＝16. (3)由题意，知曲线W为中心对称图形． 设P(x0，y0)， 则x＋y＝16. 所以OP2＝x＋y(O为坐标原点)， 且－2≤y0≤2. 故OP2＝x＋y＝16－y＋y ＝－2＋， 所以当y＝时，OPmax＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$