精品解析：湖南省邵阳市新邵县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

新邵二中2024年下学期期中考试高二数学试题 制卷人；刘斯斯 审卷人：周万民 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则实数t的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：B 2. 直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，最后化为一般式. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线方程为，整理得. 故选：B 3. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据截距的定义进行求解. 【详解】中，令，解得，令，， 故. 故选：B 4. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示可得，进而求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】将两圆方程写成标准式，计算出两圆圆心距，利用几何法可判断出两圆的位置关系. 【详解】圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 圆：的标准方程为，圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为相交. 故选：C. 6. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法、减法法则化简可得结果. 【详解】. 故选：D. 7. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，可得圆的半径，即可根据标准式求解圆的方程. 【详解】点到直线的距离为， 故圆的半径为， 因此圆的方程为， 故选：D 8. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，则下述正确的是（ ） A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部 C. 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可 【详解】由，得，则圆心，半径， 所以A正确， 对于B，因为点到圆心的距离为，所以点在圆C的外部，所以B错误， 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C相切，所以C正确， 对于D，圆的圆心为，半径， 因为，， 所以圆与圆C相交，所以D正确， 故选：ACD 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线平行的条件即可求解. 【详解】由已知两条直线平行，应当满足关系，解得. 故答案为：. 13. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面平行，得法向量平行，即可根据向量的坐标运算求解. 【详解】根据，可得，故，解得， 故， 故答案为： 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算，的中点为，边的垂直平分线的斜率，得到直线方程. （2）计算，到直线的距离为，得到面积. 【小问1详解】 ，故边的垂直平分线的斜率，的中点为， 故垂直平分线为，即. 【小问2详解】 ， 所在的方程为，即， 到直线的距离为，. 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，连接交于点，连接， 由于为的中点，为的中点,则, 又因为平面平面，所以平面   （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证， （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为，则， 所以，， 设与所成角为, 则 所以与所成角的余弦值为. 17. 已知圆C过两点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】（1）．（或标准形式） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得，所以圆心，半径，故圆的方程为， 【小问2详解】 解：当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为即（*） 由圆心C到切线的距离，可得 将代入（*），得切线方程为 综上，所求切线方程为或 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点E为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明：设与的交点为O，连接． 因为底面四边形为正方形，所以． 又点E为的中点，所以． 因为平面，平面， 所以，所以, 因为平面， 所以平面， 又平面，所以． 因为，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为O，连接，则，由平面，可证得平面，则，而由正方形的性质可得，所以由线面垂直的判定可证得结论， （2）以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设，则． 以A为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 可得． 由（1）知，平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 因为，所以， 即平面与平面所成锐二面角的大小为． 19. 已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. （1）求圆的为程； （2）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①③时，设圆的一般式方程或者标准方程，代入点以及相关条件，根据待定系数法，即可确定圆的方程，选择②时，根据几何法确定圆心和半径即可求解， （2）根据相关点法即可求解轨迹方程． 【小问1详解】 选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． 【小问2详解】 设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新邵二中2024年下学期期中考试高二数学试题 制卷人；刘斯斯 审卷人：周万民 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则实数t的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 2. 直线l经过点，倾斜角为45°，则直线l的一般方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 圆：与圆：的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 如图，平行六面体中，AC与BD交于点M，设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 10. 已知，则下述正确的是（ ） A. 圆C的半径 B. 点在圆C的内部 C. 直线与圆C相切 D. 圆与圆C相交 11. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：，：．若，则______． 13. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则______． 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）求的面积． 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知圆C过两点，，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点E为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的大小． 19. 已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. （1）求圆的为程； （2）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $