专题5.6 三元一次方程组（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.6 三元一次方程组（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义: 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 【要点提示】 (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 【要点提示】 (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解． 【知识点2】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【要点提示】 （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 【知识点3】三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 【要点提示】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点与题型目录 【考点一】三元一次方程组定义 【题型1】三元一次方程（组）定义.............................................2 【考点二】解三元一次方程组 【题型2】解三元一次方程组...................................................2 【题型3】解“”类型的三元一次方程组...............................3 【题型4】用三元一次方程组解决天平上的平衡问题...............................3 【题型5】构造三元一次方程组解决问题.........................................4 【题型6】三元一次方程组中的比值问题.........................................4 【题型7】三元一次方程组中的参数问题.........................................5 【题型8】整体思想解三元一次方程组...........................................5 【考点三】三元一次方程组的应用 【题型9】三元一次方程组的应用...............................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】三元一次方程（组）定义 【例1】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】解三元一次方程组 【例2】（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 【变式1】（22-23七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 【题型3】解“”类型的三元一次方程组 【例3】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【题型4】用三元一次方程组解决天平上的平衡问题 【例4】（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 【变式2】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 【题型5】构造三元一次方程组解决问题 【例5】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 【变式1】（22-23七年级·江苏·假期作业）已知，则的值是 ． 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【题型6】三元一次方程组中的比值问题 【例6】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（    ） A．12 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ． 【题型7】三元一次方程组中的参数问题 【例7】（22-23八年级上·河南平顶山·期末）关于的二元一次方程组，若，则 ． 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】若，和有公共解，则的值是 【题型8】整体思想解三元一次方程组 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【题型9】三元一次方程组的应用 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知每件A奖品售价相同，每件B奖品售价也相同，老师要网购A，B两种奖品共16件．若购买A奖品9件，B奖品7件，则电子钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件，B奖品9件，则电子钱包内的钱会剩余230元．老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则电子钱包内的钱会剩余 元． 【变式2】（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.6 三元一次方程组（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义: 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 【要点提示】 (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 【要点提示】 (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． （2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解． 【知识点2】三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【要点提示】 （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 【知识点3】三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 【要点提示】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点与题型目录 【考点一】三元一次方程组定义 【题型1】三元一次方程（组）定义.............................................2 【考点二】解三元一次方程组 【题型2】解三元一次方程组...................................................3 【题型3】解“”类型的三元一次方程组...............................5 【题型4】用三元一次方程组解决天平上的平衡问题...............................7 【题型5】构造三元一次方程组解决问题.........................................9 【题型6】三元一次方程组中的比值问题........................................11 【题型7】三元一次方程组中的参数问题........................................12 【题型8】整体思想解三元一次方程组..........................................14 【考点三】三元一次方程组的应用 【题型9】三元一次方程组的应用..............................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】三元一次方程（组）定义 【例1】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义：含有3个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程组叫做三元一次方程组，逐一判断是解题关键． 解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2， 故A选项中方程组不是三元一次方程组； 对于B选项，第一个方程中分母含有未知数， 故B选项中方程组不是三元一次方程组； 对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3， 故C选项中的方程组不是三元一次方程组； 对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次， 故D选项中的方程组是三元一次方程组． 故选：D． 【变式】（2023八年级上·全国·专题练习）下列方程组是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【题型2】解三元一次方程组 【例2】（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可； （1）加减消元法解方程组即可 （2）加减消元法解方程组即可． 解：（1）， ，得：； ，得：； ，得：，解得：， 把代入⑤，得：，解得：， 把，代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解集为：． 【变式1】（22-23七年级下·山东日照·期末）解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，得，，，即，然后判断作答即可． 解：由题意知，得，，， ∴消去z，组成关于x、y的方程组为， 故选：C． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2024七年级下·天津·专题练习）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，先用得出关于x，z的方程组，再消去z求出x，然后代入分别求出答案即可． 解：， 得：； 得：， 解得， 将代入得：， 将，代入得：， 则方程组的解为， 故答案为． 【题型3】解“”类型的三元一次方程组 【例3】（23-24七年级下·四川眉山·期中）已知等式，且当时，；当时，；当时，； (1)求 a、b、c 的值； (2)当 时，y 的值又是多少？ 【答案】(1). (2)15． 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用，需要注意对应代值． （1）将x、y的三组对应值分别代入等式，组成方程组，可求a，b，c的值； （2）把a，b，c的值及代入等式，可求y的值． 解：（1）由已知得 解得 即. （2）由(1)得. 当时，. 即y 的值是15． 【变式1】（23-24七年级上·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 【题型4】用三元一次方程组解决天平上的平衡问题 【例4】（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，前两个天平已保持平衡，现要求在第三个天平的右边只放△，要使之保持平衡，则应放△的数量为（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的运用，根据图示，设圆形为，三角形为，正方形为，由此列式求解即可． 解：根据题意，设圆形为，三角形为，正方形为， ∴， ∴由①得， 把③代入②，，整理得，， ∴， ∴应方△的数量为6个， 故选：B ． 【变式1】（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，两台天平都保持平衡，则与2个球体质量相等的圆柱体的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质、三元一次方程组，设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为，根据天平可得，，进而利用等式的性质解答即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 解：设每个球体的质量为，每个正方体的质量为，每个圆柱体的质量为， 根据题意得，，， 根据等式的基本性质，将的两边同时除以得，， 将代入得，， 根据等式的基本性质，将的两边同时减得，， ∴与个球体质量相等的圆柱体的个数为， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 【答案】5 【分析】本题考查三元一次方程组变形．根据题意分别设“○”“△”及“□”为，利用图形列出方程即可得到本题答案． 解：∵①图可表示为：，即， ∵②图可表示为：， ∴，， ∴①图中， 故答案为：5． 【题型5】构造三元一次方程组解决问题 【例5】（23-24八年级上·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为 . 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式1】（22-23七年级·江苏·假期作业）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 解：由题意得， 解得， 故． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 【变式2】（22-23八年级上·山东青岛·期末）若三元一次方程组的解使，则的值是 ． 【答案】 【分析】先将三元一次方程组解得，代入即可求得的值． 解：， 得：， 得：，解得， 把代入得，， 把代入得：， 三元一次方程组的解为：， 把代入得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键． 【题型6】三元一次方程组中的比值问题 【例6】（23-24八年级上·四川成都·期末）已知x、y、z满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解答本题的关键． 把两个方程相加，可得，据此可得；①3②4，可得，据此可得，进而得出答案． 解：， ①②，得， 即， ∴； ①3②4，得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程②得到，结合方程①可得，由此即可得到答案． 解： 由②得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，正确求出x、y之间的关系式是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·期中）已知x，y，z满足，则 ． 【答案】 【分析】本题侧重考解查三元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键． 把方程两式相加得出，把代入得，进而得到的值． 解：原方程组变为， 由得， 把代入得， 所以． 故答案为：． 【题型7】三元一次方程组中的参数问题 【例7】（22-23八年级上·河南平顶山·期末）关于的二元一次方程组，若，则 ． 【答案】1 【分析】把m看作已知数表示出方程组的解，代入已知方程计算即可求出m的值． 解：解方程组 ①-②得， ∵， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解含参数的二元一次方程组，运用三元二次方程组的知识，解出m的值是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 【变式2】若，和有公共解，则的值是 【答案】 【分析】根据题意：，和有公共解，联立方程组，解出即可得出的值． 解：∵，和有公共解， ∴可得：， 解得：， ∴的值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解本题的关键在理解三个方程有公共解． 【题型8】整体思想解三元一次方程组 【例8】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：②①得：  ③ 得：， 所以，的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）18；（2）共需要450元． 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价本笔记本、支签字笔、支记号笔花费总数，即可求解． 解：（1）， ①②得：③ ③得： 所以，的值为18； （2）设买1本笔记本需要a元、买1支签字笔需要b元、买1支记号笔需要c元， 由题意得： ①得：③ ②③得 所以，元； 答：买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔共需要450元． 【变式1】（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，转化新方程组解答即可． 解：∵知是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得， 故选A． 【题型9】三元一次方程组的应用 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【答案】衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性；可设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个；依此列出方程组求解即可． 解：解设个人缝制衣袖，个人缝制衣身，个人缝制衣领． 则有， 解得： 答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）已知每件A奖品售价相同，每件B奖品售价也相同，老师要网购A，B两种奖品共16件．若购买A奖品9件，B奖品7件，则电子钱包内的钱会差230元；若购买A奖品7件，B奖品9件，则电子钱包内的钱会剩余230元．老师实际购买了A奖品1件，B奖品15件，则电子钱包内的钱会剩余 元． 【答案】1610 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找出等量关系列出方程组． 设A奖品的售价为元/件，B奖品的售价为元/件，电子钱包内的钱为元．根据两种卖法列出方程组得出和，然后把变形可得答案． 解：根据题意，得 由，得，即． 由，得，即． 所以， 所以电子钱包内的钱会剩余1610元． 【变式2】（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）童威购买7块橡皮、5个作业本、1支圆珠笔共花费20元；购买10块橡皮、7个作业本、1支圆珠笔共花费26元；若购买11个橡皮、8个作业本、2支圆珠笔则要花费（    ）元 A．31 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】此题主要考查了方程组的应用．首先假设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元．根据题意列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 解：设橡皮的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买橡皮11支，作业本8本，圆珠笔2支共需元． 则由题意得：， 由②①得④ 由②①得⑤ 由⑤④③得 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$