精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期12月创高杯考试数学试题

创新高级中学2024年下学期高二创高杯考试 （科目：数学） （命题人：杨远帆） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．在本卷答题无效请将答案正确填写在答题卡上; 3. 卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中； 4. 考试结束后请将答题卡交回即可. 考试时间：120分钟，满分150分 卷I（选择题共计58分） 一、 选择题 （本题共计8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足 ，则 （ ） A. B. C. 3 D. 2 3. 已知，则向量与的夹角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 在等差数列中， ，则 A. 12 B. 14 C. 16 D. . 18 7. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 三、 填空题 （本题共计3小题，每题5分，共计15分）  12. 数列的前项和，则的通项公式为__________． 13. 在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______； 14. 双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则______. 四、 解答题 （本题共计5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共计77分 ） 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求数列的前10项和. 16. 已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足. （1）求点的坐标及点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 17. 如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 18. 设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”． （1）设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由； （2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A； 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点. （i）若，求直线的方程； （ii）设的斜率分别为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2024年下学期高二创高杯考试 （科目：数学） （命题人：杨远帆） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．在本卷答题无效请将答案正确填写在答题卡上; 3. 卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中； 4. 考试结束后请将答题卡交回即可. 考试时间：120分钟，满分150分 卷I（选择题共计58分） 一、 选择题 （本题共计8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ） 1. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可求得，代入点的坐标，可求得，可求椭圆方程. 【详解】因为点是椭圆上一点，且， 所以，解得，所以椭圆方程为， 又点是椭圆上一点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 2. 已知数列满足 ，则 （ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推关系直接求解即可. 【详解】因为，， 所以，，，． 故选：C 3. 已知，则向量与的夹角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】计算出即可求解. 【详解】因为， 所以向量与的夹角是. 故选：C. 4. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 5. 在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点， 则，， 所以. 故选：A. 6. 在等差数列中， ，则 A. 12 B. 14 C. 16 D. . 18 【答案】D 【解析】 【分析】先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到即可. 【详解】等差数列中， ， 故答案为D. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质. 7. 【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得： ，解得：， 双曲线方程为：. 故选：D.. 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程. 8. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 二、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可. 【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离， 对于A，圆心为到直线的距离，故A错误； 对于B，圆心为到直线的距离，故B正确； 对于C，圆心为到直线的距离，故C正确； 对于D，圆心为到直线的距离，故D正确； 故选：BCD 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 直线与平面所成角的余弦值的取值范围为 C. 若线段的中点为，则一定平行于平面 D. 四面体的体积为 【答案】AC 【解析】 【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求点到面的距离；对于B：利用空间向量求线面夹角；对于C：利用空间向量证明线面平行；对于D：结合锥体体积公式求结论. 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 对于选项A：点到平面的距离为，故A正确； 对于选项B：设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为， 所以直线与平面所成角的余弦的取值范围为，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，则， 可得，可知， 且平面，所以一定平行于平面，故C正确； 对于选项D：由题意知，所以四面体的体积为，故D错误； 故选：AC. 三、 填空题 （本题共计3小题，每题5分，共计15分）  12. 数列的前项和，则的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果． 【详解】∵，∴时，． 当时，， 当时，不满足， 则数列的通项公式为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13. 在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______； 【答案】 【解析】 【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可. 【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设面的一个法向量为， 则，当，面的一个法向量为， 则到平面的距离. 故答案为： 【点睛】本题考查空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是基础题. 14. 双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则______. 【答案】 【解析】 【分析】可设，，根据双曲线的定义及是以为直角顶点的等腰直角三角形，得，，，求得.再在中，用勾股定理，得到关于的方程，运用离心率公式计算即可. 【详解】解：设，，由， ， 又， ，又， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，即，， 在中，， ，即， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题. 四、 解答题 （本题共计5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共计77分 ） 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）数列满足，，求数列的前10项和. 【答案】（1） （2）45 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，即可写出通项公式； （2）由，应用等差数列前项和公式求和即可. 【小问1详解】 设公差为，由题设有，解得，， 所以. 【小问2详解】 由题设， . 所以数列的前10项和为45. 16. 已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足. （1）求点的坐标及点的轨迹方程； （2）若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围. 【答案】（1），轨迹方程为； （2）或 【解析】 【分析】（1）设，根据斜率之积和的中点坐标得到方程组，求出，设，直接法求出点的轨迹方程为； （2）圆心到的距离小于等于半径，列出不等式，求出答案. 【小问1详解】 设，则， 解得，故， 设，则， 整理得， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 与直线有公共点， 则圆心到的距离小于等于半径， 即，解得或， 的取值范围是或. 17. 如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点. （1）证明：平面； （2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：如图，取中点，取中点，连接，, 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面， 又底面为矩形，则. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴 建立空间直角坐标系， AI    由题意可得，，， 已知是的中点.则， 可知，， 由四边形为平行四边形， 得， 设平面的法向量， 则，取，得， 则平面的一个法向量, 故， 则.且平面，则平面. （2）不存在，理由如下： 设.设.因为， 所以.于是有. 所以. 又.设平面法向量， 则即, 所以平面的一个法向量为. 平面的一个法向量为. 则， 化简得.所以无实数解，不存在这样的点. 【解析】 【分析】（1）取中点，取中点，通过证明平面，从而建立空间坐标系，求出平面的法向量，说明即可； （2）求出平面法向量和平面的法向量，利用平面与平面的夹角为建立等式，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不存在这样的点，理由略. 18. 设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”． （1）设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由； （2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A； 【答案】（1） 是“集”，不是“集”，理由如下： 对于集合M，当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足， 当，则；当，则； 当，则；当，则； 综上所述是“集”. 对于集合N，对于向量，若存在，使得， 则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据“T集”的定义判断即可； （2）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为， 且公差为2，故. 则向量的坐标中必含，设另一坐标为， 则或. 所以或， 故或， 所以或，所以或， 所以或即. 此时，不满足; 或，满足; 所以只可能为. 经检验是“集”，所以. 19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合. （1）求椭圆与抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点. （i）若，求直线的方程； （ii）设的斜率分别为，求的值. 【答案】（1）， （2）（i）或；（ii）2 【解析】 【分析】（1）根据离心率及2椭圆上的点求椭圆方程，再由椭圆右焦点得出抛物线方程； （2）（i）设出直线方程，分别联立椭圆与抛物线，由根与系数的关系及弦长公式，由题意建立方程，解出斜率即可得直线方程； （ii）分别由斜率公式表示出斜率，计算化简即可得解. 【小问1详解】 根据题意可知， 解得 概圆的方程为. ， 抛物线的方程为. 【小问2详解】 如图， （i）设的方程为， 联立化简得，显然， 设，则， 所以 ， 联立化简得，显然， 设，则， 所以 因为，所以， 即，即， 所以直线的方程为或. （ii）设，则， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $