小专题培优8 特殊四边形中的三大常见模型-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

小专题培优8 特殊四边形中的三大常见模型 模型 平行四边形中的角平分线模型 常见图形 辅助线作法 结论 一条角平分线 #KKA 。 △BCD△CAG 结论:△ABE是等腰三角形 △MNF△DBE ##04分# 两条角平分线 【特别提醒】在正方形或者等腰直角三角形中常构造全 等三角形,在其他特殊四边形中常构造相似三角形 结论:△ABE和△CDF是等腰三角形 如图,正方形ABCD的边长为5.E.F,G分别 1. 如图,在□ABCD中,AB=5.BC=7,BE平分 为CD,AB,BC边上的点。若DE=1.BF=2. 乙ABC交AD于点E,CF平分乙BCD交AD于 EF1AG,则AG的长为 ( 点F,则EF等于 ) C. 2 A.1 B. 1.5 D. 3 #1### 4. 如图,在矩形ABCD中,E.F分别是CD.AD上 的点,且 BFIAE于点M. 求证:AB·DE= 第1题图 第2题图 AE·AM. 2. 如图,在□ABCD中,AB=3,AD=5,ABC的 平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F 则DF=. 心 模型2十字模型 常见图形 变式图形 结论 左图: △ADE△BAF 右图: △EMG△HNF 左图: △DAE△ABF 有图: △EMG△HNF 第五单元 四边形 111 5. 如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC 模型 3 正方形中的对称与旋转模型 CD上的点,且AE1BF于点P.G为AD的中 常见图形 点,连接GP,过点P作PH1GP交AB于点H 条件及结论 连接GH. 正方形ABCD (1)求证:BE=CF: →△ABE△CBE (2)若AB=6,BE= →乙AEB=乙CEB -BC,求GH的长 正方形ABCD.CE=CF D →△BCE△DCF →BE=DF.BE1 DF 正方形ABCD.AE=CF →△DAE△DCF →DE=DF,DE1 DF →等腰直角三角形DEF 6. 如图,在正方形ABCD中,E是对角线BD上一 点,连接AE,CE,过点E作EFIAE,交BC于 点F.已知/CEF=a,则乙AEB的度数是( ) A. 90*-a B.90。- {~ C.45+a D.45~+ ## 第6题图 第7题图 7. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为对 角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于 点P.若PM=PC.则AV的长为 8. 如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点, F为BC延长线上一点,且CE=CF.求证: EBC= CDF. 112 众相原创 赋能中考 陕西数学(3)解：由(2)知，四边形AECF是菱形， 6.解：两个正方形重叠部分的面积不发生变化。理由如 ,AC⊥EF,AO=C0,E0=FO 下：如解图，连接OA,OB. ,菱形AECF的周长为20，两条对角线长的和为14， 四边形ABCF为正方形 Ae=2-5,40+F0=宁4+B)=7 ∴.LAOB=-90°，OA=0B,∠OAE ∠0BD'=45, 在Rt△AOF中，根据勾股定理得AO+FO=AF, .·∠E'0D'=90°. 即A0+(7-A0)2=25,解得A0=3或A0=4. ∴.∠AOB=∠E'OD', 当A0=3时，F0=7-3=4, ..∠AOE”=∠BOD' 则AG=2A0=6,EF=20F=8, 在△AOE和△BOD'中， “菱形ABCF的面积为号×6×8=24： ∠AOE'=∠BOD', OA =OB. 当A0=4时，F0=7-4=3,则AC=2A0=8, L∠OAE'=∠OBD' EBF=20F=6菱形ABCF的面积为号×6×8=24. ·.△AOE'≌△BOD'(ASA),.SaaE=SAwr, 综上所述，四边形AECF的面积为24， S6ew=Sa0n=45E有毛u=4: 第四节正方形 即两个正方形重叠部分的面积不会发生变化，为定 ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分6轴 值子 ⑦中心⑧对角线的交点⑨4①相等①直角 卫相等B直角垂直 5相等6菱形7矩形 小专题培优8特殊四边形中的三大常见模型 B正方形 1.D2.23.√2四4.证明略. 1.(1)9045(2)67.522.5(3)①8242 5.(1)证明：：AE⊥BF,∠ABE=90 .∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°， ②3216342 ∴，∠EAB=∠FBC 2.D【解析】如解图，连接AC交BDD r∠EAB=∠FBC. 于点O.四边形ABCD是正方形， 在△ABE与△BCF中，AB=BC, ∴.OA=OC=OD=OB,AC⊥BD L∠ABE=∠C BD =10.DE BF =2...OF ∴.△ABE≌△BCF(ASA),.BE=CF: 0E=3,0A=0C=5,.四边形 (2)解：∠EAB=∠FBC,.∠GME=∠PBH. AECF是平行四边形.：EF⊥AC,∴，四边形AECF是菱 PH⊥GP,∠GPH=90°. 形..AE=EC=CF=AF=√OM+OF=√5+3= .·∠APB=9O°，∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB. 34,菱形AECF的周长为434. 六∠A=∠IP△GP~aPBf0-a 3A4()A(2)正方形2万 tm∠BB0-8g极=c,服=C, 5.(1)5 (2)证明：四边形ABCD是正方形， BP 1.CA =3. 小AP=3心B ∴.AB=BC=CD=DM,∠A=∠B=∠C=∠D=90 G为AD的中点，AD=AB=6,∴.GA=3 AE BF CM DN...AN DM CF BE, ,HB=1AH=5.GH=√AG+Am=√34 ∴.△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS), 6.D ∴，EN=NM=MF=FE,∠ENA=∠DMN, ,∴.四边形EFMN是菱形. 7.6(3-1)【解析】小：四边形ABCD是边长为6的正方 形，∴.BA=BC,∠ABM=∠CBM,∠DAB=∠ADC= ∠DMN+∠DNM=90°，∴.∠ENA+∠DNM=90°， BA=BC. .∠ENM=90°，.四边形EFMN是正方形： ∠BCD=9O°.在△ABM和△CBM中 ∠ABM=∠CBW (3)52 BM BM. (4)解：设CF=x,四边形EFMN的面积为S, ∴.△ABM≌△CBM(SAS).∴，∠BAIM=∠BCM.∴.90°- 则CM=BF=7-x. ∠BAM=90°-∠BCM.即∠DAM=∠DCM.:PM= 在R△CFM中，FW=CF+Cr=x2+(7-x) PC∴∠PMC=∠DCM,∴∠APD=∠PMC+∠DM= S功影E=FM, 2∠DCM=2∠DAM,.∠APD+∠DAM=3∠DAM= s8mm=2+(1-列=20-子2+号 90°，.∠DAP=30°，.AP=2DP.在R△APD中，AP= DP+AD(2DP)2=DP+6,解得DP=23,.AP= 2>0,当x=2时，8有最小值， 2DP=43...PM PC CD DP =6-2 3...AM 当四边形EFWN的面积最小时，CF的长为子 AP-PM=43-(6-23)=6(3-1). 8.证明略 陕西数学 17