第四单元 第三节 特殊三角形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学分层进阶练习册（陕西专用）

!众相原创 赋能中考 !4#$hi4Ne !" #$%&'() "!如图"一根竹竿 %&斜靠在竖直的墙上"3 是%&的中点"在竹竿的顶端沿墙面下滑 的过程中"23长度的变化情况是 # * $ ! !!!! !!!! !!!,"不断增大 ."不断减小 /"先减小后增大 0"不变 第 - 题图 !! 第 # 题图 $!!#$#% 兰州"如图"在 * %&'中"%&8%'" + &%'8-)$""<% - %'"则 + %<&8# ( $ ,"-$$2 ."--&2 /"-)$2 0"-%&2 &!!#$#% 云南"已知 %:是等腰三角形 %&' 底边&'上的高"若点:到直线%&的距离 为 )"则点:到直线%'的距离为 # # $ ," ) # ."# /") 0" ( # '!!#$#% 渭南初级中学模拟"如图"在 * %&' 中"点 <是 &'上一点"连接 %<"已知 %&8&" + &8($"" + '8)&""若 + &%<8 %$""则'<的长为 # ( $ ,"% ."& /"1 0"( 第 % 题图 !!! 第 & 题图 )!!#$#% 青海"如图"在NL * %&'中"<是%' 的中点" + &<'81$""%'81"则 &'的长 是 # % $ ,") ."1 /"槡) 0")槡) +!如图"3是等边三角形 %&'的边 %'的中 点"=是&'边延长线上一点"3=83&"则 + '3=的度数是 # ( $ ,"-&2 .")$2 /")&2 0"%&2 第 1 题图 第 * 题图 ,!在 * %&'中" + %" + &" + '的对边分别是 #"$"(!下列条件中"不能判定 * %&'是直 角三角形的是 # ( $ ," + %+ + &85$" ." + %C + &C + '8)C%C& /"#C$C(8)C%C& 0"# 8$8-"(8槡# -!如图"点 '为两个直角三角板的公共顶 点" + %8 + &8)$""则图中等腰三角形共 有 # * $ ,"- 个 ."# 个 /") 个 0"% 个 0!如图"<=为 * %&'的中位线"点 :在 <= 上"且 + %:&85$""若 %&81"&'8*"则 =:的长为 # % $ ,"- ."# /"-"& 0"#"& "/!!#$#% 湖南"若等腰三角形的一个底角 的度数为 %$"" 则它的顶角的度数 为! "// ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! "! &# !陕西数学 ""!跨学科#语文 !#$#% 吉林"图 - 中有一 首古算诗"根据诗中的描述可以计算出 红莲所在位置的湖水深度"其示意图如 图#"其中%&8%&4"%& - &4'于点'"&'8 $!&尺"&4'8# 尺!设 %'的长度为 *尺" 可列方程为! " $ 5$ $ 3$" 5/!)! $ !! 图 - 图 # "$!!#$#% 镇江"等腰三角形的两边长分别 为 1 和 #"则第三边长为! +)* !! "&!如图"已知 9 - . 9 # " * %&'是等腰直角三 角形" + &%'85$""顶点%"&分别在9 - "9 # 上"当 + - 8($"时" + # 8! +)* !! 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" 如图"在 * %&'中"若%< - &'"&<8'<"则有 + &8 + '* # 某同学顺势提出一个问题!既然 " 正确"那么进一步推得 %&8%'"即知 %&+&<8 %'+'<!若把 " 中的&<8'<替换为%&+&<8%'+'<"还能推出 + &8 + '吗& 基于此"社团成员小军)小民进行了探索研究"发现确实能推出 + &8 + '"并分别提供了 不同的证明方法! 小军 小民 证明&分别延长<&%<'至=%:两点%使 得'' 证明&A%< - &'% B * %<&与 * %<'均为直角三角形% 根据勾股定理%得'' %问题解决& #-$完成 " 的证明* ##$把 # 中小军)小民的证明过程补充完整! !!! 备用图 $"!证明"6,1 - -0#7 + ,1-3 + ,1030/*# 在 * ,1-和 * ,10中# ,13,1# + ,1-3 + ,10# -1301 { # 7 * ,1- /* ,10$<%<!#7 + -3 + 0( 分别延长1-#10至5#6两点#使得-53-,#0630,#连接,5#,6#如解图#6,-5-13,0 501#7-55-1306501#715316# 6,1 - -0#7 + ,153 + ,1630/*! 在 * ,15和 * ,16中# ,13,1# + ,153 + ,16# 15316 { # 7 * ,15 /* ,16$<%<!#7 + 53 + 6# 6-53-,#0630,#7 + 53 + -,5# + 63 + 0,6# 6 + ,-03 + 55 + -,5# + ,0-3 + 65 + 0,6#7 + ,-03 + ,0-( 小民的证明过程"6,1 - -0#7 * ,1-与 * ,10均为直角三角形# 根据勾股定理#得,1$ 5-1$ 3,-$#,1$ 501$ 3,0$# 7,- $ 2-1 $ 3,0 $ 201 $ #7,- $ 501 $ 3,0 $ 5-1 $ ! 6,-5-13,0501#7,-2013,02-1#7$,-201! $ 3$,02-1! $ # 7,- $ 2$,-%01501 $ 3,0 $ 2$,0%-15-1 $ #7,-%013,0%-1#7 ,- ,0 3 -1 01 # 又6 + ,1-3 + ,10#7 * ,1- 0* ,10#7 + -3 + 0! (# 6解：1)抛物线的表达式为=-：-》+京 AD=AD 在△ADE和△ADF中， ∠ADE=∠ADF. (2)设正方形的边长为2m, DE DF, 由题意得，点6（子m,2+2m. .△MDE≌△MDF(SAS),.∠E=∠F, BE=BA,CF=CA,∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF, 将点G的坐标代人抛物线表达式，解得m= （负值 ,·∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF .∠ABC=∠ACB: 已舍去)， 小民的证明过程：：AD⊥BC, ∴，正方形窗户DEFG的边长为I米. ∴.△ADB与△ADC均为直角三角形 第四单元三角形 根据勾股定理，得AD+BD=AB,AD+CD=AC, 第一节线段、角、相交线与平行线（含命题） .AB2 BD'AC2 CD,..AB CD AC+BD. 1.D2.C3.C4.C5.B6.B7.B8.3 AB+BD =AC+CD...AB CD =AC-BD, 9.78°10.B11.B12.B13.两点之间，线段最短 :.(AB CD)2=(AC-BD)2, 14.同位角相等，两直线平行15.316.B17.C .AB-2AB·CD+CD=AC-2AC·BD+BD. 第二节三角形及其基本性质 ABD=AC:m28铝 1.C2.B3.C4.三角形具有稳定性5.100 又：∠ADB=∠ADC,.△ADB∽△ADC 6.97.48.D9.8010.3 ∴.∠B=∠C 第三节特殊三角形 第四节全等三角形 1.D2.B3.C4.B5.A6.B7.B8.D 1.C2.C3.DE=EF(答案不唯一)4.100° 9.A10.10011.x2+22=(x+0.5)212.6 5.(1,4)6.77.证明略 13.65°14.215.D16.D17.D 8.(1)证明略： 18.6或12【解析】在R△ABC中，ind=BC BC= (2)解：由(1)得，△ABC≌△ADE. ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° 子×8=4AC=8-4=4反当点D在点B左 ·△ACE为等边三角形，.∠ACE=60 9.证明：(1)略： 上方时，如解图1.：∠ACB=90°，∠A=30°， (2):D为BC的中点，AD1BC, ∴.∠ABC=60°.又：∠BCD=30°，∴.∠BDC=60°- ∴.直线AD为线段BC的垂直平分线，∴BA=CA. 30°=30°，，.BD=BC=4.,AD=8+4=12:当点D 由(I)可知△BDE≌△CDA. 在点B的右下方时，如解图2.：∠ABC=60°，∠BCD= ∴BE=CA,∴BA=BE 30,LCD1=90°.在Rt△ACD中，esA=4 AC 10.(1)证明：：0B⊥0C,∴∠B0D+∠COE=90 BD⊥OA,∴.∠ODB=90°， ..AD=3 ×45=6.综上所述，4D的长为6或12， .∠BOD+∠B=90°，∴∠COE=∠B; (2)解：BD⊥DA,CE⊥OA,.∠CE0=∠ODB=90°， 由题意得0C=OB=OA=17cm. 由(1)得∠COE=∠B. 在△COE和△OBD中， r∠CEO=∠ODB. 解图1 解图2 ∠COE=∠B, 19.(1)证明：AD⊥BC,,∠ADB=∠ADC=90°， 0C=B0, ∴.△COE≌△OBD(AAS),∴.OE=BD=8m AD =AD, .AE=0A-0E=17-8=9(cm). 在△ADB和△ADC中，∠ADB=∠ADC. 11.D BD =CD. 12.C【解析】连接AD.:∠BAC=90°，AB=AC=6,D ,△ADB≌△ADC(SAS),.∠B=∠C: (2)解：小军的证明过程： 为边BC的中点，AD=BD=CD,∠BAD=∠C= 1 分别延长DB.DC至E,F两点，使得BE=BA,CF= 45,S6m=2×6×6=18.在△ADE和△CDF中， CA,连接AE,AF,如解图， rAD CD. AB+BD =AC +CD. ∠EAD=∠C,.△ADE≌△CDF(SAS),.SAME= .BE+BD=CF CD. LAE=CF, .DE DF. SAaw,….St边EEr=S么ABE+SAt=SAcr+SAr= :AD⊥BC, .∠ADE=∠ADF=90 SA==9. 陕西数学33