专题03 有理数的乘法与除法 期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 ✵复习目标 理解有理数乘法、除法法则，掌握倒数的概念，能正确求一个非零数的倒数。 掌握多个有理数相乘的符号判定规律，熟练进行乘除运算。 体会除法转化为乘法的转化思想，能灵活运用乘法运算律简化运算。 准确区分运算符号与性质符号，规范书写格式，规避乘除运算中的典型错误。 ✵高频题型梳理 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.倒数的概念辨析 题型4.有理数乘法运算律的运用 题型5.有理数乘法的实际应用 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据数轴上点的位置判断代数式正负 题型13.数轴上的翻折问题 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘：都得0。 运算原则：先确定积的符号，再计算绝对值的乘积。 示例：（-4）×(-6)=24，(-4)×6=-24，0×(-7)=0 2.多因数相乘符号规律：几个不等于0的数相乘，负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 因数中只要有一个0，积就为0。 3.乘法运算律 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 知识点二、倒数 定义：乘积为1的两个有理数，互为倒数。 核心性质：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号。 知识点三、有理数的除法 法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数，都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 注意：0可以作为被除数，但不能作为除数，否则运算无意义。 知识点四、有理数乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次计算，先将所有除法转化为乘法，再统一约分计算。 符号判定：统一转为乘法后，根据负因数的个数奇偶性判断最终符号，再计算绝对值乘积。 运算规范：计算时将小数化为分数、带分数化为假分数，方便约分简化运算。 知识点五、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算 ◆有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。 ◆在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。 ✵易错提醒 1.0 没有倒数，不可求 0 的倒数。 2.多个因数相乘，先统计负因数个数，确定符号后，再计算绝对值。 3.除法没有分配律，不能套用乘法分配律拆分除法算式。 4.带分数参与乘除，必须先化成假分数再计算。 5.负数参与运算时，要添加括号，区分性质符号与运算符号。 6.乘除同级运算，严格按顺序计算，不要随意调换数字与符号的位置。 7.约分时分清分子分母，避免颠倒出错。 ✵典例精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．已知两个有理数，，如果且，那么（     ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，同号， ∵， ∴，． 2．在0，，2，四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最小是______． 【答案】 【分析】积最小的数一定是负数，因此需要找到绝对值最大的异号两数相乘，再比较结果得到最小值． 【详解】解：列出相乘结果为负数的情形：，， 因为， 所以所得积最小为． 3．【新定义】规定，例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入新定义运算公式计算即可； （2）按照先括号内后括号外的顺序，分步代入新定义公式计算． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ， ． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过统计各选项负因数个数及是否含0，判断积的符号． 【详解】解：A选项有2个负因数，积的符号为正，不符合题意． B选项有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． C选项含因数0，积为0，不符合题意． D选项有3个负因数，积的符号为负，符合题意． 2．在下列说法中：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若，则、互为相反数．其中正确的是_________（填序号） 【答案】④ 【分析】根据相反数的定义，有理数的乘法法则，绝对值的定义解答即可． 【详解】解：①如果，则有；若，则有，故①说法错误； ②若干个有理数相乘（0除外），如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②说法错误； ③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或0，故③说法错误； ④若，则m、n互为相反数．故④说法正确． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型3.倒数的概念辨析 1．有理数的倒数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：， ∴的倒数是． 2．的倒数的相反数是______；若，则______0．（填“<”或“>”） 【答案】 【分析】先计算的倒数，再求该倒数的相反数；再根据减法法则判断与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， ∴的相反数是． ∴的倒数的相反数是5； ∵， ∴． 3．请根据图示的对话解答下列问题． 已知a与2互为相反数． b与互为倒数． (1)________，________． (2)已知，求m、n的值． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，b与互为倒数， ∴，． （2）解：由（1）可知：，． ∴，即， ∵， ∴，， ∴，． 题型4.有理数乘法运算律的运用 1．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 【答案】C 【分析】根据有理数混合运算的运算定律进行判断即可． 【详解】解：将1.25与交换位置，运用了乘法交换律，将1.25与结合计算，运用了乘法结合律． 2．计算：__________． 【答案】 【分析】利用乘法分配律可简便计算，按照有理数运算法则求解即可． 【详解】解： 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型5.有理数乘法的实际应用 1．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为．登高后，气温有什么变化？下列算式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求个的和，用乘法运算列式判断． 【详解】解：由题意得，登高的气温变化量算式为，与选项A一致． 2．如图，小林有张标有数字的卡片，从中取出张，则卡片上两数乘积的最大值为________．              【答案】 【分析】根据有理数乘法的运算法则逐一分析各数，找到乘积的绝对值最大，且同号相乘的数，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得卡片上两数乘积的最大值为． 3．某蔬菜商店购进筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．称后的记录如下： 白菜 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 与标准质量的差值 （单位：千克） 回答下列问题： (1)与标准质量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)这筐白菜共重多少千克？ 【答案】(1)筐白菜总计超过千克. (2)这筐白菜共重千克. 【分析】（1）计算各筐与标准质量差值的总和，根据结果正负判断总计超过或不足的量； （2）用筐的标准总质量加上差值总和，得到实际总质量． 【详解】（1）解：计算各筐与标准质量的差值之和：（千克）， ∵结果为正数， ∴筐白菜总计超过千克； （2）解： 筐白菜的标准总质量为：（千克）， 由（1）得筐白菜总计超过千克，则实际总质量为：（千克）． 题型6.有理数的除法运算 1．下列各式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数除法的符号规律先排除符号错误选项，再验证数值，可快速判断正误． 【详解】解：A. ，错误； B. ，错误； C. ，正确； D. ，错误． 2．规定表示不超过的最大整数，则________． 【答案】 【分析】根据定义先分别求出两个取整运算的结果，再计算除法． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴不超过的最大整数是，即， 不超过的最大整数是，即， ∴． 3．下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，这样做的依据是______； ②运算从第______步开始出现错误． (2)任务2：写出正确的解题过程． 【答案】(1)①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；②二 (2)正确解题过程如下： 原式 【分析】（1）①根据除法法则，除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数，作答即可；②第二步计算中，运算符号出现错误； （2）先乘除，再进行加法运算即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型7.有理数除法的应用 1．商品广告中的“买四送一”相当于现价比原价便宜（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每件商品原价为1， ∵买四送一即付4件的费用可得5件商品， ∴现价每件为（元）， ∴ 现价比原价便宜的比例为． 2．某冷冻厂里一个冷库的室温是．现有一批食品要在的温度下冷藏，如果每小时能降，那么_______后能降到所要求的温度． 【答案】 【分析】先求出需要降低的总温度，再除以每小时的降温幅度，即可得到所需时间． 【详解】解：， 即后能降到所要求的温度． 3．在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了5次，检查均无故障，不需要停留维修，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下（单位：米）：，，，，，第五次巡检结束的时刻是晚上． (1)第五次结束时机器人在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)这台机器人在此次巡检过程中，一共行驶了多少米？ (3)这台机器人在此次巡检过程中，平均每分钟行驶多少米？ 【答案】(1) 在起点的右边，距离起点9米. (2) 一共行驶了27米. (3) 平均每分钟行驶0.45米. 【分析】（1）计算5次巡检路程的代数和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为到起点的距离； （2）总行驶路程为各次巡检路程的绝对值之和； （3）先求出巡检总时长，再用总路程除以总时长得到平均速度． 【详解】（1）解：（米）， ∵规定向右为正，结果为正， ∴第五次结束时机器人在起点的右边，距离起点9米； （2）解：（米）， ∴ 一共行驶了27米； （3）解：巡检总时间为晚上到晚上，共60分钟，（米/分钟）， 答：平均每分钟行驶0.45米． 题型8.有理数乘除混合运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，故本选项计算错误； 选项B：，故本选项计算正确； 选项C：，故本选项计算错误； 选项D：，故本选项计算错误． 2．小明把一个数乘错看成除以，结果得，正确的结果是______． 【答案】 【分析】先根据错误的计算逆推求出原来的数，再按正确运算计算结果． 【详解】解：∵小明错将乘看成除以，得到结果， ∴这个数为：， 因此正确的结果为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，确定符号后约分计算； （2）利用乘法分配律，用括号内每一项分别乘，再做加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】甲去括号的符号变化错误，乙应用运算律时的符号处理错误． 【详解】解： ， 甲错误将变形为，计算错误； ， 乙在计算时，错误遗漏的负号，计算错误． 2．用简便方法计算：______． 【答案】 【分析】将除法转化为乘法后，提取公因式，利用乘法分配律简化计算，先计算括号内的带分数加减，再得到最终结果． 【详解】解： ． 3．利用运算律有时能进行简便计算： 例：； 例：． 请你参照上述解法，用运算律简便计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）参照例解答即可； （）把原式转化为，再参照例解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10.有理数四则混合运算 1．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．利用公式计算：________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．气温随着高度的增加而降低，高度每增加，气温大约降低，若某地海拔高度为，此时地面温度是，同一时刻一定高度的空中温度是，则该空中离地面高度约为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“高度每增加，气温大约降低”列出算式，计算即可． 【详解】解： 即该空中离地面高度约为． 2．一般情况下，海拔每升高，气温下降，某景区山脚海拔，山顶海拔．若某时该景区山脚的气温为，则当时山顶的气温为______． 【答案】 【分析】先求出山顶与山脚的海拔差，再根据海拔每升高气温下降的关系计算总降温，最后用山脚气温减去总降温得到山顶气温． 【详解】解： 计算山顶与山脚的海拔差： ． 计算气温总共下降的度数： ． 计算山顶的气温： ． 3．比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录这五天的牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期_______，最高单价是________元； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)一，； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利元． 【分析】根据题意及正数和负数的实际意义即可求解； 根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知，这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是（元）， 故答案为：一，； （2）解：这五天售出的总箱数：（箱）， 相对标准价格的变化金额是：（元）， 实际售价：（元）， 利润为：（元）， 答：这五天超市出售此种牛奶盈利元． 题型12.根据数轴上点的位置判断代数式正负 1．有理数a表示的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴确定的取值范围． 【详解】解：由数轴可知， ∴， 故A选项成立，B选项不成立． ∵， 故C选项不成立． ∵， ∴， 故D选项不成立． 2．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据数轴的意义，得到，计算判断即可； 【详解】解：根据题意，得，， ，，，，， 故①②③⑤错误；④正确； 3．已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a________0； ②________0； (2)比较a、b、、的大小（用“”把它们连接起来）． 【答案】(1)①<；②> (2) 【分析】（1）由数轴得到，即可判断； （2）由数轴得到，，，，即可解答． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴， （2）解：∵，， ∴，，，， ∴． 题型13.数轴上的翻折问题 1．在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】需分类讨论点的位置，结合折叠后折点为重合两点的中点求解． 【详解】解：∵ 点表示的数是，， ∴ 分两种情况讨论． ①当点在点左侧时， 点表示的数为． 由折叠性质可知，点是线段的中点， ∵ 点表示的数为， ∴ 点表示的数为． ②当点在点右侧时， 点表示的数为． 同理，点是线段的中点， ∴ 点表示的数为． 综上，点表示的数为或． 2．点M，P，N在数轴上，点M，N表示的数分别是和6，点P在M，N之间，现以点P为折叠点，将数轴向右对折．若点M对折后对应的点为Q，并且点Q和点N的距离为2个单位长度，则点P表示的数是______． 【答案】或/或 【分析】根据点到点的距离为，分两种情况求出点表示的数，折叠后点是线段的中点，用中点计算方法即可得到结果． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， ∵点和点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵以点为折叠点对折后，点的对应点为， ∴点是线段的中点， 当点表示时，点表示的数为， 当点表示时，点表示的数为， 两个结果都满足点在，之间， 因此点表示的数是或． 3．在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． 【答案】(1)3 (2)2 (3)①，②或． 【分析】（1）设点C表示的数为，利用两点距离公式构造方程； （2）设点A表示的数为．则点A₁表示的数为．由此构造方程求解即可； （3）利用中点公式和两点距离公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：设点C表示的数为． 因为点C在原点右侧，所以． 又因为点C到1的距离为2，所以． 解得或， 即或． 因为，所以舍去． 故点C表示的数为3． （2）解：设点A表示的数为． 将点A向右移动3个单位长度到达点A₁，则点A₁表示的数为． 由题意得：， 解得． 点A到原点的距离为． 故点A到原点的距离为2 （3）已知点A表示的数为，点C表示的数为． ①若点A与点C重合，则折点B为点A与点C的中点． 设点B表示的数为，则： 故点B表示的数为 ②设折点B表示的数为． 对折后，点A的对应点关于点B对称，所以： 由题意，点到点C的距离为1，即： 所以或， 解得或． 故折点B所表示的数为或． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，错误， B选项：，错误， C选项：，正确， D选项：，错误． 2．下列各式运用的运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，正确运用了乘法交换律，故选项A不符合题意； B、，正确运用了乘法结合律，故选项B不符合题意； C、，正确运用了乘法交换律和结合律，故选项C不符合题意； D、，错误运用了乘法分配律，故选项D符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据有理数运算的符号规律排除错误选项，再计算验证剩余选项． 【详解】解：选项A：，错误． 选项B：，错误． 选项C：，错误． 选项D：，正确． 4．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】由数轴可知，且，根据有理数的运算法则逐一判断． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴①正确； ②，故②错误； ③∵，，∴，故③错误； ④∵，，且， ∴，故④正确． 综上，正确的有①④． 二、填空题 5．倒数是它本身的数为___________，相反数是它本身的数为___________． 【答案】 【分析】根据倒数和相反数的定义，找出符合条件的数即可． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴1的倒数是它本身， ∵， ∴的倒数是它本身， 因此倒数是它本身的数为， ∵只有符号不同的两个数互为相反数， 设该数为，若它的相反数是它本身，则， 整理得， 解得， ∴相反数是它本身的数为． 6．已知a，b两数在数轴上对应的位置如图所示，则为______数（填“正”或“负”）． 【答案】负 【分析】从数轴看出，a是负数，是a的相反数，再结合数轴上离原点距离：b到原点的距离大于a到原点的距离，也就是，所以，结果是负数． 【详解】解：， ， ， 为负数． 7．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 【答案】25 【分析】根据新运算规则，将改写为的形式，代入运算规则即可求出． 【详解】解：根据新运算定义，可得 整理得 ， ． 8．如图，数轴上从左到右有、、三点，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且在点左侧，到点的距离为6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意求出折叠后点A表示的数，再根据数轴上两点间的中点公式求解即可． 【详解】解：由题意得，折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点表示的数是． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)9 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 10．五河县某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (2)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1) 一周前冷库里存有水果35吨 (2) 这一周共需付装卸费2100元 【分析】（1）分别计算一周内进库、出库总吨数，得到库存净变化量，结合现有库存求出一周前的库存； （2）用进库与出库总吨数之和得到装卸总吨数，乘以每吨装卸费得到总费用． 【详解】（1） 解：一周内进库总吨数：（吨）； 一周内出库总吨数：（吨）； 一周内库存净减少：（吨）； ∵一周后库存为20吨， ∴一周前库存为（吨）； 答：一周前冷库里存有水果35吨． （2）解：∵装卸费按进出总吨数计算，与进出方向无关， ∴总装卸吨数为进库总吨数与出库总吨数之和. 总装卸吨数：（吨）， 总装卸费（元）； 答：这一周共需付装卸费2100元． 11．随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到村，继续向东行驶到村，然后向西行驶到村，最后回到快递点． (1)村离村有多远？ (2)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 【答案】(1) 村离村. (2) 此次任务面包车耗油. 【分析】（1）以快递点为原点，向东为正方向，用有理数表示各村庄位置，进而计算两点间的距离； （2）先计算面包车行驶的总路程，再结合单位耗油量求出总耗油量，即可解答． 【详解】（1）解：设向东为正方向，快递点的位置记为， ∴村的位置为；村的位置为；村的位置为， ∴村与村的距离为． （2）解：由（1）可得设向东为正方向，快递点的位置记为， ∴ 村到快递点的路程为， ∴总行驶路程为， ∴总耗油量为． 12．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的乘法与除法期中复习讲义 ✵复习目标 · 理解有理数乘法、除法法则，掌握倒数的概念，能正确求一个非零数的倒数。 · 掌握多个有理数相乘的符号判定规律，熟练进行乘除运算。 · 体会除法转化为乘法的转化思想，能灵活运用乘法运算律简化运算。 · 准确区分运算符号与性质符号，规范书写格式，规避乘除运算中的典型错误。 ✵高频题型梳理 题型1.两个有理数的乘法运算 题型2.多个有理数的乘法运算 题型3.倒数的概念辨析 题型4.有理数乘法运算律的运用 题型5.有理数乘法的实际应用 题型6.有理数的除法运算 题型7.有理数除法的应用 题型8.有理数乘除混合运算 题型9.有理数乘除中的简便运算 题型10.有理数四则混合运算 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 题型12.根据数轴上点的位置判断代数式正负 题型13.数轴上的翻折问题 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与0相乘：都得0。 运算原则：先确定积的符号，再计算绝对值的乘积。 示例：（-4）×(-6)=24，(-4)×6=-24，0×(-7)=0 2.多因数相乘符号规律：几个不等于0的数相乘，负因数的个数为偶数，积为正数；负因数的个数为奇数，积为负数。 因数中只要有一个0，积就为0。 3.乘法运算律： 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 知识点二、倒数 定义：乘积为1的两个有理数，互为倒数。 .核心性质：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数。 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，倒数不改变数的符号。 知识点三、有理数的除法 法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何不为0的数，都得0。 法则2：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a∙（b≠0），适用于所有分数、小数除法计算。 注意：0可以作为被除数，但不能作为除数，否则运算无意义。 知识点四、有理数乘除混合运算 运算顺序：从左到右依次计算，先将所有除法转化为乘法，再统一约分计算。 符号判定：统一转为乘法后，根据负因数的个数奇偶性判断最终符号，再计算绝对值乘积。 运算规范：计算时将小数化为分数、带分数化为假分数，方便约分简化运算。 知识点五、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算 ◆有理数的四则混合运算，应遵循有括号先算括号（一般先算小括号，再算中括号，最后算大括号）里面的运算，无括号则按“先乘除，后加减”的顺序进行。 ◆在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律来简化运算。 ✵易错提醒 1.0 没有倒数，不可求 0 的倒数。 2.多个因数相乘，先统计负因数个数，确定符号后，再计算绝对值。 3.除法没有分配律，不能套用乘法分配律拆分除法算式。 4.带分数参与乘除，必须先化成假分数再计算。 5.负数参与运算时，要添加括号，区分性质符号与运算符号。 6.乘除同级运算，严格按顺序计算，不要随意调换数字与符号的位置。 7.约分时分清分子分母，避免颠倒出错。 ✵典例精讲 题型1.两个有理数的乘法运算 1．已知两个有理数，，如果且，那么（     ） A．， B．， C．，同号 D．，异号，且正数的绝对值较大 2．在0，，2，四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最小是______． 3．【新定义】规定，例：． (1)求的值； (2)求的值． 题型2.多个有理数的乘法运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列说法中：①如果，则有；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若，则、互为相反数．其中正确的是_________（填序号） 3．计算： (1)； (2)． 题型3.倒数的概念辨析 1．有理数的倒数是（     ） A． B． C． D．2026 2．的倒数的相反数是______；若，则______0．（填“<”或“>”） 3．请根据图示的对话解答下列问题． 已知a与2互为相反数． b与互为倒数． (1)________，________． (2)已知，求m、n的值． 题型4.有理数乘法运算律的运用 1．在算式中，运用了（     ） A．乘法对加法的分配律 B．乘法对加法的分配律和乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 D．乘法交换律 2．计算：__________． 3．计算： (1) (2) 题型5.有理数乘法的实际应用 1．用正负数表示气温的变化，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为．登高后，气温有什么变化？下列算式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，小林有张标有数字的卡片，从中取出张，则卡片上两数乘积的最大值为________．              3．某蔬菜商店购进筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．称后的记录如下： 白菜 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 第筐 与标准质量的差值 （单位：千克） 回答下列问题： (1)与标准质量比较，筐白菜总计超过或不足多少千克？ (2)这筐白菜共重多少千克？ 题型6.有理数的除法运算 1．下列各式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 2．规定表示不超过的最大整数，则________． 3．下面是小乐同学进行有理数混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务． 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)任务1：①第一步将原式的除法转化为乘法，这样做的依据是______； ②运算从第______步开始出现错误． (2)任务2：写出正确的解题过程． 题型7.有理数除法的应用 1．商品广告中的“买四送一”相当于现价比原价便宜（     ） A． B． C． D． 2．某冷冻厂里一个冷库的室温是．现有一批食品要在的温度下冷藏，如果每小时能降，那么_______后能降到所要求的温度． 3．在工厂和生产场所中，安防巡检机器人可以定期巡视设备和生产线，监测设备运行状态、温度和振动等参数，及时发现异常并预防事故发生．某天晚上开始，一台巡检机器人在一条生产线上巡查了5次，检查均无故障，不需要停留维修，为方便记录，规定向右为正，向左为负，巡检路程记录如下（单位：米）：，，，，，第五次巡检结束的时刻是晚上． (1)第五次结束时机器人在起点的左边还是右边？距离起点多远？ (2)这台机器人在此次巡检过程中，一共行驶了多少米？ (3)这台机器人在此次巡检过程中，平均每分钟行驶多少米？ 题型8.有理数乘除混合运算 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．小明把一个数乘错看成除以，结果得，正确的结果是______． 3．计算： (1)； (2)． 题型9.有理数乘除中的简便运算 1．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示： 甲：． 乙：． 下列判断正确的是（     ） A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 2．用简便方法计算：______． 3．利用运算律有时能进行简便计算： 例：； 例：． 请你参照上述解法，用运算律简便计算下列各题： (1)； (2)． 题型10.有理数四则混合运算 1．一列数，其中，则（     ） A． 1 B． C．2026 D． 2．利用公式计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型11.有理数四则混合运算的实际应用 1．气温随着高度的增加而降低，高度每增加，气温大约降低，若某地海拔高度为，此时地面温度是，同一时刻一定高度的空中温度是，则该空中离地面高度约为(     ) A． B． C． D． 2．一般情况下，海拔每升高，气温下降，某景区山脚海拔，山顶海拔．若某时该景区山脚的气温为，则当时山顶的气温为______． 3．比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在星期一至星期五试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录这五天的牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这五天超市售出的牛奶单价最高的是星期_______，最高单价是________元； (2)这五天超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 题型12.根据数轴上点的位置判断代数式正负 1．有理数a表示的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④  ⑤ 其中正确的说法有________（填序号）． 3．已知有理数a、b在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空： ①a________0； ②________0； (2)比较a、b、、的大小（用“”把它们连接起来）． 题型13.数轴上的翻折问题 1．在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是，以点为折点，将数轴向左对折，点与点重合，若，则点表示的数是（     ） A． B． C．或 D．或 2．点M，P，N在数轴上，点M，N表示的数分别是和6，点P在M，N之间，现以点P为折叠点，将数轴向右对折．若点M对折后对应的点为Q，并且点Q和点N的距离为2个单位长度，则点P表示的数是______． 3．在数轴上原点右侧有一点C，点C到表示数1的点的距离为2． (1)点C表示的数为___________； (2)点A在数轴上，将点A向右移动3个单位长度到达点，此时点表示的数为1，求点A到原点的距离； (3)若点A表示的数为，把数轴对折后，折点为B． ①若点A与点C重合，求点B表示的数； ②若对折后点A的对应点为点，且点到点C的距离为1，直接写出折点B所表示的数． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式运用的运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 二、填空题 5．倒数是它本身的数为___________，相反数是它本身的数为___________． 6．已知a，b两数在数轴上对应的位置如图所示，则为______数（填“正”或“负”）． 7．现定义一种新运算：，．若，则，所以．若，则__________． 8．如图，数轴上从左到右有、、三点，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且在点左侧，到点的距离为6，则点表示的数是________． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．五河县某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (2)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 11．随着网购的快速发展，相关的快递送达范围也越来越广泛，达到惠及乡村的目的．某快递公司快递员开面包车从某快递点出发，先向东行驶到村，继续向东行驶到村，然后向西行驶到村，最后回到快递点． (1)村离村有多远？ (2)已知面包车行驶耗油，那么此次任务面包车耗油多少升？ 12．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $