第五单元 第一节 多边形与平行四边形-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（陕西专用）

!!!! ! 第五单元!四边形 ! 第五单元!四边形 !"#$noeRKb;oe !"# $%&'()* !" " ÈÉ}%BC !重点" '边形 *' " $+ 内角和 '边形的内角和为 ! !!!!! 外角和 '边形的外角和为 # !!!!! 对角线 过 '"'4$#边形的一个顶点可引 $ !!!!!条对角线('边形共有 % !!!!!条对 角线 正 '边形 *' " $+ 边 各边相等 内角 各内角相等(都等于 & !!!!! 外角 各外角相等(都等于 ' !!!!! !特别提醒"在计算正多边形的内角时#还 可以先计算外角#然后用'"6)"/外角(得 到内角#即 !'/#")"6)" ' *"6)"/ $()" ' 对称性 ""#正多边形都是 ( !轴!对称图形(其中边数为偶数的正多边形也是 ) !中心!! 对称图形$ "##正 '边形有 * !#!!条对称轴 !" # 7¥ÊÉ}%BC !重点" 性质 几何语言 边 对边 + !平行且相等! #$ - ()(#$*()$ #) - $((#)*$( 角 对角 ,-. !相等! 0$#)*0$()(0#$(*0#)( 邻角 ,-/ !互补! 0 $#)2 0 #$(*"6)"( 0 $#)2 0 #)(*"6)"( 0 #$(2 0 $()*"6)"( 0 $()2 0 #)(*"6)" 对角线 对角线互相 ,-0 !平分! <#*<((<$*<) 周长 相邻两边之和的 # 倍 ( 3 #$() *#"#$2$(# 面积 边长与该边上的高的乘积 8 3 #$() *$(*#* 对称性 平行四边形是 ,-1 !中心!对称图形(对称中心是 ,-2 !对角线的交点! )) ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 !技巧点拨"平行四边形中常见的辅助线的作法# 作法 作一个角 的平分线 平移对角线 连接对角线的交 点与一边的中点 连接顶点与 边上一点 连接顶点与边 延长线上一点 图示 结论 / #$*是等腰三 角形!#$*#*" 四边形#(*)为平 行四边形 <*是 / )$(和 / #)(的中位线 / >#* 1/ >($ / >#* 1 / >$( 1 / ()*! !" % 7¥ÊÉ}%f… !重点" 判定 几何语言 边 两组对边分别 ,-3 !平行!的四边形是平行四边形 "定义# F#$ - ()(#) - $(( G四边形#$()是平行四边形 两组对边分别 ,-4 !相等!的四边形是平行四边形 F#$*()(#)*$(( G四边形#$()是平行四边形 一组对边 ,-5 !平行且相等!的四边形是平行四 边形 F#$ - ()(#$*()( G四边形#$()是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 F 0 $#)* 0 $()( 0 #$(* 0 #)(( G四边形#$()是平行四边形 对角线 对角线 ,-6 !互相平分!的四边形是平行四边形 F<#*<((<$*<)( G四边形#$()是平行四边形 !技巧点拨"平行四边形的判定思路# !""已知一组对边相等 *+ 证 这组对边平行# 或另一组对边相等{ % !#"已知一组对边平行 *+证 这组对边相等#或另一组对边平行{ % !$"已知一组对角相等 *+ 证 另一组对角相等% !-"已知一条对角线平分另一条对角线 *+ 证 对角线互相平分! +"# ,-./012 !!!!!!!!!!!!!!!! !" " ÈÉ}%BC !6 年 . 考" "! "北师八下 ;".( 例 # 改编# 已知 ' 边形! ""#若 ' *:(则其内角和为! 2((5 !(外角和 为! %-(5 !(共有! "+ !条对角线$ "##若其内角和为 .-)"(则 ' *! . !(其内角 和与外角和的比为! %H# !! #! "#)#) 陕西 "# 题 $ 分#如图(在正五边 形#$()*中()@是边 ()的延长线(连接 $)(则 0 $)@的度数是! "++5 !! & & & & & & & & & & & & & **! ! 第五单元!四边形 %! "#)#$ 陕西 ") 题 $ 分#如图(正八边形 的边长为 #(对角线#$(()相交于点 *!则线 段$*的长为! # 5槡#!! !" # 7¥ÊÉ}%BC !6 年 : 考" +! "人教八下;-$<" 改编#如图(平行四边 形#$()的对角线#(($)相交于点<(*是边 $(上的一点(连接 #*!已知 0 $#)*"#)"( #$*#($(*$! ""#平行四边形#$()的周长为! "( !! "## 0 #$(*! -(5 !( 0 $()*! "#(5 !! "$#若#* . $((则! ! $**! " !(#**!槡%!((**!#!$ # 平行四边形#$()的面积为! %槡%!$ $ #(*!槡,!(<(*!槡,!! "-#若*是$(的中点(则<**! "" !! ".#若#*平分 0 $#)(则$**! ## !! .! "#)#" 陕西 #( *"+题改编#如图(在 3 #$()中( 0 #*-."(#$*6(#)*((点*在 )(上(且 )**.(则 / $(*的面积为! ! !! !结果保留根号" !变式"如图(四边形 #$()为平行四边形(过点 )分别作#$($(的垂线(垂足分别为*(>(若 #$*"#()**(($**-(则)>的长为 " 7 # =9: >9:9# ?96 @9696 !" % 7¥ÊÉ}%f… !6 年 ( 考" -! "北师八下 ;"-.<# 改编#如图(在四边 形#$()中(#) - $((#)*$((点*(>在对角 线$)上(连接#*(#>((*((>(则添加下列条 件(仍不能判断四边形#*(>是平行四边形的 是 " 0 # =9$**)> >9 0 #*$* 0 (>) ?9#**(> @9#* . $)((> . $) ,! "#)#) 陕西 "6 题 . 分#如图(在四边形 #$()中(#) - $(( 0 $* 0 (!*是边$(上一 点(且)**)(!求证!#)*$*! 证明#?,2),1!< 0 ,21) 0 1$ ? 0 *) 0 1!< 0 *) 0 ,21! <+* - ,2$ ?+, - *1! <四边形+*2,是平行四边形$ <+,) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & *2$ !*! ! 众相原创 赋能中考!陕西数学 3"# 456789: ‰Š"‹ 47¥ÊÉ}°L%­®4 ¯: /!如图(已知*(>是 3 #$()对角线#(上两点( #**(>(连接$*($>()*()>! ""#求证! / #$* 2/ ()>! 证明#?四边形+*1,为平行四边形! <+*)1,!+* - 1,!< 0 *+2) 0 ,1.$ 在 / +*2和 / 1,.中! +*)1,! 0 *+2) 0 ,1.! +2)1. { ! < / +*2 2/ 1,.%K:K&$ "##求证!四边形$*)>是平行四边形! 证明#如图!连接,*!交+1于点0$ ?四边形+*1,是平行四边形! <0+)01!0*)0,$ ?+2)1.!<02)0.! <四边形*2,.是平行四边形$ %证法不唯一& "$#若#$ . $>(#$*-($>*$(#(*6(求四边 形$*)>的面积! 解#?+* . *.!< 0 +*.)2(5! <+.) +* # 5*.槡 # ) + # 5%槡 # ).$ ?+1)/!<1.)+1$+.)/ $. )%! <+2)1.)%!<2.)+.$+2). $% )#$ ?+* . *.! 由%#&可知!四边形*2,.是平行四边形! <3 3 *2,. )#3 / *2. ) #+ . & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & $ 新北师八下综合与实践'''设计美丽的镶嵌图案 2!已知一个正 '边形的内角和是它的外角和的 # 倍! ""#求 '的值$ "##求正 '边形每个内角的度数$ "$#用足够多边长相等的这种正 '边形和正三角形两种地板镶嵌地面(求一个顶点处需要此 正 '边形和正三角形的地板块数!!两种地板都要使用" !!!!!! 请完成分层进阶练习册3+2 93.( 习题 "*! 单元整体构建 (3)解：如解图2，过点0作OH⊥AB于点H 易错题专练 由()得，Sw=宁D·40= -×5× 1.C2.C3.34.C 12=30. 5.解：存在，这样的点P有三个.设AP=x,则BP=7-x Sam=S△m+S△nam, ,∠A=∠B=90°，则 当品2，△MPE△BC. ∴30=7×130+7x500 解图2 ,BE是∠ABC的平分线..HO=DO. “7产号解得号此时P= 59 .30= ×1300+宁×50.解得D0=号 当品点时，△MEar, 40=40-0=2-9 六音=2解得名=1=6，此时P=1或6 (4)解：AB=AC,AD1BC,∴点B与点C关于AD对称 点P在AD上，PB=PCPE+PC=PE+PB ∴这样的点P有三个，AP的长分别为号，1,6 ,PE+PB≥BE, 知识整合 当P,B,E三点共线时，PE+PC的值最小，最小值为 解：不全等的相似三角形有2对：△BDA~△ADE,△CAE BE的长 △ADE. ACBE-BG AD-. 选择△BDA∽△ADE. 证明如下：：△ABC与△AGF是两个全等的等腰直角三 BE=120 PE+PC的最小值是图 角形，∠BAC=∠F=90°， (5)①证明：AB=AC=13,BC=132, .∠C=∠B=∠FAG=∠G=45 六AB+AC2=BC,∠BAC=90. .·∠DAB=∠FAG+∠EAB,∠DEA=∠B+∠EAB, AB=AC,AD⊥BC,.∠BAD=∠C=45 ,.∠DAB=∠DEA. :AG⊥BE,∴.∠AFO=∠ADG=90°， 又，∠BDA=∠ADE. ÷.∠AOB=∠0AF+90P,∠AGC=∠0AF+90° ∴.△BDA∽△ADE.(答案不唯一，也可以选择另一组进行 ∴.∠AOB=∠AGC 证明) ∠BAO=∠C, 一题一单元 在△ABO和△CMG中 ∠BOA=∠AGC. （I)解：A=AC.AD1BCBD=CD=8BC=5, LAB=CA, ,∴.△ABO≌△CAG(AAS): .AD=AB BD =12, ②证明：AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD .△ABD的周长为AB+BD+AD=30. 由(5)①得，△ABO≌△CAG,∴.A0=CG (2)①解：AB=AC,AD⊥BC,.D是BC的中点. .CD CG+DG.:.BD =A0+DG. 又：BE是AC边上的中线，∴DE是△ABC的中位线， DE=B-=号，DE/AB∠GDE=LABC. 第五单元四边形 第一节 多边形与平行四边形 m∠G=血∠Ac-治景 ①(n-2)·180°②360° ③(n-3)④n"-3】 2 ②解：如解图1，过点E作EF∥BC交AD于点F,则 5(m-2)·180° 6360 ⑦轴⑧中心⑨n EF⊥AD. :BE是AC边上的中线 0平行且相等①相等2互补3平分中心 二E为边AC的中点， 5对角线的交点0平行相等B平行且相等 F为边AD的中点， 0互相平分 .EF为△ACD的中位线 1.(1)900°360°14(2)53：22.144° 由(1)知，BD=CD=5,AD=12, 3.2+2【解析】如解图，过点F作 R D AF-FD-2AD-6.EF-CD 解图1 FG⊥AB于点G.由题意可知，四边 形CEGF是矩形，△ACE,△BFG是 EF∥BC,∴.△EOF∽△BOD. 等腰直角三角形，EG=CF=FB= 品%00=2 AC=2.在Rt△ACE中，AC=2,AE= ∴.A0=AF+OF=8. CE,AE=CE=2AC=2,同理BG=2,BE= Sa=F:A0=×号x8=10 EG+BG=2+2. 陕西数学15 4.(1)10(2)60°120°(3)①152②35 1.(1)505080(2)①105②2848③12 ③7 2 (4)1(5)2 号 592 0 2.B3.D4.略 2 【解析】如解图，过点 5.(1)303 B作CD的垂线，垂足为F (2)证明：四边形ABCD为矩形，∴.∠ABC=90 ,四边形ABCD为平行四A 由(1)知，∠ACB=30°，.∠BAC=60. 边形，BC=AD=6,CD=AB=8,∠C=∠A=45, :AE平分∠BMC, 在△BCF中，R=C·5=6× 1 =32 ∠CAE=∠BAE= ∠BAC=30°=∠ACB, DE=5,.CE=CD-DE=3,∴△BCE的面积= .∴.AE=EC E:8n=宁×3x3a （3)解：由(2)知，∠BME=7∠BMC=30 2 【变式】B6.C7.证明略. 能=ABm0=号 8.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠BAE=∠DF 由(1)知，BC=5,.CE=BC-BE=2目 AB CD. CE∥AD,,△CEF∽△ADF 在△ABE和△CDF中， ∠BAE=∠DCF, LAE =CF. 23 CF CE 3 CF 2 ∴.△ABE≌△CDF(SAS). (2)证明：连接DB,交AC于点O. 四边形ABCD是平行四边形， 第三节菱形 ∴.OA=0C.0B=0D. ①相等②相等 ③垂直平分④平分⑤轴⑥中心 AE=CF,∴.OE=OF ⑦对角线的交点⑧2⑨邻边0相等0垂直 .四边形BEDF是平行四边形 2垂直平分 (证法不唯一) 10(20s2024@号号③码 (3)解：AB⊥BF,∠ABF=90°， 2.620 AF=√AB+BF=4+3=5. 3.D【解析】如解图，连接AC,BD AC=8,.CF=AC-AF=8-5=3, 交于点O.四边形ABCD是菱 .AE CF=3,..EF=AF-AE=5-3=2. 形.AC⊥BD,OA=0C.OB= ABLBF.Sw-A BF-x4x3-6. OD.:E,F,G,H分别是边AB,BC,B p=24f=55m-子3w=号x6=号 2 2 CD和A的中点BF=子4C,EF∥AC,EH=D, EH//BD.EH 2EF,.OB 20A...AB 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形。 OB +0A=/50A...AB=5EF. Sam=25am-号 4.C5.证明略. 9.解：(1)根据题意，得180(n-2)=2×360 6.(1)证明：，EF为AC的垂直平分线 解得n=6: .∴.AF=CF,∴∠GAF=∠ACF (2)正n边形每个内角的度数为180(n-22_720° .四边形ABCD为平行四边形，.AD∥BC 6 .∠CAF=∠ACB,∴.∠ACF=∠ACB. 120°： ..CA平分∠ECF (3)设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正六边形 (2)证明：如解图，设AC,EF交于点O. 和y个正三角形的内角可以拼成一个周角， :EF是AC的垂直平分线， 根据题意，得120x+60y=360,即2x+y=6, ∴.AF=CF,AE=CE,OA=OC :四边形ABCD是平行四 边形， “,一个顶点处需要此正六边形和正三角形的地板块 .AD∥BC 数分别为2个，2个或1个，4个 ∴.∠ACE=∠CAF,∠AFE=∠CEF, 第二节矩形 ∴.△AOF≌△COE(AAS).,.AF=CE ①平行且相等②直角③相等④平分⑤轴⑥中心 .AF CF=CE=AE, ⑦对角线的交点⑧2⑨直角①直角①相等 ∴四边形AECF是菱形， 16 众相原创赋能中考