第09讲 角（6个知识点+8种题型+过关检测）-2024-2025学年六年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

第09讲 角（6个知识点+8种题型+过关检测） 知识点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点三、角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点四、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点五、角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点六、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型一：角的概念（共3题） 1.下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大 2.如图，下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个角 B． C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和 3．如图所示,小于平角的角有(　　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 题型二：角的大小比较（共3题） 1.如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 2.如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 3．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 题型三：角度的换算（共3题） 1．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 题型四：方向角的表示（共4题） 1．（22-23六年级下·上海普陀·期末）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的（　）    A．东偏南方向 B．西偏南方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列各图中，射线表示北偏西方向的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，那么码头在轮船的（　　） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 4．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）若乙在甲的北偏东方向，则甲在乙的 方向． 题型五：角度的计算（共4题） 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图所示，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）如图是用量角器测量角度的结果，如果，那么的度数是 ． 4．（2024六年级下·上海·专题练习）如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 题型六：尺规作图（共3题） 1.已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 2．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    3.已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 题型七：角平分线有关计算（共4题） 1．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么 ．    2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）如果，，是的平分线，那么的度数是 ． 4．（20-21六年级下·上海宝山·期中）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分．    (1)求的度数． (2)如果A、O、E三点不在同一条直线上，其他条件不变，试问和之间有什么数量关系，简要说明理由． 题型八：与余角补角有关的计算（共6题） 1．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）已知，那么的余角＝ ． 4．（22-23六年级下·上海长宁·期末）已知与互补，，则的大小是 ． 5．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，与互补，且平分，平分，则 ． 6．（20-21六年级下·上海奉贤·期末）已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）下列说法中，正确的有(   ) ①角的平分线是一条直线                ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短                ④如果，那么余角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）已知、两地的位置如图所示，且，那么下列说法中正确的是（   ） A．地在地的北偏东方向 B．地在地的南偏西方向 C．地在地的北偏东方向 D．地在地的南偏西方向 4．（20-21六年级下·上海·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 二、填空题 5．（22-23六年级下·上海静安·期末）已知，则的补角的大小为 ． 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 7．（22-23六年级下·上海松江·期末）已知的余角等于57°32′，那么 ． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 9．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 10．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 度． 11．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如果，，，那么、、从小到大的排序是 （即用“”连接）． 12．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如图，、分别是、的平分线，如果，那么的大小为 （结果用度、分、秒表示）．    13．（23-24六年级下·上海·期末）已知A、B两地的位置如图所示，且， B地在A地的 方向．    14．（20-21六年级下·上海·期末）用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角是 ． 15．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，是的平分线，，则比大 度． 16．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    17．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 18．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，，那么的度数是 ． 三、解答题 19．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    20．根据下列语句在图中画图，并回答相应问题； 已知：∠AOB． （1）作射线OA的反向延长线OE； （2）向上作射线OC，使∠AOC＝90°； （3）作一条射线OD，使∠COD＝∠AOB； （4）图中小于平角的角共有_____个角． 21．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 22．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，点A、O、E在同一直线上，平分，平分． (1)在图中画出射线； (2)已知和互余，求的大小． 23．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 24．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 25．（20-21六年级下·上海长宁·期末）已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 角（6个知识点+8种题型+过关检测） 知识点一、角的概念 1． 角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 要点归纳： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 要点归纳： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 知识点二、角的比较与运算 1.角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 要点归纳： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位． 2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种． 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 知识点三、角的和、差关系 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 要点： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 知识点四、角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 要点归纳：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点五、角平分线的画法 ①用量角器作角平分线 ②尺规作角的平分线 下面我们探究用尺规作角的平分线． 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法： (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； (2)分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线(如图)． 知识点六、余角和补角 1.定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角． 类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角． 2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等． 要点归纳： (1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关． (2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。 题型一：角的概念（共3题） 1.下列说法中，正确的是（    ） A．两条射线组成的图形叫做角 B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角 C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．角的边越长，角越大 【答案】C 【分析】根据角的动态定义和角的静态定义解答． 【解析】解：A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意； B、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故此选项不符合题意； C、角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故此选项符合题意；； D、角度的大小与边的长短无关，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了角的动态定义，解题关键是熟练掌握角的动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边． 2.如图，下列说法正确的是（    ） A．与表示同一个角 B． C．与表示同一个角 D．图中只有两个角，即和 【答案】A 【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点来表示，由此可得结论． 【解析】A．与表示同一个角，故该选项正确； B. 不一定成立，故该选项错误； C. 与表示同一个角，故该选项错误； D.图中有三个角，为、和，故该选项错误． 【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键． 3．如图所示,小于平角的角有(　　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】分别根据以A，B，C，D，E为顶点得出角的个数即可． 【解析】解：符合条件的角中以A为顶点的角有1个， 以B为顶点的角有2个， 以C为顶点的角有1个， 以D为顶点的角有1个， 以E为顶点的角有2个， 故有1+2+1+1+2=7个角． 故选C． 【点睛】此题主要考查了角的定义，根据已知分别得出角的个数是解题关键． 题型二：角的大小比较（共3题） 1.如图，与之间的关系是（    ） A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】B 【分析】利用度量法测量各角，故可求解． 【解析】用度量法测得∠1=24°，∠2=24° ∴． 故选B． 【点睛】此题主要考查角度的大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． 2.如图，，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【分析】先根据得出，故可得出结论． 【解析】解：， ，即． 故选：C． 【点睛】本题考查的是角的大小比较，熟知角比较大小的法则是解答此题的关键． 3．如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【解析】解：由图1可知： 角在内， 由图2可知： 角在外， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 题型三：角度的换算（共3题） 1．（23-24六年级下·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的运算，根据，，进行角度的加法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的四则运算，掌握角度的四则运算法则是解题关键．根据角度的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24六年级下·上海闵行·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查角度的四则运算，掌握角度的四则运算法则是关键．根据角度的减法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型四：方向角的表示（共4题） 1．（22-23六年级下·上海普陀·期末）、两个城市的位置如图所示，那么城在城的（　）    A．东偏南方向 B．西偏南方向 C．南偏东方向 D．北偏东方向 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】根据方向角的定义进行解答即可． 【详解】如图，城在城的南偏东方向， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，准确读图是解题的关键． 2．（22-23六年级下·上海长宁·期末）下列各图中，射线表示北偏西方向的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】根据上北下南，左西右东的法则，结合度数解答即可． 【详解】∵射线表示北偏西方向，只有C选项符合， 故选C． 【点睛】本题考查了方位角的应用，正确理解方位角的意义是解题的关键． 3．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知轮船在码头的北偏东方向上，那么码头在轮船的（　　） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．南偏西方向上 D．南偏东方向上 【答案】B 【知识点】方向角的表示 【分析】考查了方向角，此题很简单，只要熟知方向角的定义便可解答． 轮船在码头的北偏东方向上这是以轮船码头为基准的方位图，而要求码头在轮船的方位则是以为基准． 【详解】解：如图所示： 码头在轮船的南偏西方向上． 故选：B． 4．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）若乙在甲的北偏东方向，则甲在乙的 方向． 【答案】南偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】根据题目的已知条件画出图形，进行分析即可解答． 【详解】解：由题意，    ∴甲在乙的南偏西方向， 故答案为：南偏西． 【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键． 题型五：角度的计算（共4题） 1．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）根据下图所示，下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角度的运算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据角度之间的数量关系判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故符合题意； B中，正确，故不符合题意； C中，正确，故不符合题意；     D中，正确，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）用一副（两块）三角尺不可能画出的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：∵一副三角板中的角度有、、、， ∴A、不能画出的角度，故选项A符合题意， B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）如图是用量角器测量角度的结果，如果，那么的度数是 ． 【答案】/80度 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】依据，，可得，再根据，可得，进而得出的度数．此题主要考查了角的计算，关键是理清角之间的和差关系． 【详解】解：由图可得，，， ， 又， ， ， 故答案为：． 4．（2024六年级下·上海·专题练习）如图，点是直线上一点，比小，求和的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】根据平角的定义以及角的和差关系解决此题．本题主要考查平角、角的和差关系，熟练掌握平角的定义、角的和差关系是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵比小， ∴． ， ． ． ． 题型六：尺规作图（共3题） 1.已知射线BC，∠β，用直尺和圆规作∠ABC，使∠ABC=∠β（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】根据尺规作角的方法即可求解． 【解析】如图，∠ABC为所求． 【点睛】此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知尺规作角的方法． 2．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 3.已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母） 【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求． 【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 题型七：角平分线有关计算（共4题） 1．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）如图，点O与量角器中心重合，与零刻度线叠合，与量角器刻度线叠合，是的角平分线，那么 ．    【答案】/55度 【知识点】角的概念理解、角平分线的有关计算 【分析】根据角的概念与角平分线的定义解决此题． 【详解】解：由题意得， 是的角平分线， 故答案为： 【点睛】本题考查了角、角平分线，解题关键是掌握角的概念以及角平分线的定义． 2．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）在同一平面内，已知，与互余，且平分，则 °． 【答案】13或45 【知识点】角平分线的有关计算、求一个角的余角 【分析】本题主要考查的是余角的定义、角平分线的定义．先求得的度数，然后依据题意画出图形，然后依据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，与互余， ． 如图1所示：， 平分， ． 如图2所示： ， 平分， ． 故答案为：13或45． 3．（2024六年级下·上海·专题练习）如果，，是的平分线，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】结合已知条件，分在内部或外部两种情况分类讨论，根据角平分线定义及角的和差进行计算即可．本题考查角平分线的定义及角的和差运算，由题意分在内部或外部两种情况分类讨论并画出对应图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当在内部时， ，， ， 平分， ； 如图，当在外部时， ，， ， 平分， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 4．（20-21六年级下·上海宝山·期中）如图所示，A、O、E三点在同一条直线上，平分，平分．    (1)求的度数． (2)如果A、O、E三点不在同一条直线上，其他条件不变，试问和之间有什么数量关系，简要说明理由． 【答案】(1)； (2)．理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线定义，得到，，再结合，即可得到； （2）由（1）过程可知：． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴ ， ∴； （2），理由如下： 当A、O、E不在同一条直线上， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查利用角平分线定义求角度，涉及角平分线定义等知识，熟练掌握相关定义，数形结合准确表示各个角度之间的和差倍分是解决问题的关键． 题型八：与余角补角有关的计算（共6题） 1．（23-24六年级下·上海·期末）下列四个说法错误的是（    ） A．若，则的余角的度数为 B．一个锐角的余角比这个角的补角小 C．互补的两个角一个是锐角一个是钝角 D．如果大于，那么的补角小于的补角 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 若，则的余角的度数为，说法正确； B. 一个锐角的余角比这个角的补角小，说法正确； C. 互补的两个角一个是锐角一个是钝角，也有可能是两个直角，原说法错误； D. 如果大于，那么的补角小于的补角，说法正确； 故选C． 2．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，一副三角尺（度数分别为、、和、、）按下面不同的方式摆放，其中的图形有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了余角和补角，三角板中角度的计算，掌握邻补角的定义及“同角的余角相等”、“等角的补角相等”是解决本题的关键． 利用互余、互补关系，邻补角的定义逐个分析得结论． 【详解】解：图（1）中，由于，，可得到； 图（2）中，根据“同角的余角相等”，可得到； 图（3）中，根据“等角的补角相等“，可得到； 图（4）中，由于，，所以． ∴的图形有（1）（2）（3）． 故选：C． 3．（23-24六年级下·上海松江·期末）已知，那么的余角＝ ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角、角度的四则运算 【分析】本题考查了余角和补角，度分秒的换算，熟练掌握互为余角的定义是解题的关键 如果两个角的和为90°，那么这两个角化为余角，据此计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， 故答案为：． 4．（22-23六年级下·上海长宁·期末）已知与互补，，则的大小是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】根据与互补，得到，代入计算即可． 【详解】∵与互补， ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个角的互补即两个角的和为，正确理解定义，熟练掌握计算方法是解题的关键． 5．（22-23六年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，与互补，且平分，平分，则 ． 【答案】/20度 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义．根据补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结果． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（20-21六年级下·上海奉贤·期末）已知点O为直线AB上一点． (1)如图1，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝3：2，求∠AOC与∠BOC的度数； (2)如图2，射线OC为∠AOB内部任意一条射线，射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，写出∠DOE＝　 　°，此时图中互余的角有 　 　对，互补的角有 　 　对． (3)如图3，在第（2）小题情况下，保持∠DOE的度数不变，但改变其他条件，并使得射线OC是∠BOD的角平分线，此时∠AOD与∠COE满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． (2)90，4，5． (3)∠AOD＝2∠COE．理由见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x.然后根据平角180°列方程求得x，进而完成解答； （2）先根据角平分线的定义可得∠COD＝∠AOC、∠COE＝∠BOC，然后再结合∠DOE＝∠COD+∠COE即可求得90°；然后根据余角、补角的定义即可确定余角和补角的对数； （3）根据射线OC是∠BOD的角平分线可得∠BOC＝90°﹣∠AOD，然后再根据∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°即可解答． 【详解】（1）解：设∠AOC＝3x，则∠BOC＝2x， 根据题意得：3x+2x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠AOC＝180°，∠BOC＝72°． （2）解：∵射线OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线， ∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOC， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝（∠AOC+∠BOC） ＝×180° ＝90°； ∵∠COD+∠COE＝90°，∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°， ∴互余的角有4对； ∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠COD+∠BOD＝180°，∠BOE+∠AOE＝180°，∠COE+∠AOE＝180°，∠AOC+∠BOC＝180°， ∴互补的角有5对． 故答案为：90，4，5． （3）解：∠AOD＝2∠COE．理由如下： ∵射线OC是∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣∠AOD， ∵∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOD+（90°﹣∠COE）+（90°﹣∠AOD）＝180°， ∴∠AOD＝2∠COE． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、补角、余角的定义，灵活运用相关定义成为解答本题的关键． 一、单选题 1．（22-23六年级下·上海浦东新·期末）下列说法中，正确的有(   ) ①角的平分线是一条直线                ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短                ④如果，那么余角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】根据角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角的定义，即可解答． 【详解】A、角平分线是射线，不是一条直线，原说法错误，故此选项不符合题意； B、连接两点的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； C、两点之间，线段最短，原说法错误，故此选项不符合题意； D、如果，那么余角的度数为，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，两点的距离的定义，线段的性质，余角的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质． 2．（23-24六年级下·上海闵行·期末）如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含角的直角三角尺，“乙”尺是含角的直角三角尺，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，α与β一定相等的是②③． 故选B． 3．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）已知、两地的位置如图所示，且，那么下列说法中正确的是（   ） A．地在地的北偏东方向 B．地在地的南偏西方向 C．地在地的北偏东方向 D．地在地的南偏西方向 【答案】D 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的定义，据此即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴地在地的北偏东方向；地在地的南偏西方向． 故选：D． 4．（20-21六年级下·上海·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．由两条射线组成的图形叫做角 B．一个角的余角一定比这个角小 C．钝角没有余角只有补角 D．平分一个角的直线叫做这个角的平分线 【答案】C 【知识点】角的概念理解、角的分类、求一个角的补角 【分析】根据角的定义、角平分线的定义和角的相关性质判断即可； 【详解】具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故A错误； 如的余角是，，故B错误； 钝角没有余角只有补角，故C正确； 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，故D错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的定义、角平分线的定义、角的认识，准确分析判断是解题的关键． 二、填空题 5．（22-23六年级下·上海静安·期末）已知，则的补角的大小为 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了补角的性质，熟练掌握互为补角的两个角的和等于是解题的关键．根据补角的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的补角为：． 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了度分秒的换算，利用度分秒的转换关系进行计算即可，准确进行计算是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（22-23六年级下·上海松江·期末）已知的余角等于57°32′，那么 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角 【分析】根据余角的定义即可求出． 【详解】∵的余角等于， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的定义和度分秒的换算；熟练掌握两个角的和为90°的互余关系和度分秒的换算是解题的关键． 8．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）如图，如果，，那么 ． 【答案】90 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角度之间的和差关系，由题意可知，，根据图形可知，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 则， 故答案为：90． 9．（23-24六年级下·上海青浦·期末）如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线上．如果， 那么的度数为 度． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到，然后进一步求出，熟知余角和补角的概念是解题的关键． 【详解】解：三角尺的直角顶点C正好在直线上， ， ， 故答案为：． 10．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如果是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下是 度． 【答案】18 【知识点】角的单位与角度制 【分析】放大镜只能改变线段的大小，无法改变角的大小，计算即可． 【详解】在10倍的放大镜下是18度， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了角的大小比较，熟练掌握角的大小比较的实质是解题的关键． 11．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如果，，，那么、、从小到大的排序是 （即用“”连接）． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】把化成用度和分来表示即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的大小，熟练掌握度分秒之间的相互转化是解题的关键． 12．（22-23六年级下·上海宝山·期末）如图，、分别是、的平分线，如果，那么的大小为 （结果用度、分、秒表示）．    【答案】 【知识点】角的单位与角度制、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的概念以及角的和的关系，找到和之间的关系． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义的应用，重点是能够用几何式子根据角平分线的概念表示角之间的倍分关系． 13．（23-24六年级下·上海·期末）已知A、B两地的位置如图所示，且， B地在A地的 方向．    【答案】北偏东 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角的表示是解题的关键． 根据方向角的定义作答即可． 【详解】解：如图，记在的正北方向，    ∴， ∴， ∴ B地在A地的北偏东方向， 故答案为：北偏东． 14．（20-21六年级下·上海·期末）用一副直角三角尺（一把直角尺和一把直角尺）可以在纸上画出的最大钝角是 ． 【答案】150 【知识点】角的分类、三角板中角度计算问题 【分析】首先我们找到这一副三角板的度数，一把为：、、，一把为：、、.从两幅中任意各选一个度数进行组合，找到最大的钝角即可解题． 【详解】因为； ； ； ； ； 所以用一副三角尺可以拼出105度，120度，135度，150度的钝角，其中最大是150度的钝角． 故答案为：． 【点睛】本题考查了钝角的概念，注意钝角是大于小于的角，熟悉三角板的度数也是解题的关键． 15．（23-24六年级下·上海松江·期末）如图，是的平分线，，则比大 度． 【答案】50 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，能理解角平分线的定义和角的和与差是解此题的关键 根据角平分线定义得出，再根据角的和与差即可得出答案． 【详解】解：是的平分线， ， ． 故答案为：50． 16．（23-24六年级下·上海·期末）如图，点O在直线N上，在上方，、分别平分、，如果，那么 ．    【答案】/88度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差，先根据角平分线的定义得到，，然后根据解题即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 17．（23-24六年级下·上海宝山·期末）已知平面内，，射线、分别平分、，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的运算，根据题意分两种情况，分别画出图形求解即可，解答本题的关键是分类讨论． 【详解】解：当和在的同一侧时，如图， ∵射线、分别平分、，，， ∴，， ∴； 当和在的两侧时，如图， 同理可得，， ∴， 综上，的度数是或． 故答案为：或． 18．（23-24六年级下·上海闵行·期末）已知，，那么的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角度的计算．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，分在内部，在外部，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，， 分在内部，在外部，两种情况求解； 当在内部， ∴； 当在外部， ∴； 综上所述，的度数是或， 故答案为：或． 三、解答题 19．已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=∠α+2∠β．（不写作法，标明字母）    【答案】见解析 【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可． 【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N； 作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB外部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=∠α+2∠β，∠AOB即为所求．    【点睛】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键． 20．根据下列语句在图中画图，并回答相应问题； 已知：∠AOB． （1）作射线OA的反向延长线OE； （2）向上作射线OC，使∠AOC＝90°； （3）作一条射线OD，使∠COD＝∠AOB； （4）图中小于平角的角共有_____个角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）9 【分析】（1）根据题意画图即可，作射线OA的反向延长OE； （2）根据题意利用三角板画图即可，使∠AOC＝90°； （3）根据题意利用量角器画图即可，使∠COD＝∠AOB； （4）根据已知的图形，将所有的角表示出来，平角除外，即可求得答案． 【解析】（1）如图，作射线OA的反向延长OE； （2）如图， （3）如图 （4）图中小于平角的角有,共计9个角； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了画射线，角的定义，理解题意，掌握角的定义是解题的关键． 21．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会发生变化等于，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）由分别平分得，从而得到，代入数值即可得到答案； （2）由分别平分得，结合，即可求得，得到答案． 【详解】（1）分别平分和， ， ， 故答案为：； （2）解：分别平分和， ， ， 的度数不变， 的大小不会发生变化等于． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义等，解题的关键是熟练运用半角的和差关系． 22．（2023六年级下·上海·专题练习）如图，点A、O、E在同一直线上，平分，平分． (1)在图中画出射线； (2)已知和互余，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角，解题的关键是根据余角和补角的概念表示出已知角的余角和补角． （1）根据角平分线的定义画出图形即可； （2）因为平分，平分，所以，，因为和互余，则和互余，则． 【详解】（1）解：根据角平分线的定义画出射线，如图所示． （2）∵平分，平分， ∴，， ∵和互余， ∴， ∴， ∴， ∴的大小为． 23．（22-23六年级下·上海普陀·期末）定义：如果两个角的度数的和是，那么这两个角叫做互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如：，，因为，所以和互为半余角． (1)如果，是的半余角，那么的度数是_______； (2)如图，已知，射线在的内部，满足，是的平分线． ①在的内部画射线，使．并写出图中的半余角：________； ②是的半余角，当是的时，求的度数． 【答案】(1) (2)①画图见解析；，. ②度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据半余角的定义进行计算即可得； （2）①在的内部画射线，使，则，，根据是的平分线得，即可得；②设，则，，根据是的半余角得，当是的时，，若射线在内，则，即，计算得；若射线在外，则，则，计算得；即可得． 【详解】（1）解：∵，是的半余角， ∴， 故答案为：； （2）解：①在的内部画射线，使，如图所示： 则， ， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的半余角有：，； ②设，则， ∴， ∵是的半余角， ∴， 当是的时，， 如图所示，若射线在内， 则， ∴， ， ； 如图所示，若射线在外， 则， ∴， ， ； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了半余角，角平分线的定义，解题的关键是掌握这些知识点，分类讨论． 24．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 25．（20-21六年级下·上海长宁·期末）已知，与互余，与互补． (1)如图，当点B在的内，且点B、D在的同侧时． ①若，则________． ②若是的角平分线，则_______．（用含的式子表示） (2)直接写出所有可能的度数是_________． 【答案】(1)①；②． (2)或． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据与互余，得到，根据角的和差即可算出．②因为，与互补，所以根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可求出的度数． （2）注意分情况讨论：如图1：；如图2：；如图3：求出每种情况的角的度数，即为该题的答案． 【详解】（1）解：① ∵，与互余， ∴， ∵， ∴， ． ②∵，与互补 ∴， ∵平分 ∴， ∴ ＝－ ． （2）解：如图1： ，，， ∴． 如图2： 如图3： ∴或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义；解题的关键是利用了互余的定义，角平分线的定义以及角的和差进行计算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$