第五单元 第三节 菱形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

! 第五单元!四边形 !4#$q$e !"# $%&'()* !" " Ì}%BC !重点" 性质 几何语言 边 对边平行 #$ - ()(#) - $( 四条边都 ! !相等! #$*$(*()*#) 角 对角 # !相等! 0$#)*0$()(0#$(*0#)( 对角线 对角线互相 $ !垂直平分!(并且每条 对角线 % !平分!一组对角 #( . $)(<#*<((<$*<)( #(平分 0 $#)和 0 $()( $)平分 0 #$(和 0 #)( 对称性 既是 & !轴!对称图形(又是 ' !中心!对称图形(对称中心是 ( !对角线的交点!( 有 ) !# !条对称轴 周长$面积 (菱形#$()*-#$$8菱形#$()*底5高* " # #(*$) !特别提醒"!""菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形%!#"常用等面积法求菱形的 高或边长或对角线长%!$"若菱形有一个内角为 ()"#则连接两个 "#)"内角顶点的对角线将菱形分成两 个全等的等边三角形! !知识拓展"对角线互相垂直的任意四边形的面积均等于两条对角线乘积的一半! 如图#在四边形#$()中#若 #( . $)于点 <#则 8四边形#$() *8 / #$( 28 / #)( * " # #() $<2 " # #())<* " # #()!$<2)<" * " # #()$)! !" # Ì}%f… 判定 几何语言 边 有一组 * !邻边!相等的平行四边 形是菱形"定义# F四边形#$()是平行四边形(#$*#)( G四边形#$()是菱形 四条边都 + !相等!的四边形是 菱形 F#$*$(*()*#)( G四边形#$()是菱形 %*! ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 续表 对角线 对角线互相 ,-. !垂直!的平行四边 形是菱形 F四边形#$()是平行四边形(#( . $)( G四边形#$()是菱形 对角线互相 ,-/ !垂直平分!的四边 形是菱形 F#( . $)(<#*<((<$*<)( G四边形#$()是菱形 +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " Ì}%BC !6 年 . 考" "! "人教八下;.:<"改编#如图(菱形#$() 的对角线#(($)相交于点<! ""#若 0 #$(*()"(则 0 (#)*! -( !"! 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""#求证!(#平分 0 *(>$ 证明#?2.为+1的垂直平分线! <+.)1.! < 0 1+.) 0 +1.$ ?四边形+*1,为平行四边形! <+, - *1! < 0 1+.) 0 +1*! < 0 +1.) 0 +1*! <1+平分 0 21.$ "##求证!四边形#*(>是菱形! 证明#如解图!设+1!2.交于点0$ ?2.是+1的垂直平分线! <+.)1.!+2)12!0+)01$ ?四边形+*1,是平行四边形! <+, - *1!< 0 +12) 0 1+.! 0 +.2) 0 12.! < / +0. 2/ 102%::K&!<+.)12! <+.)1.)12)+2!<四边形+21.是菱形$ "$#若四边形#*(>的周长为 #)(两条对角线 长的和为 "-(求四边形#*(>的面积! 解#由%#&知!四边形+21.是菱形! <+1 . 2.!+0)10!20).0$ ?菱形 +21.的周长为 #(!两条对角线长的和 为 "+! <+.) #( + ).!+05.0) " # %+152.& ),$ 在 LI / +0. 中! 根 据 勾 股 定 理 得 +0# 5 .0 # )+. # ! 即+0# 5%, $+0& # )#.!解得+0)% 或+0)+$ 当+0)% 时!.0), $% )+!则 +1)#+0)-! 2.)#0.)/! <菱形+21.的面积为 " # 1- 1/ )#+$ 当+0)+ 时!.0), $+ )%!则+1)#+0)/! 2.)#0.)-! <菱形+21.的面积为 " # 1- 1/ )#+$ 综上所述!四边形+21.的面积为 #+ & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ !!!!!! 请完成分层进阶练习册3.% 93.. 习题 '*! 4.(1)10(2)60°120°(3)①152②35 1.(1)505080(2)①105②2848③12 ③7 2 (4)1(5)2 号 592 0 2.B3.D4.略 2 【解析】如解图，过点 5.(1)303 B作CD的垂线，垂足为F (2)证明：四边形ABCD为矩形，∴.∠ABC=90 ,四边形ABCD为平行四A 由(1)知，∠ACB=30°，.∠BAC=60. 边形，BC=AD=6,CD=AB=8,∠C=∠A=45, :AE平分∠BMC, 在△BCF中，R=C·5=6× 1 =32 ∠CAE=∠BAE= ∠BAC=30°=∠ACB, DE=5,.CE=CD-DE=3,∴△BCE的面积= .∴.AE=EC E:8n=宁×3x3a （3)解：由(2)知，∠BME=7∠BMC=30 2 【变式】B6.C7.证明略. 能=ABm0=号 8.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠BAE=∠DF 由(1)知，BC=5,.CE=BC-BE=2目 AB CD. CE∥AD,,△CEF∽△ADF 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, LAE =CF. 23 CF CE 3 CF 2 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)证明：连接DB,交AC于点O. 四边形ABCD是平行四边形， 第三节菱形 ∴.OA=0C.0B=0D. ①相等②相等 ③垂直平分④平分⑤轴⑥中心 AE=CF,∴.OE=OF ⑦对角线的交点⑧2⑨邻边0相等0垂直 .四边形BEDF是平行四边形 2垂直平分 (证法不唯一) 10(20s2024@号号③码 (3)解：AB⊥BF,∠ABF=90°， 2.620 AF=√AB+BF=4+3=5. 3.D【解析】如解图，连接AC,BD AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3, 交于点O.四边形ABCD是菱 .AE CF=3,..EF=AF-AE=5-3=2. 形.AC⊥BD,OA=0C.OB= ABLBF.Sw-A BF-x4x3-6. OD.:E,F,G,H分别是边AB,BC,B p=24f=55m-子3w=号x6=号 2 2 CD和A的中点BF=子4C,EF∥AC,EH=D, EH//BD.EH 2EF,.OB 20A...AB 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形。 OB +0A=/50A...AB=5EF. Sam=25am-号 4.C5.证明略. 9.解：(1)根据题意，得180(n-2)=2×360 6.(1)证明：，EF为AC的垂直平分线 解得n=6: .∴.AF=CF,∴∠GAF=∠ACF (2)正n边形每个内角的度数为180(n-22_720° .四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC 6 .∠CAF=∠ACB,∴.∠ACF=∠ACB. 120°： ..CA平分∠ECF (3)设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形 (2)证明：如解图，设AC,EF交于点O. 和y个正三角形的内角可以拼成一个周角， :EF是AC的垂直平分线， 根据题意，得120x+60y=360,即2x+y=6, ∴.AF=CF,AE=CE,OA=OC :四边形ABCD是平行四 边形， “,一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块 .AD∥BC 数分别为2个，2个或1个，4个 ∴.∠ACE=∠CAF,∠AFE=∠CEF, 第二节矩形 ∴.△AOF≌△COE(AAS).,.AF=CE ①平行且相等②直角③相等④平分⑤轴⑥中心 .AF CF=CE=AE, ⑦对角线的交点⑧2⑨直角①直角①相等 ∴四边形AECF是菱形， 16 众相原创赋能中考 (3)解：由(2)知，四边形AECF是菱形， 6.解：两个正方形重叠部分的面积不发生变化。理由如 ,AC⊥EF,AO=C0,E0=FO 下：如解图，连接OA,OB. ,菱形AECF的周长为20，两条对角线长的和为14， 四边形ABCF为正方形 Ae=2-5,40+F0=宁4+B)=7 ∴.LAOB=-90°，OA=0B,∠OAE ∠0BD'=45, 在Rt△AOF中，根据勾股定理得AO+FO=AF, .·∠E'0D'=90°. 即A0+(7-A0)2=25,解得A0=3或A0=4. ∴.∠AOB=∠E'OD', 当A0=3时，F0=7-3=4, ..∠AOE”=∠BOD' 则AG=2A0=6,EF=20F=8, 在△AOE和△BOD'中， “菱形ABCF的面积为号×6×8=24： ∠AOE'=∠BOD', OA =OB. 当A0=4时，F0=7-4=3,则AC=2A0=8, L∠OAE'=∠OBD' EBF=20F=6菱形ABCF的面积为号×6×8=24. ·.△AOE'≌△BOD'(ASA),.SaaE=SAwr, 综上所述，四边形AECF的面积为24， S6ew=Sa0n=45E有毛u=4: 第四节正方形 即两个正方形重叠部分的面积不会发生变化，为定 ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分6轴 值子 ⑦中心⑧对角线的交点⑨4①相等①直角 卫相等B直角垂直 5相等6菱形7矩形 小专题培优8特殊四边形中的三大常见模型 B正方形 1.D2.23.√2四4.证明略. 1.(1)9045(2)67.522.5(3)①8242 5.(1)证明：：AE⊥BF,∠ABE=90 .∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°， ②3216342 ∴，∠EAB=∠FBC 2.D【解析】如解图，连接AC交BDD r∠EAB=∠FBC. 于点O.四边形ABCD是正方形， 在△ABE与△BCF中，AB=BC, ∴.OA=OC=OD=OB,AC⊥BD L∠ABE=∠C BD =10.DE BF =2...OF ∴.△ABE≌△BCF(ASA),.BE=CF: 0E=3,0A=0C=5,.四边形 (2)解：∠EAB=∠FBC,.∠GME=∠PBH. AECF是平行四边形.：EF⊥AC,∴，四边形AECF是菱 PH⊥GP,∠GPH=90°. 形..AE=EC=CF=AF=√OM+OF=√5+3= .·∠APB=9O°，∴.∠GPA+∠APH=∠APH+∠HPB. 34,菱形AECF的周长为434. 六∠A=∠IP△GP~aPBf0-a 3A4()A(2)正方形2万 tm∠BB0-8g极=c,服=C, 5.(1)5 (2)证明：四边形ABCD是正方形， BP 1.CA =3. 小AP=3心B ∴.AB=BC=CD=DM,∠A=∠B=∠C=∠D=90 G为AD的中点，AD=AB=6,∴.GA=3 AE BF CM DN...AN DM CF BE, ,HB=1AH=5.GH=√AG+Am=√34 ∴.△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS), 6.D ∴，EN=NM=MF=FE,∠ENA=∠DMN, ,∴.四边形EFMN是菱形. 7.6(3-1)【解析】小：四边形ABCD是边长为6的正方 形，∴.BA=BC,∠ABM=∠CBM,∠DAB=∠ADC= ∠DMN+∠DNM=90°，∴.∠ENA+∠DNM=90°， BA=BC. .∠ENM=90°，.四边形EFMN是正方形： ∠BCD=9O°.在△ABM和△CBM中 ∠ABM=∠CBW (3)52 BM BM. (4)解：设CF=x,四边形EFMN的面积为S, ∴.△ABM≌△CBM(SAS).∴，∠BAIM=∠BCM.∴.90°- 则CM=BF=7-x. ∠BAM=90°-∠BCM.即∠DAM=∠DCM.:PM= 在R△CFM中，FW=CF+Cr=x2+(7-x) PC∴∠PMC=∠DCM,∴∠APD=∠PMC+∠DM= S功影E=FM, 2∠DCM=2∠DAM,.∠APD+∠DAM=3∠DAM= s8mm=2+(1-列=20-子2+号 90°，.∠DAP=30°，.AP=2DP.在R△APD中，AP= DP+AD(2DP)2=DP+6,解得DP=23,.AP= 2>0,当x=2时，8有最小值， 2DP=43...PM PC CD DP =6-2 3...AM 当四边形EFWN的面积最小时，CF的长为子 AP-PM=43-(6-23)=6(3-1). 8.证明略 陕西数学 17