第四单元 第四节 全等三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（陕西专用）

6解：1)抛物线的表达式为=-：-》+京 AD=AD 在△ADE和△ADF中， ∠ADE=∠ADF. (2)设正方形的边长为2m, DE DF, 由题意得，点6（子m,2+2m. .△MDE≌△MDF(SAS),.∠E=∠F, BE=BA,CF=CA,∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF, 将点G的坐标代人抛物线表达式，解得m= （负值 ,·∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF .∠ABC=∠ACB: 已舍去)， 小民的证明过程：：AD⊥BC, ∴，正方形窗户DEFG的边长为I米. ∴.△ADB与△ADC均为直角三角形 第四单元三角形 根据勾股定理，得AD+BD=AB,AD+CD=AC, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） .AB2 BD'AC2 CD,..AB CD AC+BD. 1.D2.C3.C4.C5.B6.B7.B8.3 AB+BD =AC+CD...AB CD =AC-BD, 9.78°10.B11.B12.B13.两点之间，线段最短 :.(AB CD)2=(AC-BD)2, 14.同位角相等，两直线平行15.316.B17.C .AB-2AB·CD+CD=AC-2AC·BD+BD. 第二节三角形及其基本性质 ABD=AC:m28铝 1.C2.B3.C4.三角形具有稳定性5.100 又：∠ADB=∠ADC,.△ADB∽△ADC 6.97.48.D9.8010.3 ∴.∠B=∠C 第三节特殊三角形 第四节全等三角形 1.D2.B3.C4.B5.A6.B7.B8.D 1.C2.C3.DE=EF(答案不唯一)4.100° 9.A10.10011.x2+22=(x+0.5)212.6 5.(1,4)6.77.证明略 13.65°14.215.D16.D17.D 8.(1)证明略： 18.6或12【解析】在R△ABC中，ind=BC BC= (2)解：由(1)得，△ABC≌△ADE. ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° 子×8=4AC=8-4=4反当点D在点B左 ·△ACE为等边三角形，.∠ACE=60 9.证明：(1)略： 上方时，如解图1.：∠ACB=90°，∠A=30°， (2):D为BC的中点，AD1BC, ∴.∠ABC=60°.又：∠BCD=30°，∴.∠BDC=60°- ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA=CA. 30°=30°，，.BD=BC=4.,AD=8+4=12:当点D 由(I)可知△BDE≌△CDA. 在点B的右下方时，如解图2.：∠ABC=60°，∠BCD= ∴BE=CA,∴BA=BE 30,LCD1=90°.在Rt△ACD中，esA=4 AC 10.(1)证明：：0B⊥0C,∴∠B0D+∠COE=90 BD⊥OA,∴.∠ODB=90°， ..AD=3 ×45=6.综上所述，4D的长为6或12， .∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B; (2)解：BD⊥DA,CE⊥OA,.∠CE0=∠ODB=90°， 由题意得0C=OB=OA=17cm. 由(1)得∠COE=∠B. 在△COE和△OBD中， r∠CEO=∠ODB. 解图1 解图2 ∠COE=∠B, 19.(1)证明：AD⊥BC,,∠ADB=∠ADC=90°， 0C=B0, ∴.△COE≌△OBD(AAS),∴.OE=BD=8m AD =AD, .AE=0A-0E=17-8=9(cm). 在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC. 11.D BD =CD. 12.C【解析】连接AD.:∠BAC=90°，AB=AC=6,D ,△ADB≌△ADC(SAS),.∠B=∠C: (2)解：小军的证明过程： 为边BC的中点，AD=BD=CD,∠BAD=∠C= 1 分别延长DB.DC至E,F两点，使得BE=BA,CF= 45,S6m=2×6×6=18.在△ADE和△CDF中， CA,连接AE,AF,如解图， rAD CD. AB+BD =AC +CD. ∠EAD=∠C,.△ADE≌△CDF(SAS),.SAME= .BE+BD=CF CD. LAE=CF, .DE DF. SAaw,….St边EEr=S么ABE+SAt=SAcr+SAr= :AD⊥BC, .∠ADE=∠ADF=90 SA==9. 陕西数学33 13.解：选择方案①：，CE∥AB,.∠ABC=∠C ∠ADB=∠EDC,DB=DC,∴.△ABD≌△ECD, #2B=(x+1)(+2.f=0g-CR. ·AB=CE=20m,水潭的宽度AB为20m: ++2=(2x+4)-,解得x=1+,或 选择方案②：AC=DC,∠ACB=∠DCE,BC=EC, 2 2 ,△ACB≌△DCE,∴.AB=DE=20m, x=1-,西（含去）D=1+,回 ,水潭的宽度AB为20m. 2 2 第五节相似三角形（含位似）】 17.解：(1)11.3 1.A2.B3.D4.D5.A6.∠A=∠C(答案不 (2)由反射定律可知，∠DCE=∠ACB, 又'，∠DEC=9O°=∠ABC,∴.△DEC∽△ABC, 唯-)7128209号10号11.号 能-器脚将兰 12.证明：BE=3,EC=6,BC=3+6=9. DECE 解得AB=12,∴.旗杆的高度为12m: :四边形ABCD是正方形， (3):∠CDG=∠ADB,∠CGD=90°=∠ABD, .AB=BC=9,∠B=∠C=90° 尝名器 △cG△D胎=品 ÷是-8=△MBE△Ec 设=m,my,则：=名 13.解：如解图，延长FD交AB于点以. 同理可得Gg-DCL2.2 AB=DB心.E=24+y 根据题意可知：DE=FG=A HB=1.6米，CE=1.2米， 2.2 5,解得x=28.8, EG=34.2米，∠AFD=45° 24+ 6 .AH HF. 经检验，x=28.8是原方程的解，且符合题意」 设AH=HF=BG=x米，则 ∴.AB=29m,∴.雕塑高度约为29m BC BG CE EG x- 第六节锐角三角函数及其应用 1.2-34.2=(x-35.4)米，H--- 1.C2.A3.B4.74 AB=(x+L.6)米， CE G 5.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=-6, 根据题意可知： ∠DEC=∠ABC=90°，∠DCE=∠ACB. .BD=V/AB-AD=10-6=8. ,△DCE∽△ACB, 'tanZACB =1,.'.CD =AD=6, 能-器品6解得=164 1.6 ∴.BC=BD+CD=8+6=14: (2):AE是BC边上的中线，CE=)BC=7, 经检验，x=146.4是该分式方程的解，且符合题意， .AB=146.4+1.6=148(米). .DE=CE-CD=7-6=1. 答：合十舍利塔的高度AB为148米 AD LBC,.AE=√AD+DE=6+1产=37. 14.D15.3 16.1+17 咖∠=装有哥 2 【解析】如解图，连接CE,过点E作EF上6.解：如解图，延长AB交DC的延长线于点H, BC于点F.设BD=x,则BC=BD+CD=x+2. 则∠AHD=90. ∠ACB=90°，E为AD的中点，∴.CE=AE=DE= ∠BCH=30°，BC=6米 2AD∠CE=∠ACE,∠BD=∠LBDc,∠CBD= BM=BC=3(米). 2∠CAD.BE=BC,.∠ECD=∠BEC,.∠BEC= ∠EDC.又∠ECD=∠BCE,△ECD△BCE, m=号c=3米. 045"30 C ÷慌-04c=∠EW=D:c=2(x+ :∠ADC=45°， .AH=DH=CD+CH=(4+33)米， 2)=2x+4.AD平分∠CAB,∴.∠CMB=2∠CAD. .AB=AH-BH=4+33-3=1+33=6.2(米). ∴，∠CAB=∠CED,∴.∠CAB=∠CBE.又：∠ACB= 答：杨树AB的高度约为62米. 90°=LBFE.△ABC∽△BEF,AC-BS BE EF CE=7.解：如解图，过点M作MN1 DE,EF⊥CD,∴CF=DF= AB,垂足为N D45 由题意知.四边形CMNB是 2CD=1kE为AD的中 F 矩形， 点，AC=2EF, 2EF .BN=CM=1.5米， H30 x+ =A MN=CB=6米， B 34众相原创赋能中考!陕西数学 !;#$jJ4Ne !" #$%&'() "!真实情境 如图是雨伞在开合过程中某时 刻的截面图"伞骨 %&8%'"<"=分别是 %&"%'的中点"<5"=5是连接弹簧和伞 骨的支架"且 <58=5"已知弹簧 5在滑 动的过程中"总有 * %<5 /* %=5"其判 定依据是 # # $ ! !!!! !!!! !!! ,",O, .",,O /"OOO 0"PH 第 - 题图 !!! 第 # 题图 $!!#$#% 浙江"如图"正方形%&'<由四个全 等的直角三角形# * %&=" * &':" * '<?" * <%@$和中间一个小正方形=:?@组成" 连接<=!若%=8%"&=8)"则<=8# # $ ,"& ."#槡1 /"槡-( 0"% &!开放性试题 ! #$#% 牡丹江" 如图"在 * %&'中"<是 %&上一点"': . %&"<" =":三点共线"请添加一个条件! 153 56$答!"使得 %=8'=!!只添加一种情 况即可$ 第 ) 题图 !!! 第 % 题图 '!!#$#% 成都" 如图" * %&' /* '<="若 + <8)&"" + %'&8%&""则 + <'=的度数 为! "//* !! )!!#$#% 临夏州"如图"在 * %&'中"点 %的 坐标为#$"-$"点 &的坐标为#%"-$"点 ' 的坐标为#)"%$"点 <在第一象限!不与 点'重合$"且 * %&<与 * %&'全等"则点 <的坐标是! $"#'! !! 第 & 题图 ! 第 1 题图 +!如图"56 . 30"%& - 30"点 %"<"&"'分 别在直线56与30上"点=在%&上"%<+ &'8("%<8=&"<=8='"则%&8 !! ,!!#$#% 宜宾"如图"点 <"=分别是等边三 角形%&'边 &'"%'上的点"且 &<8'=" &=与%<交于点:!求证!%<8&=! 证明"6 * ,-0为等边三角形# 7 + ,-13 + 03+/*#,-3-0! 在 * ,-1和 * -05中# ,-3-0# + ,-13 + 0# -1305 { # 7 * ,-1 /* -05$<%<!# 7,13 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! -5! )# !众相原创 赋能中考 -!!#$#% 长沙"如图"点 '在线段 %<上" %&8%<" + &8 + <"&'8<=! #-$求证! * %&' /* %<=* ##$若 + &%'81$""求 + %'=的度数! $"!证明"在 * ,-0和 * ,15中# -0315# + -3 + 1# ,-3,1 { # 7 * ,-0 /* ,15$<%<!( $$!解"由$"!得# * ,-0 /* ,15# 7,03,5# + -,03 + 1,53+/*# 7 * ,05为等边三角形# 7 + ,053+/*! 0!!#$#% 南充"如图"在 * %&'中"<为 &' 边的中点"过点 &作 &= . %'交 %<的延 长线于点=! #-$求证! * &<= /* '<%* ##$若%< - &'"求证!&%8&=! 证明"$"!61为-0的中点#7-1301! 6-5 . ,0#7 + 5-13 + 0# + 53 + 0,1! 在 * -15和 * 01,中# + 53 + 0,1# + 5-13 + 0# -1301 { # 7 * -15 /* 01,$%%<!( $$!61为-0的中点#,1 - -0# 7直线,1为线段-0的垂直平分线# 7-,30,! 由$"!可知 * -15 /* 01,# 7-530,#7-,3-5! "/!跨学科#物理 小明同学在物理课上学 习了发声物体的振动实验后"对其做了 进一步的探究!如图 -"在一个支架的横 杆点 2处用一根细绳悬挂一个小球 %" 小球%可以自由摆动"2%表示小球静止 时的位置!如图 #"当小明用发声物体靠 近小球时"小球从2%摆到2&位置"此时 过点&作&< - 2%于点<"当小球摆到2' 位置时"2&与2'恰好垂直!图中的%%&% 2%'在同一平面上$"过点'作'= - 2%于 点="测得&<8* ;<"2%8-( ;<! #-$求证! + '2=8 + &* ##$求%=的长! 图 - !! 图 # $"!证明"6/- - /0# 7 + -/15 + 0/530/*! 6-1 - /,#7 + /1-30/*# 7 + -/15 + -30/*#7 + 0/53 + -( $$!解"6-1 - /,#05 - /,# 7 + 05/3 + /1-30/*# 由题意得/03/-3/,3", =8! 由$"!得 + 0/53 + -! 在 * 0/5和 * /-1中# + 05/3 + /1-# + 0/53 + -# /03-/ { # 7 * 0/5 /* /-1$%%<!# 7/53-13- =8# 7,53/,2/53", 2- 30$=8! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! *$ !陕西数学 *" +,-./0) ""!!#$#% 安徽" 在凸五边形 %&'<=中" %&8%="&'8<=":是 '<的中点!下列 条件中"不能推出 %:与 '<一定垂直的 是 # * $ ! !!!! !!!! !!!," + %&'8 + %=< ." + &%:8 + =%: /" + &':8 + =<: 0" + %&<8 + %=' "$!!#$#% 广州"如图"在 * %&'中" + %8 5$""%&8%'81"<为边 &'的中点"点 =":分别在边 %&"%'上"%=8':"则四 边形%=<:的面积为 # # $ ,"-* ."5槡# /"5 0"1槡 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! # 1" 234567) "&!项目式学习 !#$#% 渭南蒲城县模拟"某校项目式学习小组开展项目活动"过程如下! 项目主题$测量某水潭的宽度! 问题驱动$能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度& 组内探究$由于水潭中间不易到达"无法直接测量"需要借助一些工具来测量"比如自制 的直角三角形硬纸板)米尺)测角仪)平面镜等"甚至还可以利用无人机"确定方法后"先 画出测量示意图"然后进行实地测量"并得到具体数据"从而计算水潭的宽度! 成果展示$下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案! 方案 方案 " 方案 # 测量示意图 图 - 图 # 测量说明 如图 -%测量员在地面上找一点'%在&' 连线的中点 <处做好标记%从点 '出 发%沿着与%&平行的直线向前走到点= 处%使得点 =与点 %%<在一条直线上% 测出'=的长度 如图 #%测量员在地面上找一点 '%沿 着 &'向前走到点 <处%使得 '<8 %'%沿着 %'向前走到点 =处%使得 '=8&'%测出<%=两点之间的距离 测量结果 '=8#$ <"&<8'<"'= . %& %'8'<"&'8'="<=8#$ < 请你选择上述两种方案中的一种"计算水潭的宽度%&! 解"选择方案 " "605 . ,-#7 + ,-03 + 0! 6 + ,1-3 + 510#1-310#7 * ,-1 /* 501# 7,-3053$/ 8#7水潭的宽度,-为 $/ 8( 选择方案 # "6,0310# + ,0-3 + 105#-0350#7 * ,0- /* 105# 7,-3153$/ 8#7水潭的宽度,-为 $/ 8! !$