2.1.1圆的标准方程限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

圆的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 【基础巩固】 1．圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝3的圆心和半径分别为(　　) A．(－1，－1)，3 B．(－1，－1)， C．(1,1)，3 D．(1,1)， 2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为(　　) A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 3．点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为(　　) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．与m的值无关 4．若点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是(　　) A．0<a<1 B．0≤a<1 C．a>1 D．a＝1 5．(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M的圆心为(－4,3) C．圆M的半径为5 D．圆M被y轴截得的线段长为6 6．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 7．(5分)若圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程为________________． 8．(5分)若点(1,2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，则a的取值范围是__________． 9．(10分)已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程；(5分) (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．(5分) 10．(10分)已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程；(5分) (2)若圆M上存在点P，使OP＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围．(5分) 【综合运用】 11．(多选)设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，下列说法中正确的是(　　) A．该圆的圆心为(a，－b) B．该圆过原点 C．该圆与x轴相交于两个不同点 D．该圆的半径为a2＋b2 12．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 13．(5分)某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 14．(5分)已知Rt△ABC的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上．圆M是△ABC的外接圆，则圆M的标准方程为______________． 【创新拓展】 15．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 16．(13分)如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上． (1)求AD边所在直线的方程；(6分) (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程．(7分) 圆的标准方程 1．B　[(x＋1)2＋(y＋1)2＝3，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝()2，所以其圆心和半径分别为(－1，－1)，.] 2．B　[如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2， 即r2＝(r－4)2＋62， 解得r＝， 所以拱桥的直径为13米．] 3．A　[∵(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2， ∴点P(m,3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝2外．] 4．B　[由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.] 5．ACD　[由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 得圆心为(4，－3)，半径为5，故A，C正确，B错误； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确．] 6．B　[在圆C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上， 所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1， 即(x－2)2＋(y＋2)2＝1.] 7．(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5 解析　∵圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上．设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1， ∴圆心坐标为(0,0)或(1，－1)， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 8．(－2,1) 解析　因为点(1,2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，所以(1－a)2＋(2＋a)2<9，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1. 9．解　(1)当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即线段AB的中点(0,1)为圆心， 半径r＝AB＝. 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)方法一　直线AB的斜率为k＝－3，则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程得圆心坐标是C(3,2)． r＝AC＝＝2. 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 方法二　(待定系数法) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则解得 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 10．解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得 解得 所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由(1)知M(1,1)，r＝2，故OM＝， 如图，得m＝OP∈[2－，2＋]． 11．ABC　[该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为， 因此选项A正确，D不正确； 因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，因此选项B正确； 在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中， 令y＝0，有(x－a)2＋b2＝a2＋b2，即x2－2ax＝0，则x＝2a或x＝0，因为a>0， 所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确．] 12．B　[由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， 则由 解得即P(－1,1)． ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴PC＝＝5， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.] 13．1.22 解析　以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)， ∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)， ∴ 解得 ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞． 14．(x－1)2＋y2＝9 解析　由于点C在x轴上，设点C(x,0)． 又∠ABC为直角， 所以kAB·kBC＝－1. 即×＝－1，解得x＝4，即C(4,0)， 由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形， 则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点， 则M(1,0)，所以圆M的半径为MA＝3， 因此圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9. 15．A　[设圆心C(x，y)， 则＝1， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图所示， 所以OC＋1≥OM＝＝5， 所以OC≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．] 16．解　(1)因为AB⊥AD，所以kAD＝－＝－＝－3，E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，－1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)， 即3x＋y－17＝0. (2)联立 解得A(5.8，－0.4)， 则r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8. 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8. 学科网（北京）股份有限公司 $$