精品解析：四川省泸州市合江县第五片区2024-2025学年八年级上学期第二次联考数学试题

合江县2024年秋期第五学区第二次课后服务静心作业八年级数学学科作业单 （全卷满分120分 完成时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，7 C. 1，1，3 D. 5，6，6 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是的角平分线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若把分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 8. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，的周长为，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 21 9. 如图，平分，，与相等的角有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 根据图中面积的等量关系可以得到的等式是（ ） A. B. C. D. 11. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（    ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 14. 因式分解x3－9x=__________． 15. 一个正边形的每一个内角都等于，则______． 16. 如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点G，与交于点F，与交于点H，连接，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有______．(填序号) 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图所示． （1）作出关于轴对称的图形； （2）在轴上确定一点，使得最小； （3）求出的面积． 21. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 23. 阅读材料：若，求m，n的值， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，则＝________. （2）已知：，求x，y的值； （3）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足；，求的周长的最大值 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，是AD中点，平分． （1）若，求证：平分． （2）若，求证：． 25. 【问题情境】如图1，是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，点D、E、C在同一直线上，米，米，那么两个排污口之间的水平距离的长是 米． 【模型呈现】如图1，已知，且，证明． 我们把这个数学模型称为“K型图”或“一线三等角”模型， 请写出完整的证明过程． 【模型应用】①在平面直角坐标系中，如图2所示，， 点A， B的坐标分别是， 求点C的坐标． ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使与全等？若存在， 请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2024年秋期第五学区第二次课后服务静心作业八年级数学学科作业单 （全卷满分120分 完成时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 观察图形，依次判断各选项中的图形能否沿一条直线对折后能完全重合即可． 【详解】解：选项A：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项B：该图形不论沿哪条直线对折，左右部分均不能完全重合，不是轴对称图形，符合题意要求； 选项C：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 选项D：该图形沿竖直的直线对折后，左右部分能完全重合，是轴对称图形，不符合题意要求； 故选B． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，7 C. 1，1，3 D. 5，6，6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边．判断各选项中较短的两边之和是否大于第三边，若是则可组成三角形．据此即可解答． 【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形； D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形． 故选：D． 3. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不等于零． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． 4. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 长方形的四个角都是直角 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】考查三角形稳定性的实际应用，根据三角形的稳定性，可直接选择． 【详解】解：加上后，原图形中具有了，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 6. 如图，和是的角平分线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的定义，由三角形内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7. 若把分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小到原来的 B. 扩大到原来的3倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】D 【解析】 【分析】把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的3倍，就是用3x，3y分别代替式子中的x，y，再进行化简比较． 【详解】因为，所以分式的值变为原来的． 故选：D． 【点睛】考查了分式的基本性质，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行化简． 8. 如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，的周长为，则的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：C 9. 如图，平分，，与相等的角有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】通过角平分线可以得到∠ABE和∠EBC相等，再利用两直线平行内错角相等即可得到∠EBC与∠DEB相等． 【详解】解：∵平分 ∴∠ABE=∠EBC 又∵ ∴∠EBC=∠DEB=∠ABE ∴有两个角与∠ABE相等 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 10. 根据图中面积的等量关系可以得到的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可； 【详解】解：大阴影正方形的边长为，所以大阴影正方形的面积为， 大阴影正方形面积也可以看成从边长为的正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，再减去两个长为（），宽为b的长方形的面积， 即， 所以有， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是用不同的方法表示图形的面积． 11. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了运用公式法分解因式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数的平方的形式，第三项是这两个数的积的2倍，本题即，解得结果． 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或； 故选：B． 12. 如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（    ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 10.8 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】关于y轴对称的两点的坐标关系：纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此解题． 【详解】解：点关于x轴对称的点P′的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即纵坐标不变，横坐标变成相反数，难度较小． 14. 因式分解x3－9x=__________． 【答案】x（x+3）（x－3） 【解析】 【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解：x3－9x， =x（x2－9）， =x（x+3）（x－3）． 【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分解因式要彻底． 15. 一个正边形的每一个内角都等于，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和与外角和综合．首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． 【详解】解：∵正边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数； 故答案为：． 16. 如图，已知与都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点G，与交于点F，与交于点H，连接，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的有______．(填序号) 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、；同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，，求得，根据全等三角形 的判定定理得到≌，故①正确；根据，得到，求得，于是得到故②错误；根据全等三角形的性质得到，求得，故③正确；根据全等三角形的判定和性质得到，推出是等边三角形；得到，故④正确． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌，故①正确； ， ， ， ，故②错误； ≌， ， ， ， ，故③正确； 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形； ，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算，零次幂，绝对值的化简等知识是解题的关键． 先计算乘方，零次幂，绝对值化简，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式、单项式乘多项式法则以及平方差公式计算各项，再根据合并同类项法则计算即可． 本题主要考查了整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则以及平方差公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE． 在△ABC和△DEC中， ∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 【解析】 【分析】由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 如图所示． （1）作出关于轴对称的图形； （2）在轴上确定一点，使得最小； （3）求出的面积． 【答案】（1） 故即为所求． （2） 点P即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）过轴作点的对称点，连接，与轴交于点，此时点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 作法：1．关于轴的对称点分别为， 2．顺次连接， 【小问2详解】 解：如（1）中图，点P即为所求． 作法：1．作点关于轴的对称点， 2．连接交轴于点， 【小问3详解】 解： ∴的面积为． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 21. 已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）26 （2）36 【解析】 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：，， ． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 阅读材料：若，求m，n的值， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若，则＝________. （2）已知：，求x，y的值； （3）已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足；，求的周长的最大值 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查非负式子应用及三角形三边关系，解题的关键是配方及利用非负式子和为0它们分别等于0求解． （1）先配方，再根据非负性直接求解即可得到答案； （2）先配方，再根据非负性直接求解即可得到答案； （3）先配方根据非负性直接求出a，b，再根据三边关系及正整数即求出c的最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 ∵ ∵ ∴ ∴， ∵，即， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴最大值为， ∴的周长的最大值为 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，是AD中点，平分． （1）若，求证：平分． （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：过点E作，垂足为H， ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2） 证明：如图：在上截取，连接． 平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【问题情境】如图1，是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为污水净化后的出口．已知，，点D、E、C在同一直线上，米，米，那么两个排污口之间的水平距离的长是 米． 【模型呈现】如图1，已知，且，证明． 我们把这个数学模型称为“K型图”或“一线三等角”模型， 请写出完整的证明过程． 【模型应用】①在平面直角坐标系中，如图2所示，， 点A， B的坐标分别是， 求点C的坐标． ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在一点P(不与点C重合)，使与全等？若存在， 请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】【问题情境】； 【模型呈现】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【模型应用】①；②或或 【解析】 【分析】问题情境：利用证明，得到，由此可得答案； 模型呈现：同问题情境中进行证明即可； 模型应用：作轴于点E，证明得，．即可求解；②分两种情况，①当时，；②当时，，利用全等三角形对应边相同，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：问题情境：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：； 模型呈现：略 模型应用：①如图所示，过点C作轴于点E，则， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论：∵， ∴， ， 设， ∴，， 当时，， ∴，． ∴， 解得：或 ， ∴， ； ②当时，， ∴， ∴， 解得：或 ， ∵点P与点C不重合， ∴舍去， ∴ ． 综上，存在这样的P 点，坐标分别为或或，使与全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握一线三垂直模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $