1.5.2点到直线的距离 限时训练 -2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

点到直线的距离 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 【基础巩固】 1．(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　) A．3x＋4y－21＝0 B．4x＋3y－21＝0 C．x＝3 D．y＝3 2．已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为(　　) A．1 B．2 C. D．2 3．若原点到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为(　　) A．c2＝a2＋b2 B．a2＝b2＋c2 C．b2＝a2＋c2 D．c＝a＋b 4．点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　) A．－ B．－ C. D. 6．(多选)已知平面上一点M(2,1)，若直线上存在点P使PM＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x B．y＝ C．y＝x＋1 D．y＝2x＋1 7．(5分)倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________________________． 8．(5分)经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________． 9．(10分)已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 10．(10分)已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直． (1)求直线l的方程；(4分) (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程．(6分) 【综合运用】 11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(1,2) B．(3，－4) C．(2，－1) D．(4，－3) 12．当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为(　　) A．3，－3 B．5,2 C．5,1 D．7,1 13．已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点P的坐标为(　　) A．(0，－2) B．(2,4) C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1) 14．(5分)已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 【创新拓展】 15．(5分)已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点A(1，－3)到直线l的距离为______． 16．(11分)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；(5分) (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．(6分) 点到直线的距离 1．AC　[当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0.由题意可得＝2，解得k＝－，所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为 x＝3或3x＋4y－21＝0.] 2．C　[由已知得，＝－a，＝1，∵l1⊥l2， ∴－a×1＝－1， 解得a＝1. 此时直线l1的方程为x＋y－1＝0， ∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝.] 3．A　[原点O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为1， 则＝1，整理得c2＝a2＋b2.] 4．A　[直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3.] 5．AB　[由点到直线的距离公式可得 ＝， 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， 解得a＝－或－.] 6．AB　[直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离小于或等于1，否则不是“切割型直线”． 对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为＝1，A正确； 对于B，点M到直线y＝的距离为<1，B正确； 对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为＝>1，C错误； 对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为＝>1，D错误．] 7.x－y＋10＝0或x－y－10＝0 解析　因为直线斜率为tan 60°＝， 所以可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 由直线与原点的距离为5， 得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10. 所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 8．2 解析　设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离d＝＝1， 所以λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以过两直线交点且和原点相距为1的直线的条数为2. 9．解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为 ＝，即x－2y＋3＝0. 设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 则d＝＝. 由两点间距离公式得BC＝＝2，所以S＝BC·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 10．解　(1)由题意知直线l的斜率为1，则所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0，由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2， 解得c＝1或c＝5. 所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 11．AC　[设点P的坐标为(a,5－3a)， 由题意得＝， 解得a＝1或2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．] 12．C　[直线l恒过点A(－3,3)， 根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.] 13．C　[直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2,4)； 当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)．] 14. 解析　设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 且＝PA. PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 15. 解析　因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，所以 所以0<a<2， 又a∈Z，所以a＝1， 所以直线l的方程为y＝2x－1， 即2x－y－1＝0， 所以点A(1，－3)到直线l的距离为＝＝. 16．解　(1)当a＝0时，联立 解得 即m与n的交点为(－21，－9)． 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0， 此时m∥n； 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0， 此时m⊥n. 学科网（北京）股份有限公司 $$